MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgra1 Unicode version

Theorem usgra1 21261
Description: The graph with one edge, analogous to umgra1 21229 ( with additional assumption that  B  =/=  C since otherwise the edge is a loop!). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgra1  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( B  =/=  C  ->  V USGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. } ) )

Proof of Theorem usgra1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  A  e.  X )
2 prex 4348 . . . . . . 7  |-  { B ,  C }  e.  _V
3 f1osng 5657 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  { B ,  C }  e.  _V )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-onto-> { { B ,  C } } )
41, 2, 3sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A }
-1-1-onto-> { { B ,  C } } )
5 f1of1 5614 . . . . . 6  |-  ( {
<. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-onto-> { { B ,  C } }  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { { B ,  C } } )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { { B ,  C } } )
7 prelpwi 4353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { B ,  C }  e.  ~P V
)
87adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  e.  ~P V )
98adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { B ,  C }  e.  ~P V )
10 hashprg 11594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  ( B  =/=  C  <->  (
# `  { B ,  C } )  =  2 ) )
1110adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( B  =/=  C  <->  (
# `  { B ,  C } )  =  2 ) )
1211biimpa 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  ( # `  { B ,  C }
)  =  2 )
13 fveq2 5669 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { B ,  C }  ->  ( # `  x )  =  (
# `  { B ,  C } ) )
1413eqeq1d 2396 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { B ,  C }  ->  ( (
# `  x )  =  2  <->  ( # `  { B ,  C }
)  =  2 ) )
1514elrab 3036 . . . . . . 7  |-  ( { B ,  C }  e.  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  <-> 
( { B ,  C }  e.  ~P V  /\  ( # `  { B ,  C }
)  =  2 ) )
169, 12, 15sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { B ,  C }  e.  {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
1716snssd 3887 . . . . 5  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { { B ,  C } }  C_  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
18 f1ss 5585 . . . . 5  |-  ( ( { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { { B ,  C } }  /\  { { B ,  C } }  C_  { x  e. 
~P V  |  (
# `  x )  =  2 } )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
196, 17, 18syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
20 f1dm 5584 . . . . 5  |-  ( {
<. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  2 }  ->  dom 
{ <. A ,  { B ,  C } >. }  =  { A } )
21 f1eq2 5576 . . . . 5  |-  ( dom 
{ <. A ,  { B ,  C } >. }  =  { A }  ->  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  {
<. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
2219, 20, 213syl 19 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
2319, 22mpbird 224 . . 3  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } )
24 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  V  e.  W )
25 snex 4347 . . . . 5  |-  { <. A ,  { B ,  C } >. }  e.  _V
26 isusgra0 21244 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  {
<. A ,  { B ,  C } >. }  e.  _V )  ->  ( V USGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
2724, 25, 26sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( V USGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
2827adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  ( V USGrph  {
<. A ,  { B ,  C } >. }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
2923, 28mpbird 224 . 2  |-  ( ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X )  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  /\  B  =/=  C )  ->  V USGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. } )
3029ex 424 1  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( B  =/=  C  ->  V USGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   {crab 2654   _Vcvv 2900    C_ wss 3264   ~Pcpw 3743   {csn 3758   {cpr 3759   <.cop 3761   class class class wbr 4154   dom cdm 4819   -1-1->wf1 5392   -1-1-onto->wf1o 5394   ` cfv 5395   2c2 9982   #chash 11546   USGrph cusg 21233
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-hash 11547  df-usgra 21235
  Copyright terms: Public domain W3C validator