MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgraexvlem Structured version   Unicode version

Theorem usgraexvlem 21406
Description: Lemma for usgraexmpl 21412. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
usgraexvlem.v  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
Assertion
Ref Expression
usgraexvlem  |-  V  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )

Proof of Theorem usgraexvlem
StepHypRef Expression
1 usgraexvlem.v . 2  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
2 df-3 10051 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
3 2cn 10062 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
43addid2i 9246 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  2 )  =  2
54eqcomi 2439 . . . . . . 7  |-  2  =  ( 0  +  2 )
65oveq1i 6083 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  ( ( 0  +  2 )  +  1 )
72, 6eqtri 2455 . . . . 5  |-  3  =  ( ( 0  +  2 )  +  1 )
8 3nn 10126 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
98nnzi 10297 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
10 0re 9083 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
11 3re 10063 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
12 3pos 10076 . . . . . . 7  |-  0  <  3
1310, 11, 12ltleii 9188 . . . . . 6  |-  0  <_  3
14 0z 10285 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
1514eluz1i 10487 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  0  <_ 
3 ) )
169, 13, 15mpbir2an 887 . . . . 5  |-  3  e.  ( ZZ>= `  0 )
177, 16eqeltrri 2506 . . . 4  |-  ( ( 0  +  2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
18 4nn 10127 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN
1918nnzi 10297 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
20 2re 10061 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
21 4re 10065 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR
22 2lt4 10138 . . . . . . 7  |-  2  <  4
2320, 21, 22ltleii 9188 . . . . . 6  |-  2  <_  4
24 2z 10304 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
2524eluz1i 10487 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  2  <_ 
4 ) )
2619, 23, 25mpbir2an 887 . . . . 5  |-  4  e.  ( ZZ>= `  2 )
275fveq2i 5723 . . . . 5  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  2 ) )
2826, 27eleqtri 2507 . . . 4  |-  4  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  2 ) )
29 fzsplit2 11068 . . . 4  |-  ( ( ( ( 0  +  2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  4  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  2 ) ) )  ->  ( 0 ... 4 )  =  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) ) )
3017, 28, 29mp2an 654 . . 3  |-  ( 0 ... 4 )  =  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) )
31 fztp 11094 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) } )
3214, 31ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }
33 ax-1cn 9040 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
34 eqidd 2436 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  0  =  0 )
35 addid2 9241 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
0  +  1 )  =  1 )
364a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
0  +  2 )  =  2 )
3734, 35, 36tpeq123d 3890 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  CC  ->  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
3833, 37ax-mp 8 . . . . 5  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }  =  { 0 ,  1 ,  2 }
3932, 38eqtri 2455 . . . 4  |-  ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  1 ,  2 }
404a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
0  +  2 )  =  2 )
4140oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  2 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 ) )
4241, 2syl6eqr 2485 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  2 )  +  1 )  =  3 )
4342oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  ( 3 ... 4 ) )
44 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  3
45 df-4 10052 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =  ( 3  +  1 )
4644, 45pm3.2i 442 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) )
4746a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) )
48 3lt4 10137 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  <  4
4911, 21, 48ltleii 9188 . . . . . . . . . . 11  |-  3  <_  4
509eluz1i 10487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  3  <_ 
4 ) )
5119, 49, 50mpbir2an 887 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  ( ZZ>= `  3 )
52 fzopth 11081 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
3 ... 4 )  =  ( 3 ... (
3  +  1 ) )  <->  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) ) )
5351, 52ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3 ... 4 )  =  ( 3 ... ( 3  +  1 ) )  <->  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) )
5447, 53sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  ( 3 ... (
3  +  1 ) ) )
55 fzpr 11093 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... ( 3  +  1 ) )  =  { 3 ,  ( 3  +  1 ) } )
5654, 55eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  { 3 ,  ( 3  +  1 ) } )
5745eqcomi 2439 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  1 )  =  4
5857preq2i 3879 . . . . . . 7  |-  { 3 ,  ( 3  +  1 ) }  =  { 3 ,  4 }
5956, 58syl6eq 2483 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  { 3 ,  4 } )
6043, 59eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  { 3 ,  4 } )
619, 60ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  { 3 ,  4 }
6239, 61uneq12i 3491 . . 3  |-  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  ( ( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) )  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
6330, 62eqtri 2455 . 2  |-  ( 0 ... 4 )  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
641, 63eqtri 2455 1  |-  V  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3310   {cpr 3807   {ctp 3808   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    <_ cle 9113   2c2 10041   3c3 10042   4c4 10043   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   ...cfz 11035
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036
  Copyright terms: Public domain W3C validator