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Theorem untsucf 25161
Description: If a class is untangled, then so is its successor. (Contributed by Scott Fenton, 28-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
untsucf.1  |-  F/_ y A
Assertion
Ref Expression
untsucf  |-  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  A. y  e.  suc  A  -.  y  e.  y
)
Distinct variable groups:    x, A    x, y
Allowed substitution hint:    A( y)

Proof of Theorem untsucf
StepHypRef Expression
1 untsucf.1 . . 3  |-  F/_ y A
2 nfv 1630 . . 3  |-  F/ y  -.  x  e.  x
31, 2nfral 2761 . 2  |-  F/ y A. x  e.  A  -.  x  e.  x
4 vex 2961 . . . 4  |-  y  e. 
_V
54elsuc 4652 . . 3  |-  ( y  e.  suc  A  <->  ( y  e.  A  \/  y  =  A ) )
6 elequ1 1729 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  y  e.  x ) )
7 elequ2 1731 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  y ) )
86, 7bitrd 246 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  y  e.  y ) )
98notbid 287 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  x  <->  -.  y  e.  y ) )
109rspccv 3051 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  ( y  e.  A  ->  -.  y  e.  y
) )
11 untelirr 25159 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  -.  A  e.  A )
12 eleq1 2498 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  y  <->  A  e.  y ) )
13 eleq2 2499 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  ( A  e.  y  <->  A  e.  A ) )
1412, 13bitrd 246 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  y  <->  A  e.  A ) )
1514notbid 287 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  y  e.  y  <->  -.  A  e.  A ) )
1611, 15syl5ibrcom 215 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  ( y  =  A  ->  -.  y  e.  y
) )
1710, 16jaod 371 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  ( ( y  e.  A  \/  y  =  A
)  ->  -.  y  e.  y ) )
185, 17syl5bi 210 . 2  |-  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  ( y  e.  suc  A  ->  -.  y  e.  y ) )
193, 18ralrimi 2789 1  |-  ( A. x  e.  A  -.  x  e.  x  ->  A. y  e.  suc  A  -.  y  e.  y
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 359    = wceq 1653    e. wcel 1726   F/_wnfc 2561   A.wral 2707   suc csuc 4585
This theorem is referenced by:  dfon2lem3  25414
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ral 2712  df-v 2960  df-un 3327  df-sn 3822  df-suc 4589
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