MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzenom Structured version   Unicode version

Theorem uzenom 11309
Description: An upper integer set is denumerable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
uzinf.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
uzenom  |-  ( M  e.  ZZ  ->  Z  ~~  om )

Proof of Theorem uzenom
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzinf.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 fveq2 5731 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  M )  =  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
31, 2syl5eq 2482 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  ->  Z  =  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
43breq1d 4225 . 2  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( Z  ~~  om  <->  (
ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) 
~~  om ) )
5 omex 7601 . . . 4  |-  om  e.  _V
6 fvex 5745 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  e.  _V
7 0z 10298 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
87elimel 3793 . . . . 5  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  e.  ZZ
9 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )
108, 9om2uzf1oi 11298 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )
11 f1oen2g 7127 . . . 4  |-  ( ( om  e.  _V  /\  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  e.  _V  /\  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  |`  om ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>=
`  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )  ->  om  ~~  ( ZZ>=
`  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
125, 6, 10, 11mp3an 1280 . . 3  |-  om  ~~  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )
1312ensymi 7160 . 2  |-  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ~~  om
144, 13dedth 3782 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  Z  ~~  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   ifcif 3741   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   omcom 4848    |` cres 4883   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   reccrdg 6670    ~~ cen 7109   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493
This theorem is referenced by:  uzinf  11310  iscmet3  19251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494
  Copyright terms: Public domain W3C validator