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Theorem usgra2pth 28349
Description: In a undirected simply graph, there is a path of length 2 if and only if there are three distinct vertices so that one of them is connected to each of the two others by an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgra2pth  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( F ( V Paths  E ) P  /\  ( # `  F )  =  2 )  <->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, E, y, z    x, F, y, z    x, P, y, z    x, V, y, z

Proof of Theorem usgra2pth
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgra2pthspth 28343 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( F ( V Paths  E
) P  <->  F ( V SPaths  E ) P ) )
2 spthispth 21578 . . . . . . . . . 10  |-  ( F ( V SPaths  E ) P  ->  F ( V Paths  E ) P )
3 pthistrl 21577 . . . . . . . . . 10  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  F ( V Trails  E ) P )
4 trliswlk 21544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F ( V Trails  E ) P  ->  F ( V Walks  E ) P )
5 wlkbprop 21539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
6 3simpc 957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
74, 5, 63syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( F ( V Trails  E ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
82, 3, 73syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( F ( V SPaths  E ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
9 isspth 21574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V SPaths  E ) P 
<->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' P ) ) )
10 istrl2 21543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P 
<->  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
1110anbi1d 687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' P )  <->  ( ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) ) )
12 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 ) )
13 f1eq2 5638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 )  -> 
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E ) )
1514biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
1615adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
1716com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
18173ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
1918adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
2019adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
21 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... 2 ) )
2221feq2d 5584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... 2
) --> V ) )
23 df-f1 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  <->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  Fun  `' P ) )
2423simplbi2 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( Fun  `' P  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V
) )
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( Fun  `' P  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V
) ) )
2622, 25sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( Fun  `' P  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V
) ) )
2726adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( Fun  `' P  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V
) ) )
2827com3l 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( Fun  `' P  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  P : ( 0 ... 2 )
-1-1-> V ) ) )
29283ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  ( Fun  `' P  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) ) )
3029imp 420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V ) )
3130adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  P : ( 0 ... 2 )
-1-1-> V ) )
32 usgra2pthlem1 28348 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
3332adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
3433adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
3520, 31, 343jcad 1136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
3635ex 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( (
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 )
-1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
3711, 36sylbid 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' P )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 )
-1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
389, 37sylbid 208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V SPaths  E ) P  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
398, 38mpcom 35 . . . . . . . 8  |-  ( F ( V SPaths  E ) P  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
4039com12 30 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( F ( V SPaths  E
) P  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
411, 40sylbid 208 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( F ( V Paths  E
) P  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
4241ex 425 . . . . 5  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  2  ->  ( F ( V Paths  E ) P  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
4342com13 77 . . . 4  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  =  2  ->  ( V USGrph  E  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
4443imp 420 . . 3  |-  ( ( F ( V Paths  E
) P  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
4544com12 30 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( F ( V Paths  E ) P  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
46 2nn0 10243 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
47 f1f 5642 . . . . . 6  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E )
48 hashfirdm 28188 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E )  ->  ( # `  F
)  =  2 )
4946, 47, 48sylancr 646 . . . . 5  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( # `
 F )  =  2 )
50 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  =  ( # `  F
)  ->  ( 0..^ 2 )  =  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
5150eqcoms 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0..^ 2 )  =  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
52 f1eq2 5638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0..^ 2 )  =  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  <-> 
F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E
) )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  <->  F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E ) )
5453biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E ) )
5554imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  ->  F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
5655adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E )
5756ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E )
58 f1f 5642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  ->  P : ( 0 ... 2 ) --> V )
59 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  =  ( # `  F
)  ->  ( 0 ... 2 )  =  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
6059eqcoms 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0 ... 2 )  =  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
6160adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  ->  ( 0 ... 2 )  =  ( 0 ... ( # `
 F ) ) )
6261feq2d 5584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  <->  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V ) )
6358, 62syl5ib 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V ) )
6463imp 420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
6564ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V )
66 eqcom 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( P `  0 )  =  x  <->  x  =  ( P `  0 ) )
6766biimpi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( P `  0 )  =  x  ->  x  =  ( P ` 
0 ) )
68673ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  ->  x  =  ( P `  0 ) )
69 eqcom 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( P `  1 )  =  y  <->  y  =  ( P `  1 ) )
7069biimpi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( P `  1 )  =  y  ->  y  =  ( P ` 
1 ) )
71703ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  -> 
y  =  ( P `
 1 ) )
7268, 71preq12d 3893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  ->  { x ,  y }  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) } )
7372eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  -> 
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
7473biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  -> 
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  ->  ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) )
7574com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  ->  (
( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  ->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
7675adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } )  -> 
( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) )
7776impcom 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) } )
78 eqcom 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( P `  2 )  =  z  <->  z  =  ( P `  2 ) )
7978biimpi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( P `  2 )  =  z  ->  z  =  ( P ` 
2 ) )
80793ad2ant3 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  -> 
z  =  ( P `
 2 ) )
