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Theorem usgrcyclnl2 21620
Description: In an undirected simple graph (with no loops!) there are no cycles with length 2 (consisting of two edges ). (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgrcyclnl2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  F ( V Cycles  E ) P )  ->  ( # `  F
)  =/=  2 )

Proof of Theorem usgrcyclnl2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cyclispth 21608 . . . 4  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  F ( V Paths  E ) P )
2 pthistrl 21564 . . . . 5  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  F ( V Trails  E ) P )
3 cycliswlk 21611 . . . . . 6  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  F ( V Walks  E ) P )
4 wlkbprop 21526 . . . . . 6  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
5 istrl2 21530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P 
<->  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
6 pm3.2 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) ) )
75, 6sylbid 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P  ->  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) ) )
873adant1 975 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P  ->  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) ) )
93, 4, 83syl 19 . . . . 5  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  ( F
( V Trails  E ) P  ->  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) ) )
102, 9syl5com 28 . . . 4  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  ( F
( V Cycles  E ) P  ->  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) ) )
111, 10mpcom 34 . . 3  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  ( (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
12 iscycl 21604 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Cycles  E ) P 
<->  ( F ( V Paths 
E ) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) ) )
1312adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )  -> 
( F ( V Cycles  E ) P  <->  ( F
( V Paths  E ) P  /\  ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) ) )
14 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 ) )
15 f1eq2 5627 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 )  -> 
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E ) )
1714raleqdv 2902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } ) )
1816, 17anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  <->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
19 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P `  ( # `  F
) )  =  ( P `  2 ) )
2019eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  2
) ) )
2118, 20anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  <->  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 ) ) ) )
2221anbi1d 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( ( ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  /\  V USGrph  E )  <->  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 ) )  /\  V USGrph  E ) ) )
23 fzo0to2pr 11176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
2423raleqi 2900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  {
0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )
25 0z 10285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  ZZ
26 1z 10303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  ZZ
27 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
2827fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  0  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  0 )
) )
29 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
0 ) )
30 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
31 0p1e1 10085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3230, 31syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  1 )
3332fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
1 ) )
3429, 33preq12d 3883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  0  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
3528, 34eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  0  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
36 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  1  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
1 ) )
3736fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  1  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  1 )
) )
38 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  1  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
1 ) )
39 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
40 1p1e2 10086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  +  1 )  =  2
4139, 40syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  1 )  =  2 )
4241fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  1  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
2 ) )
4338, 42preq12d 3883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  1  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )
4437, 43eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  1  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
4535, 44ralprg 3849 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e. 
{ 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) ) )
4625, 26, 45mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
47 prcom 3874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  =  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  1 ) }
4847eqeq2i 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  2
) ,  ( P `
 1 ) } )
49 preq1 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P `  2 )  =  ( P ` 
0 )  ->  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
5049eqcoms 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 )  ->  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
5150eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 )  ->  (
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
1 ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
5248, 51syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 )  ->  (
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
5352anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 )  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  <->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) ) )
54 eqtr3 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } )  -> 
( E `  ( F `  0 )
)  =  ( E `
 ( F ` 
1 ) ) )
55 usgraf1 21375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
56 f1f 5631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E )
57 2nn 10125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  2  e.  NN
58 lbfzo0 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  <->  2  e.  NN )
5957, 58mpbir 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  e.  ( 0..^ 2 )
60 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E  /\  0  e.  (
0..^ 2 ) )  ->  ( F ` 
0 )  e.  dom  E )
6159, 60mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E  ->  ( F `  0 )  e.  dom  E )
62 1nn0 10229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  1  e.  NN0
63 1lt2 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  1  <  2
64 elfzo0 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 1  e.  ( 0..^ 2 )  <->  ( 1  e. 
