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Theorem untsucf 24340
Description: If a class is untangled, then so is its successor. (Contributed by Scott Fenton, 28-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
untsucf.1  |-  F/_ y A
Assertion
Ref Expression
untsucf  |-  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  A. y  e.  suc  A  -.  y  e.  y
)
Distinct variable groups:    x, A    x, y
Allowed substitution hint:    A( y)

Proof of Theorem untsucf
StepHypRef Expression
1 untsucf.1 . . 3  |-  F/_ y A
2 nfv 1610 . . 3  |-  F/ y  -.  x  e.  x
31, 2nfral 2630 . 2  |-  F/ y A. x  e.  A  -.  x  e.  x
4 vex 2825 . . . 4  |-  y  e. 
_V
54elsuc 4498 . . 3  |-  ( y  e.  suc  A  <->  ( y  e.  A  \/  y  =  A ) )
6 elequ1 1704 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  y  e.  x ) )
7 elequ2 1706 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  y ) )
86, 7bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  y  e.  y ) )
98notbid 285 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  x  <->  -.  y  e.  y ) )
109rspccv 2915 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  y
) )
11 untelirr 24338 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  -.  A  e.  A )
12 eleq1 2376 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  y  <->  A  e.  y ) )
13 eleq2 2377 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  ( A  e.  y  <->  A  e.  A ) )
1412, 13bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  y  <->  A  e.  A ) )
1514notbid 285 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  y  e.  y  <->  -.  A  e.  A ) )
1611, 15syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  ( y  =  A  ->  -.  y  e.  y
) )
1710, 16jaod 369 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  ( ( y  e.  A  \/  y  =  A
)  ->  -.  y  e.  y ) )
185, 17syl5bi 208 . 2  |-  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  ( y  e.  suc  A  ->  -.  y  e.  y ) )
193, 18ralrimi 2658 1  |-  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  A. y  e.  suc  A  -.  y  e.  y
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    = wceq 1633    e. wcel 1701   F/_wnfc 2439   A.wral 2577   suc csuc 4431
This theorem is referenced by:  dfon2lem3  24526
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ral 2582  df-v 2824  df-un 3191  df-sn 3680  df-suc 4435
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