Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uvcf1 Unicode version

Theorem uvcf1 27252
Description: In a nonzero ring, each unit vector is different. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcff.u  |-  U  =  ( R unitVec  I )
uvcff.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
uvcff.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
uvcf1  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  U : I -1-1-> B )

Proof of Theorem uvcf1
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nzrrng 16015 . . 3  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  e.  Ring )
2 uvcff.u . . . 4  |-  U  =  ( R unitVec  I )
3 uvcff.y . . . 4  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
4 uvcff.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
52, 3, 4uvcff 27251 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  U : I --> B )
61, 5sylan 457 . 2  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  U : I --> B )
7 eqid 2285 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
8 eqid 2285 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
97, 8nzrnz 16014 . . . . . . . 8  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )
109ad3antrrr 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( 1r `  R
)  =/=  ( 0g
`  R ) )
111ad3antrrr 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  ->  R  e.  Ring )
12 simpllr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  ->  I  e.  W )
13 simplrl 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
i  e.  I )
142, 11, 12, 13, 7uvcvv1 27249 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( ( U `  i ) `  i
)  =  ( 1r
`  R ) )
15 simplrr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
j  e.  I )
16 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
i  =/=  j )
1716necomd 2531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
j  =/=  i )
182, 11, 12, 15, 13, 17, 8uvcvv0 27250 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( ( U `  j ) `  i
)  =  ( 0g
`  R ) )
1910, 14, 183netr4d 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( ( U `  i ) `  i
)  =/=  ( ( U `  j ) `
 i ) )
20 fveq1 5526 . . . . . . 7  |-  ( ( U `  i )  =  ( U `  j )  ->  (
( U `  i
) `  i )  =  ( ( U `
 j ) `  i ) )
2120necon3i 2487 . . . . . 6  |-  ( ( ( U `  i
) `  i )  =/=  ( ( U `  j ) `  i
)  ->  ( U `  i )  =/=  ( U `  j )
)
2219, 21syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  I ) )  /\  i  =/=  j )  -> 
( U `  i
)  =/=  ( U `
 j ) )
2322ex 423 . . . 4  |-  ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  I )
)  ->  ( i  =/=  j  ->  ( U `
 i )  =/=  ( U `  j
) ) )
2423necon4d 2511 . . 3  |-  ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  I )
)  ->  ( ( U `  i )  =  ( U `  j )  ->  i  =  j ) )
2524ralrimivva 2637 . 2  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  A. i  e.  I  A. j  e.  I  ( ( U `  i )  =  ( U `  j )  ->  i  =  j ) )
26 dff13 5785 . 2  |-  ( U : I -1-1-> B  <->  ( U : I --> B  /\  A. i  e.  I  A. j  e.  I  (
( U `  i
)  =  ( U `
 j )  -> 
i  =  j ) ) )
276, 25, 26sylanbrc 645 1  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  U : I -1-1-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   A.wral 2545   -->wf 5253   -1-1->wf1 5254   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   Basecbs 13150   0gc0g 13402   Ringcrg 15339   1rcur 15341  NzRingcnzr 16011   freeLMod cfrlm 27223   unitVec cuvc 27224
This theorem is referenced by:  frlmlbs  27260
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-fz 10785  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-prds 13350  df-pws 13352  df-0g 13406  df-mnd 14369  df-grp 14491  df-mgp 15328  df-rng 15342  df-ur 15344  df-sra 15927  df-rgmod 15928  df-nzr 16012  df-dsmm 27209  df-frlm 27225  df-uvc 27226
  Copyright terms: Public domain W3C validator