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Theorem untangtr 24647
Description: A transitive class is untangled iff its elements are. (Contributed by Scott Fenton, 7-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
untangtr  |-  ( Tr  A  ->  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  y ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem untangtr
StepHypRef Expression
1 df-tr 4216 . . . 4  |-  ( Tr  A  <->  U. A  C_  A
)
2 ssralv 3323 . . . 4  |-  ( U. A  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  A. x  e.  U. A  -.  x  e.  x
) )
31, 2sylbi 187 . . 3  |-  ( Tr  A  ->  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  A. x  e.  U. A  -.  x  e.  x
) )
4 elequ1 1718 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  y  e.  x ) )
5 elequ2 1720 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  y ) )
64, 5bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  y  e.  y ) )
76notbid 285 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  x  <->  -.  y  e.  y ) )
87cbvralv 2849 . . . 4  |-  ( A. x  e.  U. A  -.  x  e.  x  <->  A. y  e.  U. A  -.  y  e.  y )
9 untuni 24642 . . . 4  |-  ( A. y  e.  U. A  -.  y  e.  y  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  y )
108, 9bitri 240 . . 3  |-  ( A. x  e.  U. A  -.  x  e.  x  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  y )
113, 10syl6ib 217 . 2  |-  ( Tr  A  ->  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  y )
)
12 untelirr 24641 . . 3  |-  ( A. y  e.  x  -.  y  e.  y  ->  -.  x  e.  x )
1312ralimi 2703 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  y  ->  A. x  e.  A  -.  x  e.  x )
1411, 13impbid1 194 1  |-  ( Tr  A  ->  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176   A.wral 2628    C_ wss 3238   U.cuni 3929   Tr wtr 4215
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ral 2633  df-rex 2634  df-v 2875  df-in 3245  df-ss 3252  df-uni 3930  df-tr 4216
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