Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unxpdom Unicode version

Theorem unxpdom 7070
 Description: Cross product dominates union for sets with cardinality greater than 1. Proposition 10.36 of [TakeutiZaring] p. 93. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unxpdom

Proof of Theorem unxpdom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relsdom 6870 . . . 4
21brrelex2i 4730 . . 3
31brrelex2i 4730 . . 3
42, 3anim12i 549 . 2
5 breq2 4027 . . . . 5
65anbi1d 685 . . . 4
7 uneq1 3322 . . . . 5
8 xpeq1 4703 . . . . 5
97, 8breq12d 4036 . . . 4
106, 9imbi12d 311 . . 3
11 breq2 4027 . . . . 5
1211anbi2d 684 . . . 4
13 uneq2 3323 . . . . 5
14 xpeq2 4704 . . . . 5
1513, 14breq12d 4036 . . . 4
1612, 15imbi12d 311 . . 3
17 eqid 2283 . . . 4
18 eqid 2283 . . . 4
1917, 18unxpdomlem3 7069 . . 3
2010, 16, 19vtocl2g 2847 . 2
214, 20mpcom 32 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788   cun 3150  cif 3565  cop 3643   class class class wbr 4023   cmpt 4077   cxp 4687  c1o 6472   cdom 6861   csdm 6862 This theorem is referenced by:  unxpdom2  7071  sucxpdom  7072  cdaxpdom  7815 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-2o 6480  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866
 Copyright terms: Public domain W3C validator