MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgraexvlem Unicode version

Theorem usgraexvlem 21280
Description: Lemma for usgraexmpl 21286. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
usgraexvlem.v  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
Assertion
Ref Expression
usgraexvlem  |-  V  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )

Proof of Theorem usgraexvlem
StepHypRef Expression
1 usgraexvlem.v . 2  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
2 df-3 9991 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
3 2cn 10002 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
43addid2i 9186 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  2 )  =  2
54eqcomi 2391 . . . . . . 7  |-  2  =  ( 0  +  2 )
65oveq1i 6030 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  ( ( 0  +  2 )  +  1 )
72, 6eqtri 2407 . . . . 5  |-  3  =  ( ( 0  +  2 )  +  1 )
8 3nn 10066 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
98nnzi 10237 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
10 0re 9024 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
11 3re 10003 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
12 3pos 10016 . . . . . . 7  |-  0  <  3
1310, 11, 12ltleii 9127 . . . . . 6  |-  0  <_  3
14 0z 10225 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
1514eluz1i 10427 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  0  <_ 
3 ) )
169, 13, 15mpbir2an 887 . . . . 5  |-  3  e.  ( ZZ>= `  0 )
177, 16eqeltrri 2458 . . . 4  |-  ( ( 0  +  2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
18 4nn 10067 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN
1918nnzi 10237 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
20 2re 10001 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
21 4re 10005 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR
22 2lt4 10078 . . . . . . 7  |-  2  <  4
2320, 21, 22ltleii 9127 . . . . . 6  |-  2  <_  4
24 2z 10244 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
2524eluz1i 10427 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  2  <_ 
4 ) )
2619, 23, 25mpbir2an 887 . . . . 5  |-  4  e.  ( ZZ>= `  2 )
275fveq2i 5671 . . . . 5  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  2 ) )
2826, 27eleqtri 2459 . . . 4  |-  4  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  2 ) )
29 fzsplit2 11008 . . . 4  |-  ( ( ( ( 0  +  2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  4  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  2 ) ) )  ->  ( 0 ... 4 )  =  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) ) )
3017, 28, 29mp2an 654 . . 3  |-  ( 0 ... 4 )  =  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) )
31 fztp 11034 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) } )
3214, 31ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }
33 ax-1cn 8981 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
34 eqidd 2388 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  0  =  0 )
35 addid2 9181 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
0  +  1 )  =  1 )
364a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
0  +  2 )  =  2 )
3734, 35, 36tpeq123d 3841 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  CC  ->  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
3833, 37ax-mp 8 . . . . 5  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }  =  { 0 ,  1 ,  2 }
3932, 38eqtri 2407 . . . 4  |-  ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  1 ,  2 }
404a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
0  +  2 )  =  2 )
4140oveq1d 6035 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  2 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 ) )
4241, 2syl6eqr 2437 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  2 )  +  1 )  =  3 )
4342oveq1d 6035 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  ( 3 ... 4 ) )
44 eqid 2387 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  3
45 df-4 9992 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =  ( 3  +  1 )
4644, 45pm3.2i 442 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) )
4746a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) )
48 3lt4 10077 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  <  4
4911, 21, 48ltleii 9127 . . . . . . . . . . 11  |-  3  <_  4
509eluz1i 10427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  3  <_ 
4 ) )
5119, 49, 50mpbir2an 887 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  ( ZZ>= `  3 )
52 fzopth 11021 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
3 ... 4 )  =  ( 3 ... (
3  +  1 ) )  <->  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) ) )
5351, 52ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3 ... 4 )  =  ( 3 ... ( 3  +  1 ) )  <->  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) )
5447, 53sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  ( 3 ... (
3  +  1 ) ) )
55 fzpr 11033 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... ( 3  +  1 ) )  =  { 3 ,  ( 3  +  1 ) } )
5654, 55eqtrd 2419 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  { 3 ,  ( 3  +  1 ) } )
5745eqcomi 2391 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  1 )  =  4
5857preq2i 3830 . . . . . . 7  |-  { 3 ,  ( 3  +  1 ) }  =  { 3 ,  4 }
5956, 58syl6eq 2435 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  { 3 ,  4 } )
6043, 59eqtrd 2419 . . . . 5  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  { 3 ,  4 } )
619, 60ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  { 3 ,  4 }
6239, 61uneq12i 3442 . . 3  |-  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  ( ( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) )  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
6330, 62eqtri 2407 . 2  |-  ( 0 ... 4 )  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
641, 63eqtri 2407 1  |-  V  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    u. cun 3261   {cpr 3758   {ctp 3759   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    <_ cle 9054   2c2 9981   3c3 9982   4c4 9983   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   ...cfz 10975
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976
  Copyright terms: Public domain W3C validator