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Theorem unwf 7728
Description: A binary union is well-founded iff its elements are. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
unwf  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  <-> 
( A  u.  B
)  e.  U. ( R1 " On ) )

Proof of Theorem unwf
StepHypRef Expression
1 r1rankidb 7722 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  C_  ( R1 `  ( rank `  A )
) )
21adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  A  C_  ( R1 `  ( rank `  A
) ) )
3 ssun1 3502 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  A )  C_  (
( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )
4 rankdmr1 7719 . . . . . . . . 9  |-  ( rank `  A )  e.  dom  R1
5 r1funlim 7684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
65simpri 449 . . . . . . . . . . 11  |-  Lim  dom  R1
7 limord 4632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  Ord  dom  R1 )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  Ord  dom  R1
9 rankdmr1 7719 . . . . . . . . . 10  |-  ( rank `  B )  e.  dom  R1
10 ordunel 4799 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  dom  R1  /\  ( rank `  A )  e. 
dom  R1  /\  ( rank `  B )  e. 
dom  R1 )  ->  (
( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )  e.  dom  R1 )
118, 4, 9, 10mp3an 1279 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )  e.  dom  R1
12 r1ord3g 7697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( rank `  A
)  e.  dom  R1  /\  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  e. 
dom  R1 )  ->  (
( rank `  A )  C_  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  -> 
( R1 `  ( rank `  A ) ) 
C_  ( R1 `  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) ) )
134, 11, 12mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank `  A )  C_  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  -> 
( R1 `  ( rank `  A ) ) 
C_  ( R1 `  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
143, 13ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( R1
`  ( rank `  A
) )  C_  ( R1 `  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) )
152, 14syl6ss 3352 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  A  C_  ( R1 `  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) ) )
16 r1rankidb 7722 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  U. ( R1
" On )  ->  B  C_  ( R1 `  ( rank `  B )
) )
1716adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  B  C_  ( R1 `  ( rank `  B
) ) )
18 ssun2 3503 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  B )  C_  (
( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )
19 r1ord3g 7697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( rank `  B
)  e.  dom  R1  /\  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  e. 
dom  R1 )  ->  (
( rank `  B )  C_  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  -> 
( R1 `  ( rank `  B ) ) 
C_  ( R1 `  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) ) )
209, 11, 19mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank `  B )  C_  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  -> 
( R1 `  ( rank `  B ) ) 
C_  ( R1 `  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
2118, 20ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( R1
`  ( rank `  B
) )  C_  ( R1 `  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) )
2217, 21syl6ss 3352 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  B  C_  ( R1 `  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) ) )
2315, 22unssd 3515 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( A  u.  B )  C_  ( R1 `  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) ) )
24 fvex 5734 . . . . . 6  |-  ( R1
`  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) )  e.  _V
2524elpw2 4356 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  B )  e.  ~P ( R1
`  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) )  <->  ( A  u.  B )  C_  ( R1 `  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) ) )
2623, 25sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  ~P ( R1 `  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
27 r1sucg 7687 . . . . 5  |-  ( ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  e. 
dom  R1  ->  ( R1
`  suc  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )  =  ~P ( R1 `  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
2811, 27ax-mp 8 . . . 4  |-  ( R1
`  suc  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )  =  ~P ( R1 `  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) )
2926, 28syl6eleqr 2526 . . 3  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  ( R1 `  suc  (
( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
30 r1elwf 7714 . . 3  |-  ( ( A  u.  B )  e.  ( R1 `  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  U. ( R1 " On ) )
3129, 30syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  U. ( R1 " On ) )
32 ssun1 3502 . . . 4  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
33 sswf 7726 . . . 4  |-  ( ( ( A  u.  B
)  e.  U. ( R1 " On )  /\  A  C_  ( A  u.  B ) )  ->  A  e.  U. ( R1 " On ) )
3432, 33mpan2 653 . . 3  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  e.  U. ( R1 " On ) )
35 ssun2 3503 . . . 4  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
36 sswf 7726 . . . 4  |-  ( ( ( A  u.  B
)  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  C_  ( A  u.  B ) )  ->  B  e.  U. ( R1 " On ) )
3735, 36mpan2 653 . . 3  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  ->  B  e.  U. ( R1 " On ) )
3834, 37jca 519 . 2  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) ) )
3931, 38impbii 181 1  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  <-> 
( A  u.  B
)  e.  U. ( R1 " On ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3310    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007   Ord word 4572   Oncon0 4573   Lim wlim 4574   suc csuc 4575   dom cdm 4870   "cima 4873   Fun wfun 5440   ` cfv 5446   R1cr1 7680   rankcrnk 7681
This theorem is referenced by:  prwf  7729  rankunb  7768
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-r1 7682  df-rank 7683
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