Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usgraexvlem Unicode version

Theorem usgraexvlem 28138
Description: Lemma for usgraexmpl 28144. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
usgraexvlem.v  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
Assertion
Ref Expression
usgraexvlem  |-  V  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )

Proof of Theorem usgraexvlem
StepHypRef Expression
1 usgraexvlem.v . 2  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
2 df-3 9807 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
3 2cn 9818 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
43addid2i 9002 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  2 )  =  2
54eqcomi 2289 . . . . . . 7  |-  2  =  ( 0  +  2 )
65oveq1i 5870 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  ( ( 0  +  2 )  +  1 )
72, 6eqtri 2305 . . . . 5  |-  3  =  ( ( 0  +  2 )  +  1 )
8 3nn 9880 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
98nnzi 10049 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
10 0re 8840 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
11 3re 9819 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
12 3pos 9832 . . . . . . 7  |-  0  <  3
1310, 11, 12ltleii 8943 . . . . . 6  |-  0  <_  3
14 0z 10037 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
1514eluz1i 10239 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  0  <_ 
3 ) )
169, 13, 15mpbir2an 886 . . . . 5  |-  3  e.  ( ZZ>= `  0 )
177, 16eqeltrri 2356 . . . 4  |-  ( ( 0  +  2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
18 4nn 9881 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN
1918nnzi 10049 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
20 2re 9817 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
21 4re 9821 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR
22 2lt4 9892 . . . . . . 7  |-  2  <  4
2320, 21, 22ltleii 8943 . . . . . 6  |-  2  <_  4
24 2z 10056 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
2524eluz1i 10239 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  2  <_ 
4 ) )
2619, 23, 25mpbir2an 886 . . . . 5  |-  4  e.  ( ZZ>= `  2 )
275fveq2i 5530 . . . . 5  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  2 ) )
2826, 27eleqtri 2357 . . . 4  |-  4  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  2 ) )
29 fzsplit2 10817 . . . 4  |-  ( ( ( ( 0  +  2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  4  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  2 ) ) )  ->  ( 0 ... 4 )  =  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) ) )
3017, 28, 29mp2an 653 . . 3  |-  ( 0 ... 4 )  =  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) )
31 fztp 10843 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) } )
3214, 31ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }
33 ax-1cn 8797 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
34 eqidd 2286 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  0  =  0 )
35 addid2 8997 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
0  +  1 )  =  1 )
364a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
0  +  2 )  =  2 )
3734, 35, 36tpeq123d 3723 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  CC  ->  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
3833, 37ax-mp 8 . . . . 5  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }  =  { 0 ,  1 ,  2 }
3932, 38eqtri 2305 . . . 4  |-  ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  1 ,  2 }
404a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
0  +  2 )  =  2 )
4140oveq1d 5875 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  2 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 ) )
4241, 2syl6eqr 2335 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  2 )  +  1 )  =  3 )
4342oveq1d 5875 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  ( 3 ... 4 ) )
44 eqid 2285 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  3
45 df-4 9808 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =  ( 3  +  1 )
4644, 45pm3.2i 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) )
4746a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) )
48 3lt4 9891 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  <  4
4911, 21, 48ltleii 8943 . . . . . . . . . . 11  |-  3  <_  4
509eluz1i 10239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  3  <_ 
4 ) )
5119, 49, 50mpbir2an 886 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  ( ZZ>= `  3 )
52 fzopth 10830 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
3 ... 4 )  =  ( 3 ... (
3  +  1 ) )  <->  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) ) )
5351, 52ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3 ... 4 )  =  ( 3 ... ( 3  +  1 ) )  <->  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) )
5447, 53sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  ( 3 ... (
3  +  1 ) ) )
55 fzpr 10842 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... ( 3  +  1 ) )  =  { 3 ,  ( 3  +  1 ) } )
5654, 55eqtrd 2317 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  { 3 ,  ( 3  +  1 ) } )
5745eqcomi 2289 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  1 )  =  4
5857preq2i 3712 . . . . . . 7  |-  { 3 ,  ( 3  +  1 ) }  =  { 3 ,  4 }
5956, 58syl6eq 2333 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  { 3 ,  4 } )
6043, 59eqtrd 2317 . . . . 5  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  { 3 ,  4 } )
619, 60ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  { 3 ,  4 }
6239, 61uneq12i 3329 . . 3  |-  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  ( ( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) )  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
6330, 62eqtri 2305 . 2  |-  ( 0 ... 4 )  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
641, 63eqtri 2305 1  |-  V  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686    u. cun 3152   {cpr 3643   {ctp 3644   class class class wbr 4025   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CCcc 8737   0cc0 8739   1c1 8740    + caddc 8742    <_ cle 8870   2c2 9797   3c3 9798   4c4 9799   ZZcz 10026   ZZ>=cuz 10232   ...cfz 10784
This theorem is referenced by:  usgraex0elv  28139  usgraex1elv  28140  usgraex2elv  28141  usgraex3elv  28142
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-fz 10785
  Copyright terms: Public domain W3C validator