Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usg2wlkonot Structured version   Unicode version

Theorem usg2wlkonot 28414
 Description: A walk of length 2 between two vertices as ordered triple in an undirected simple graph. This theorem would also hold for undirected multigraphs, but to proof this the cases and/or must be considered separately. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
usg2wlkonot USGrph 2WalksOnOt

Proof of Theorem usg2wlkonot
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrav 21376 . . 3 USGrph
2 el2wlkonotot 28404 . . . . . 6 2WalksOnOt Walks
32expcom 426 . . . . 5 2WalksOnOt Walks
433adant2 977 . . . 4 2WalksOnOt Walks
54impcom 421 . . 3 2WalksOnOt Walks
61, 5sylan 459 . 2 USGrph 2WalksOnOt Walks
7 vex 2961 . . . . . . . . . . . 12
8 vex 2961 . . . . . . . . . . . 12
97, 8pm3.2i 443 . . . . . . . . . . 11
10 is2wlk 21570 . . . . . . . . . . 11 Walks ..^
111, 9, 10sylancl 645 . . . . . . . . . 10 USGrph Walks ..^
12 preq12 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13123adant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1413eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . 15
15 preq12 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16153adant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1716eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . 15
1814, 17anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . 14
1918bicomd 194 . . . . . . . . . . . . 13
20193anbi3d 1261 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
21 usgrafun 21383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 USGrph
22 c0ex 9090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2322prid1 3914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
24 fzo0to2pr 11189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
2523, 24eleqtrri 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
26 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^ ..^
2725, 26mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
28 fvelrn 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2927, 28sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
30 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3129, 30syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
32 1ex 9091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3332prid2 3915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3433, 24eleqtrri 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
35 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^ ..^
3634, 35mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
37 fvelrn 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3836, 37sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
39 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4038, 39syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
4131, 40anim12d 548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
4221, 41sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 USGrph ..^
4342a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . 16 USGrph ..^
4443expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ USGrph
4544com24 84 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ USGrph
4645a1d 24 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ USGrph
47463imp 1148 . . . . . . . . . . . 12 ..^ USGrph
4820, 47syl6bi 221 . . . . . . . . . . 11 ..^ USGrph
4948com14 85 . . . . . . . . . 10 USGrph ..^
5011, 49sylbid 208 . . . . . . . . 9 USGrph Walks
5150com14 85 . . . . . . . 8 Walks USGrph
5251exp3acom3r 1380 . . . . . . 7 Walks USGrph
53523imp 1148 . . . . . 6 Walks USGrph
5453com13 77 . . . . 5 USGrph Walks
5554imp 420 . . . 4 USGrph Walks
5655exlimdvv 1648 . . 3 USGrph Walks
57 usg2wlk 28356 . . . . 5 USGrph Walks
58573expib 1157 . . . 4 USGrph Walks
5958adantr 453 . . 3 USGrph Walks
6056, 59impbid 185 . 2 USGrph Walks
616, 60bitrd 246 1 USGrph 2WalksOnOt
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958  cpr 3817  cotp 3820   class class class wbr 4215   cdm 4881   crn 4882   wfun 5451  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  cc0 8995  c1 8996  c2 10054  cfz 11048  ..^cfzo 11140  chash 11623   USGrph cusg 21370   Walks cwalk 21511   2WalksOnOt c2wlkonot 28386 This theorem is referenced by:  usg2spthonot  28419  usg2spthonot0  28420  frg2woteu  28517  frg2woteqm  28521 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-ot 3826  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-hash 11624  df-word 11728  df-usgra 21372  df-wlk 21521  df-wlkon 21527  df-2wlkonot 28389
 Copyright terms: Public domain W3C validator