Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uvcf1 Structured version   Unicode version

Theorem uvcf1 27209
Description: In a nonzero ring, each unit vector is different. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcff.u  |-  U  =  ( R unitVec  I )
uvcff.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
uvcff.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
uvcf1  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  U : I -1-1-> B )

Proof of Theorem uvcf1
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nzrrng 16324 . . 3  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  e.  Ring )
2 uvcff.u . . . 4  |-  U  =  ( R unitVec  I )
3 uvcff.y . . . 4  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
4 uvcff.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
52, 3, 4uvcff 27208 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  U : I --> B )
61, 5sylan 458 . 2  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  U : I --> B )
7 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
8 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
97, 8nzrnz 16323 . . . . . . . 8  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )
109ad3antrrr 711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( 1r `  R
)  =/=  ( 0g
`  R ) )
111ad3antrrr 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  ->  R  e.  Ring )
12 simpllr 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  ->  I  e.  W )
13 simplrl 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
i  e.  I )
142, 11, 12, 13, 7uvcvv1 27206 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( ( U `  i ) `  i
)  =  ( 1r
`  R ) )
15 simplrr 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
j  e.  I )
16 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
i  =/=  j )
1716necomd 2681 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
j  =/=  i )
182, 11, 12, 15, 13, 17, 8uvcvv0 27207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( ( U `  j ) `  i
)  =  ( 0g
`  R ) )
1910, 14, 183netr4d 2625 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( ( U `  i ) `  i
)  =/=  ( ( U `  j ) `
 i ) )
20 fveq1 5719 . . . . . . 7  |-  ( ( U `  i )  =  ( U `  j )  ->  (
( U `  i
) `  i )  =  ( ( U `
 j ) `  i ) )
2120necon3i 2637 . . . . . 6  |-  ( ( ( U `  i
) `  i )  =/=  ( ( U `  j ) `  i
)  ->  ( U `  i )  =/=  ( U `  j )
)
2219, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( U `  i
)  =/=  ( U `
 j ) )
2322ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  I )
)  ->  ( i  =/=  j  ->  ( U `
 i )  =/=  ( U `  j
) ) )
2423necon4d 2661 . . 3  |-  ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  I )
)  ->  ( ( U `  i )  =  ( U `  j )  ->  i  =  j ) )
2524ralrimivva 2790 . 2  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I  ( ( U `  i )  =  ( U `  j )  ->  i  =  j ) )
26 dff13 5996 . 2  |-  ( U : I -1-1-> B  <->  ( U : I --> B  /\  A. i  e.  I  A. j  e.  I  (
( U `  i
)  =  ( U `
 j )  -> 
i  =  j ) ) )
276, 25, 26sylanbrc 646 1  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  U : I -1-1-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   -->wf 5442   -1-1->wf1 5443   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   0gc0g 13715   Ringcrg 15652   1rcur 15654  NzRingcnzr 16320   freeLMod cfrlm 27180   unitVec cuvc 27181
This theorem is referenced by:  frlmlbs  27217
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-hom 13545  df-cco 13546  df-prds 13663  df-pws 13665  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-nzr 16321  df-dsmm 27166  df-frlm 27182  df-uvc 27183
  Copyright terms: Public domain W3C validator