Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uvcf1 Unicode version

Theorem uvcf1 26911
Description: In a nonzero ring, each unit vector is different. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcff.u  |-  U  =  ( R unitVec  I )
uvcff.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
uvcff.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
uvcf1  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  U : I -1-1-> B )

Proof of Theorem uvcf1
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nzrrng 16260 . . 3  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  e.  Ring )
2 uvcff.u . . . 4  |-  U  =  ( R unitVec  I )
3 uvcff.y . . . 4  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
4 uvcff.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
52, 3, 4uvcff 26910 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  U : I --> B )
61, 5sylan 458 . 2  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  U : I --> B )
7 eqid 2388 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
8 eqid 2388 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
97, 8nzrnz 16259 . . . . . . . 8  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )
109ad3antrrr 711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( 1r `  R
)  =/=  ( 0g
`  R ) )
111ad3antrrr 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  ->  R  e.  Ring )
12 simpllr 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  ->  I  e.  W )
13 simplrl 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
i  e.  I )
142, 11, 12, 13, 7uvcvv1 26908 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( ( U `  i ) `  i
)  =  ( 1r
`  R ) )
15 simplrr 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
j  e.  I )
16 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
i  =/=  j )
1716necomd 2634 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
j  =/=  i )
182, 11, 12, 15, 13, 17, 8uvcvv0 26909 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( ( U `  j ) `  i
)  =  ( 0g
`  R ) )
1910, 14, 183netr4d 2578 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( ( U `  i ) `  i
)  =/=  ( ( U `  j ) `
 i ) )
20 fveq1 5668 . . . . . . 7  |-  ( ( U `  i )  =  ( U `  j )  ->  (
( U `  i
) `  i )  =  ( ( U `
 j ) `  i ) )
2120necon3i 2590 . . . . . 6  |-  ( ( ( U `  i
) `  i )  =/=  ( ( U `  j ) `  i
)  ->  ( U `  i )  =/=  ( U `  j )
)
2219, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( U `  i
)  =/=  ( U `
 j ) )
2322ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  I )
)  ->  ( i  =/=  j  ->  ( U `
 i )  =/=  ( U `  j
) ) )
2423necon4d 2614 . . 3  |-  ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  I )
)  ->  ( ( U `  i )  =  ( U `  j )  ->  i  =  j ) )
2524ralrimivva 2742 . 2  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I  ( ( U `  i )  =  ( U `  j )  ->  i  =  j ) )
26 dff13 5944 . 2  |-  ( U : I -1-1-> B  <->  ( U : I --> B  /\  A. i  e.  I  A. j  e.  I  (
( U `  i
)  =  ( U `
 j )  -> 
i  =  j ) ) )
276, 25, 26sylanbrc 646 1  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  U : I -1-1-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650   -->wf 5391   -1-1->wf1 5392   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Basecbs 13397   0gc0g 13651   Ringcrg 15588   1rcur 15590  NzRingcnzr 16256   freeLMod cfrlm 26882   unitVec cuvc 26883
This theorem is referenced by:  frlmlbs  26919
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-fz 10977  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-hom 13481  df-cco 13482  df-prds 13599  df-pws 13601  df-0g 13655  df-mnd 14618  df-grp 14740  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-ur 15593  df-sra 16172  df-rgmod 16173  df-nzr 16257  df-dsmm 26868  df-frlm 26884  df-uvc 26885
  Copyright terms: Public domain W3C validator