8171, 80preq12d 3893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  ->  { y ,  z }  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) } )
8281eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  -> 
( ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
8382biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  -> 
( ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z }  ->  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )
8483com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z }  ->  (
( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  ->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
8584adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } )  -> 
( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  ->  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )
8685impcom 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) } )
8777, 86jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
8887rexlimivw 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
8988rexlimivw 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. y  e.  ( V 
\  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
9089rexlimivw 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
9190a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) ) )
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) ) ) )
93 fzo0to2pr 11189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
9412, 93syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  {
0 ,  1 } )
9594raleqdv 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  A. i  e.  {
0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
96 c0ex 9090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  e.  _V
97 1ex 9091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  _V
98 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  0  ->  ( F `  i )  =  ( F ` 
0 ) )
9998fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  =  0  ->  ( E `  ( F `  i ) )  =  ( E `  ( F `  0 )
) )
100 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  0  ->  ( P `  i )  =  ( P ` 
0 ) )
101 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  =  0  ->  (
i  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
102 0p1e1 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 0  +  1 )  =  1
103101, 102syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  =  0  ->  (
i  +  1 )  =  1 )
104103fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  0  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( P ` 
1 ) )
105100, 104preq12d 3893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  =  0  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
10699, 105eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  =  0  ->  (
( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
107 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  1  ->  ( F `  i )  =  ( F ` 
1 ) )
108107fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  =  1  ->  ( E `  ( F `  i ) )  =  ( E `  ( F `  1 )
) )
109 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  1  ->  ( P `  i )  =  ( P ` 
1 ) )
110 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  =  1  ->  (
i  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
111 1p1e2 10099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 1  +  1 )  =  2
112110, 111syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  =  1  ->  (
i  +  1 )  =  2 )
113112fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  1  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( P ` 
2 ) )
114109, 113preq12d 3893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  =  1  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )
115108, 114eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  =  1  ->  (
( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
116106, 115ralprg 3859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  ->  ( A. i  e. 
{ 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) ) )
11796, 97, 116mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. i  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. i  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) ) )
11995, 118bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) ) )
120119imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( V USGrph  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  <->  ( V USGrph  E  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) ) ) )
121120imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )  <->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) ) ) ) )
12292, 121mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
123122ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  -> 
( E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
124123imp 420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
125124imp 420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )
12657, 65, 1253jca 1135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
12723simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  ->  Fun  `' P )
128127adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  ->  Fun  `' P )
129128ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  Fun  `' P
)
130126, 129jca 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) )
131 usgrav 21376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
132131adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V ) )
133 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0..^ 2 )  e.  _V
134 fex 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E  /\  ( 0..^ 2 )  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
13547, 133, 134sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  F  e.  _V )
136135adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  ->  F  e.  _V )
137 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0 ... 2 )  e. 
_V
138 fex 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  ( 0 ... 2 )  e.  _V )  ->  P  e.  _V )
13958, 137, 138sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  ->  P  e.  _V )
140136, 139anim12i 551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( # `  F
)  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
)  /\  P :
( 0 ... 2
) -1-1-> V )  -> 
( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)
141140ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( F  e.  _V  /\  P  e. 
_V ) )
142132, 141jca 520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
1439, 11bitrd 246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V SPaths  E ) P 
<->  ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) ) )
144142, 143syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( F
( V SPaths  E ) P 
<->  ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  Fun  `' P ) ) )
145130, 144mpbird 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  F ( V SPaths  E ) P )
146 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  V USGrph  E )
147 simp-4l 744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  /\  V USGrph  E
)  ->  ( # `  F
)  =  2 )
148146, 147jca 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
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149148, 1syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
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150145, 149mpbird 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
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# `  F )  =  2  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
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153152ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( # `  F
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154153ex 425 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  F
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155154ex 425 . . . . 5  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  -> 
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15649, 155mpcom 35 . . . 4  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  -> 
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158157com12 30 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
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15945, 158impbid 185 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( F ( V Paths  E ) P  /\  ( # `  F )  =  2 )  <->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  /\  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x } ) E. z  e.  ( V  \  { x ,  y } ) ( ( ( P `
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( E `  ( F `  0 )
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    \ cdif 3319   {csn 3816   {cpr 3817   class class class wbr 4215   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   Fun wfun 5451   -->wf 5453   -1-1->wf1 5454   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998   2c2 10054   NN0cn0 10226   ...cfz 11048  ..^cfzo 11140   #chash 11623   USGrph cusg 21370   Walks cwalk 21511   Trails ctrail 21512   Paths cpath 21513   SPaths cspath 21514
This theorem is referenced by:  usgra2pth0  28350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-hash 11624  df-word 11728  df-usgra 21372  df-wlk 21521  df-trail 21522  df-pth 21523  df-spth 21524
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