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Theorem untuni 25111
Description: The union of a class is untangled iff all its members are untangled. (Contributed by Scott Fenton, 28-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
untuni  |-  ( A. x  e.  U. A  -.  x  e.  x  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  y  -.  x  e.  x )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem untuni
StepHypRef Expression
1 r19.23v 2782 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  (
x  e.  y  ->  -.  x  e.  x
)  <->  ( E. y  e.  A  x  e.  y  ->  -.  x  e.  x ) )
21albii 1572 . . 3  |-  ( A. x A. y  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  x  e.  x
)  <->  A. x ( E. y  e.  A  x  e.  y  ->  -.  x  e.  x )
)
3 ralcom4 2934 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  A. x ( x  e.  y  ->  -.  x  e.  x )  <->  A. x A. y  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  x  e.  x
) )
4 eluni2 3979 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. y  e.  A  x  e.  y )
54imbi1i 316 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U. A  ->  -.  x  e.  x
)  <->  ( E. y  e.  A  x  e.  y  ->  -.  x  e.  x ) )
65albii 1572 . . 3  |-  ( A. x ( x  e. 
U. A  ->  -.  x  e.  x )  <->  A. x ( E. y  e.  A  x  e.  y  ->  -.  x  e.  x ) )
72, 3, 63bitr4ri 270 . 2  |-  ( A. x ( x  e. 
U. A  ->  -.  x  e.  x )  <->  A. y  e.  A  A. x ( x  e.  y  ->  -.  x  e.  x ) )
8 df-ral 2671 . 2  |-  ( A. x  e.  U. A  -.  x  e.  x  <->  A. x
( x  e.  U. A  ->  -.  x  e.  x ) )
9 df-ral 2671 . . 3  |-  ( A. x  e.  y  -.  x  e.  x  <->  A. x
( x  e.  y  ->  -.  x  e.  x ) )
109ralbii 2690 . 2  |-  ( A. y  e.  A  A. x  e.  y  -.  x  e.  x  <->  A. y  e.  A  A. x
( x  e.  y  ->  -.  x  e.  x ) )
117, 8, 103bitr4i 269 1  |-  ( A. x  e.  U. A  -.  x  e.  x  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  y  -.  x  e.  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177   A.wal 1546    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   U.cuni 3975
This theorem is referenced by:  untangtr  25116  dfon2lem3  25355  dfon2lem7  25359
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ral 2671  df-rex 2672  df-v 2918  df-uni 3976
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