NN0  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2
) )
6562, 57, 63, 64mpbir3an 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  ( 0..^ 2 )
66 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E  /\  1  e.  (
0..^ 2 ) )  ->  ( F ` 
1 )  e.  dom  E )
6765, 66mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E  ->  ( F `  1 )  e.  dom  E )
6861, 67jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E  ->  ( ( F `  0
)  e.  dom  E  /\  ( F `  1
)  e.  dom  E
) )
6956, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  (
( F `  0
)  e.  dom  E  /\  ( F `  1
)  e.  dom  E
) )
70 f1fveq 6000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ran 
E  /\  ( ( F `  0 )  e.  dom  E  /\  ( F `  1 )  e.  dom  E ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  ( E `  ( F `  1 )
)  <->  ( F ` 
0 )  =  ( F `  1 ) ) )
7169, 70sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ran 
E  /\  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E )  -> 
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  <->  ( F `  0 )  =  ( F `  1
) ) )
72 f1fveq 6000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) ) )  ->  ( ( F `
 0 )  =  ( F `  1
)  <->  0  =  1 ) )
7359, 65, 72mpanr12 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  (
( F `  0
)  =  ( F `
 1 )  <->  0  = 
1 ) )
74 ax-1ne0 9051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  =/=  0
75 necom 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 1  =/=  0  <->  0  =/=  1 )
76 df-ne 2600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 0  =/=  1  <->  -.  0  =  1 )
77 pm2.21 102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( -.  0  =  1  -> 
( 0  =  1  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) )
7876, 77sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0  =/=  1  ->  (
0  =  1  -> 
( # `  F )  =/=  2 ) )
7975, 78sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1  =/=  0  ->  (
0  =  1  -> 
( # `  F )  =/=  2 ) )
8074, 79ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0  =  1  ->  ( # `
 F )  =/=  2 )
8173, 80syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  (
( F `  0
)  =  ( F `
 1 )  -> 
( # `  F )  =/=  2 ) )
8281adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ran 
E  /\  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E )  -> 
( ( F ` 
0 )  =  ( F `  1 )  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) )
8371, 82sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ran 
E  /\  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E )  -> 
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  -> 
( # `  F )  =/=  2 ) )
8483ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E : dom  E -1-1-> ran  E  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  -> 
( # `  F )  =/=  2 ) ) )
8555, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( V USGrph  E  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  -> 
( # `  F )  =/=  2 ) ) )
8685com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  ( E `  ( F `  1 ) )  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
8754, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } )  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
8853, 87syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 )  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) ) )
8988com3l 77 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( ( P `
 0 )  =  ( P `  2
)  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) ) )
9046, 89sylbi 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 2 )  -> 
( V USGrph  E  ->  (
# `  F )  =/=  2 ) ) ) )
9124, 90sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 2 )  -> 
( V USGrph  E  ->  (
# `  F )  =/=  2 ) ) ) )
9291impcom 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( ( P ` 
0 )  =  ( P `  2 )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
9392imp31 422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( # `
 F )  =/=  2 )
9422, 93syl6bi 220 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( ( ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) )
95 ax-1 5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  F )  =/=  2  ->  ( ( ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) )
9694, 95pm2.61ine 2674 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( # `  F
)  =/=  2 )
9796exp31 588 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
98973adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
9998adantld 454 . . . . 5  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( F ( V Paths 
E ) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
10099adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )  -> 
( ( F ( V Paths  E ) P  /\  ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
10113, 100sylbid 207 . . 3  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )  -> 
( F ( V Cycles  E ) P  -> 
( V USGrph  E  ->  (
# `  F )  =/=  2 ) ) )
10211, 101mpcom 34 . 2  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) )
103102impcom 420 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  F ( V Cycles  E ) P )  ->  ( # `  F
)  =/=  2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   _Vcvv 2948   {cpr 3807   class class class wbr 4204   dom cdm 4870   ran crn 4871   -->wf 5442   -1-1->wf1 5443   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    < clt 9112   NNcn 9992   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ...cfz 11035  ..^cfzo 11127   #chash 11610   USGrph cusg 21357   Walks cwalk 21498   Trails ctrail 21499   Paths cpath 21500   Cycles ccycl 21507
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-hash 11611  df-word 11715  df-usgra 21359  df-wlk 21508  df-trail 21509  df-pth 21510  df-cycl 21513
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