MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzenom Unicode version

Theorem uzenom 11292
Description: An upper integer set is denumerable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
uzinf.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
uzenom  |-  ( M  e.  ZZ  ->  Z  ~~  om )

Proof of Theorem uzenom
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzinf.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 fveq2 5719 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  M )  =  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
31, 2syl5eq 2479 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  ->  Z  =  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
43breq1d 4214 . 2  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( Z  ~~  om  <->  (
ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) 
~~  om ) )
5 omex 7587 . . . 4  |-  om  e.  _V
6 fvex 5733 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  e.  _V
7 0z 10282 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
87elimel 3783 . . . . 5  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  e.  ZZ
9 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om )
108, 9om2uzf1oi 11281 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 ) )  |`  om ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )
11 f1oen2g 7115 . . . 4  |-  ( ( om  e.  _V  /\  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  e.  _V  /\  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  |`  om ) : om -1-1-onto-> ( ZZ>=
`  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )  ->  om  ~~  ( ZZ>=
`  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
125, 6, 10, 11mp3an 1279 . . 3  |-  om  ~~  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )
1312ensymi 7148 . 2  |-  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ~~  om
144, 13dedth 3772 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  Z  ~~  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   ifcif 3731   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   omcom 4836    |` cres 4871   -1-1-onto->wf1o 5444   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   reccrdg 6658    ~~ cen 7097   0cc0 8979   1c1 8980    + caddc 8982   ZZcz 10271   ZZ>=cuz 10477
This theorem is referenced by:  uzinf  11293  iscmet3  19234
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478
  Copyright terms: Public domain W3C validator