Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unwf Structured version   Unicode version

Theorem unwf 7728
 Description: A binary union is well-founded iff its elements are. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
unwf

Proof of Theorem unwf
StepHypRef Expression
1 r1rankidb 7722 . . . . . . . 8
21adantr 452 . . . . . . 7
3 ssun1 3502 . . . . . . . 8
4 rankdmr1 7719 . . . . . . . . 9
5 r1funlim 7684 . . . . . . . . . . . 12
65simpri 449 . . . . . . . . . . 11
7 limord 4632 . . . . . . . . . . 11
86, 7ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
9 rankdmr1 7719 . . . . . . . . . 10
10 ordunel 4799 . . . . . . . . . 10
118, 4, 9, 10mp3an 1279 . . . . . . . . 9
12 r1ord3g 7697 . . . . . . . . 9
134, 11, 12mp2an 654 . . . . . . . 8
143, 13ax-mp 8 . . . . . . 7
152, 14syl6ss 3352 . . . . . 6
16 r1rankidb 7722 . . . . . . . 8
1716adantl 453 . . . . . . 7
18 ssun2 3503 . . . . . . . 8
19 r1ord3g 7697 . . . . . . . . 9
209, 11, 19mp2an 654 . . . . . . . 8
2118, 20ax-mp 8 . . . . . . 7
2217, 21syl6ss 3352 . . . . . 6
2315, 22unssd 3515 . . . . 5
24 fvex 5734 . . . . . 6
2524elpw2 4356 . . . . 5
2623, 25sylibr 204 . . . 4
27 r1sucg 7687 . . . . 5
2811, 27ax-mp 8 . . . 4
2926, 28syl6eleqr 2526 . . 3
30 r1elwf 7714 . . 3
3129, 30syl 16 . 2
32 ssun1 3502 . . . 4
33 sswf 7726 . . . 4
3432, 33mpan2 653 . . 3
35 ssun2 3503 . . . 4
36 sswf 7726 . . . 4
3735, 36mpan2 653 . . 3
3834, 37jca 519 . 2
3931, 38impbii 181 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   cun 3310   wss 3312  cpw 3791  cuni 4007   word 4572  con0 4573   wlim 4574   csuc 4575   cdm 4870  cima 4873   wfun 5440  cfv 5446  cr1 7680  crnk 7681 This theorem is referenced by:  prwf  7729  rankunb  7768 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-r1 7682  df-rank 7683
 Copyright terms: Public domain W3C validator