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Theorem untuni 24055
Description: The union of a class is untangled iff all its members are untangled. (Contributed by Scott Fenton, 28-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
untuni  |-  ( A. x  e.  U. A  -.  x  e.  x  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  y  -.  x  e.  x )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem untuni
StepHypRef Expression
1 r19.23v 2659 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  (
x  e.  y  ->  -.  x  e.  x
)  <->  ( E. y  e.  A  x  e.  y  ->  -.  x  e.  x ) )
21albii 1553 . . 3  |-  ( A. x A. y  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  x  e.  x
)  <->  A. x ( E. y  e.  A  x  e.  y  ->  -.  x  e.  x )
)
3 ralcom4 2806 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  A. x ( x  e.  y  ->  -.  x  e.  x )  <->  A. x A. y  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  x  e.  x
) )
4 eluni2 3831 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. y  e.  A  x  e.  y )
54imbi1i 315 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U. A  ->  -.  x  e.  x
)  <->  ( E. y  e.  A  x  e.  y  ->  -.  x  e.  x ) )
65albii 1553 . . 3  |-  ( A. x ( x  e. 
U. A  ->  -.  x  e.  x )  <->  A. x ( E. y  e.  A  x  e.  y  ->  -.  x  e.  x ) )
72, 3, 63bitr4ri 269 . 2  |-  ( A. x ( x  e. 
U. A  ->  -.  x  e.  x )  <->  A. y  e.  A  A. x ( x  e.  y  ->  -.  x  e.  x ) )
8 df-ral 2548 . 2  |-  ( A. x  e.  U. A  -.  x  e.  x  <->  A. x
( x  e.  U. A  ->  -.  x  e.  x ) )
9 df-ral 2548 . . 3  |-  ( A. x  e.  y  -.  x  e.  x  <->  A. x
( x  e.  y  ->  -.  x  e.  x ) )
109ralbii 2567 . 2  |-  ( A. y  e.  A  A. x  e.  y  -.  x  e.  x  <->  A. y  e.  A  A. x
( x  e.  y  ->  -.  x  e.  x ) )
117, 8, 103bitr4i 268 1  |-  ( A. x  e.  U. A  -.  x  e.  x  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  y  -.  x  e.  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1527    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   U.cuni 3827
This theorem is referenced by:  untangtr  24060  dfon2lem3  24141  dfon2lem7  24145
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-uni 3828
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