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Theorem untangtr 25163
Description: A transitive class is untangled iff its elements are. (Contributed by Scott Fenton, 7-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
untangtr  |-  ( Tr  A  ->  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  y ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem untangtr
StepHypRef Expression
1 df-tr 4303 . . . 4  |-  ( Tr  A  <->  U. A  C_  A
)
2 ssralv 3407 . . . 4  |-  ( U. A  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  A. x  e.  U. A  -.  x  e.  x
) )
31, 2sylbi 188 . . 3  |-  ( Tr  A  ->  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  A. x  e.  U. A  -.  x  e.  x
) )
4 elequ1 1728 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  y  e.  x ) )
5 elequ2 1730 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  y ) )
64, 5bitrd 245 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  y  e.  y ) )
76notbid 286 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  x  <->  -.  y  e.  y ) )
87cbvralv 2932 . . . 4  |-  ( A. x  e.  U. A  -.  x  e.  x  <->  A. y  e.  U. A  -.  y  e.  y )
9 untuni 25158 . . . 4  |-  ( A. y  e.  U. A  -.  y  e.  y  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  y )
108, 9bitri 241 . . 3  |-  ( A. x  e.  U. A  -.  x  e.  x  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  y )
113, 10syl6ib 218 . 2  |-  ( Tr  A  ->  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  y )
)
12 untelirr 25157 . . 3  |-  ( A. y  e.  x  -.  y  e.  y  ->  -.  x  e.  x )
1312ralimi 2781 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  y  ->  A. x  e.  A  -.  x  e.  x )
1411, 13impbid1 195 1  |-  ( Tr  A  ->  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  y  e.  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177   A.wral 2705    C_ wss 3320   U.cuni 4015   Tr wtr 4302
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ral 2710  df-rex 2711  df-v 2958  df-in 3327  df-ss 3334  df-uni 4016  df-tr 4303
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