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Theorem unwf 7671
Description: A binary union is well-founded iff its elements are. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
unwf  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  <-> 
( A  u.  B
)  e.  U. ( R1 " On ) )

Proof of Theorem unwf
StepHypRef Expression
1 r1rankidb 7665 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  C_  ( R1 `  ( rank `  A )
) )
21adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  A  C_  ( R1 `  ( rank `  A
) ) )
3 ssun1 3455 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  A )  C_  (
( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )
4 rankdmr1 7662 . . . . . . . . 9  |-  ( rank `  A )  e.  dom  R1
5 r1funlim 7627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
65simpri 449 . . . . . . . . . . 11  |-  Lim  dom  R1
7 limord 4583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  Ord  dom  R1 )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  Ord  dom  R1
9 rankdmr1 7662 . . . . . . . . . 10  |-  ( rank `  B )  e.  dom  R1
10 ordunel 4749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  dom  R1  /\  ( rank `  A )  e. 
dom  R1  /\  ( rank `  B )  e. 
dom  R1 )  ->  (
( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )  e.  dom  R1 )
118, 4, 9, 10mp3an 1279 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )  e.  dom  R1
12 r1ord3g 7640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( rank `  A
)  e.  dom  R1  /\  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  e. 
dom  R1 )  ->  (
( rank `  A )  C_  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  -> 
( R1 `  ( rank `  A ) ) 
C_  ( R1 `  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) ) )
134, 11, 12mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank `  A )  C_  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  -> 
( R1 `  ( rank `  A ) ) 
C_  ( R1 `  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
143, 13ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( R1
`  ( rank `  A
) )  C_  ( R1 `  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) )
152, 14syl6ss 3305 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  A  C_  ( R1 `  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) ) )
16 r1rankidb 7665 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  U. ( R1
" On )  ->  B  C_  ( R1 `  ( rank `  B )
) )
1716adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  B  C_  ( R1 `  ( rank `  B
) ) )
18 ssun2 3456 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  B )  C_  (
( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )
19 r1ord3g 7640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( rank `  B
)  e.  dom  R1  /\  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  e. 
dom  R1 )  ->  (
( rank `  B )  C_  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  -> 
( R1 `  ( rank `  B ) ) 
C_  ( R1 `  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) ) )
209, 11, 19mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank `  B )  C_  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  -> 
( R1 `  ( rank `  B ) ) 
C_  ( R1 `  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
2118, 20ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( R1
`  ( rank `  B
) )  C_  ( R1 `  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) )
2217, 21syl6ss 3305 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  B  C_  ( R1 `  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) ) )
2315, 22unssd 3468 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( A  u.  B )  C_  ( R1 `  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) ) )
24 fvex 5684 . . . . . 6  |-  ( R1
`  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) )  e.  _V
2524elpw2 4307 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  B )  e.  ~P ( R1
`  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) )  <->  ( A  u.  B )  C_  ( R1 `  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) ) )
2623, 25sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  ~P ( R1 `  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
27 r1sucg 7630 . . . . 5  |-  ( ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  e. 
dom  R1  ->  ( R1
`  suc  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )  =  ~P ( R1 `  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
2811, 27ax-mp 8 . . . 4  |-  ( R1
`  suc  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )  =  ~P ( R1 `  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) )
2926, 28syl6eleqr 2480 . . 3  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  ( R1 `  suc  (
( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
30 r1elwf 7657 . . 3  |-  ( ( A  u.  B )  e.  ( R1 `  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  U. ( R1 " On ) )
3129, 30syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  U. ( R1 " On ) )
32 ssun1 3455 . . . 4  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
33 sswf 7669 . . . 4  |-  ( ( ( A  u.  B
)  e.  U. ( R1 " On )  /\  A  C_  ( A  u.  B ) )  ->  A  e.  U. ( R1 " On ) )
3432, 33mpan2 653 . . 3  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  e.  U. ( R1 " On ) )
35 ssun2 3456 . . . 4  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
36 sswf 7669 . . . 4  |-  ( ( ( A  u.  B
)  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  C_  ( A  u.  B ) )  ->  B  e.  U. ( R1 " On ) )
3735, 36mpan2 653 . . 3  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  ->  B  e.  U. ( R1 " On ) )
3834, 37jca 519 . 2  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) ) )
3931, 38impbii 181 1  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  <-> 
( A  u.  B
)  e.  U. ( R1 " On ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    u. cun 3263    C_ wss 3265   ~Pcpw 3744   U.cuni 3959   Ord word 4523   Oncon0 4524   Lim wlim 4525   suc csuc 4526   dom cdm 4820   "cima 4823   Fun wfun 5390   ` cfv 5396   R1cr1 7623   rankcrnk 7624
This theorem is referenced by:  prwf  7672  rankunb  7711
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-r1 7625  df-rank 7626
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