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Theorem uzindOLD 10328
Description: Induction on the upper integers that start at an integer 
B. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis.

Warning: The HTML proof page is 3/4 megabyte in size. An attempt to shorten it is on my to-do list. Anyone is welcome to try. (Contributed by NM, 11-May-2004.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses
Ref Expression
uzindOLD.1  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
uzindOLD.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
uzindOLD.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
uzindOLD.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
uzindOLD.5  |-  ps
uzindOLD.6  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  y
)  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
uzindOLD  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  A
)  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, A    ps, x    ch, x    th, x    ta, x    ph, y    x, y, B
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem uzindOLD
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 10250 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
2 zre 10250 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
3 subge0 9505 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )
4 resubcl 9329 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
5 0re 9055 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
6 1re 9054 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
7 leadd1 9460 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( A  -  B
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  ( 0  +  1 )  <_  ( ( A  -  B )  +  1 ) ) )
85, 6, 7mp3an13 1270 . . . . . . 7  |-  ( ( A  -  B )  e.  RR  ->  (
0  <_  ( A  -  B )  <->  ( 0  +  1 )  <_ 
( ( A  -  B )  +  1 ) ) )
94, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  ( 0  +  1 )  <_  ( ( A  -  B )  +  1 ) ) )
10 ax-1cn 9012 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1110addid2i 9218 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1211breq1i 4187 . . . . . 6  |-  ( ( 0  +  1 )  <_  ( ( A  -  B )  +  1 )  <->  1  <_  ( ( A  -  B
)  +  1 ) )
139, 12syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  1  <_  ( ( A  -  B )  +  1 ) ) )
143, 13bitr3d 247 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  1  <_  ( ( A  -  B )  +  1 ) ) )
151, 2, 14syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  <->  1  <_  ( ( A  -  B )  +  1 ) ) )
16 zsubcl 10283 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  ZZ )
17 peano2z 10282 . . . . 5  |-  ( ( A  -  B )  e.  ZZ  ->  (
( A  -  B
)  +  1 )  e.  ZZ )
1816, 17syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  -  B )  +  1 )  e.  ZZ )
19 elnnz1 10271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  B
)  +  1 )  e.  NN  <->  ( (
( A  -  B
)  +  1 )  e.  ZZ  /\  1  <_  ( ( A  -  B )  +  1 ) ) )
20 eleq1 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  (
z  e.  ZZ  <->  1  e.  ZZ ) )
21 ovex 6073 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  -  1 )  +  B )  e. 
_V
2221isseti 2930 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E. x  x  =  ( (
z  -  1 )  +  B )
23 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( z  =  1  /\  B  e.  ZZ )
24 nfsbc1v 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph
25 uzindOLD.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ps
2625nfth 1559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x ps
2724, 26nfbi 1852 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ps )
2823, 27nfim 1828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( ( z  =  1  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph  <->  ps ) )
29 sbceq1a 3139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  ->  ( ph 
<-> 
[. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph ) )
3029adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( z  =  1  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( ph 
<-> 
[. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph ) )
31 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  1  ->  (
z  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
3231oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  1  ->  (
( z  -  1 )  +  B )  =  ( ( 1  -  1 )  +  B ) )
3310subidi 9335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3433oveq1i 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  -  1 )  +  B )  =  ( 0  +  B
)
35 zcn 10251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
36 addid2 9213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  e.  CC  ->  (
0  +  B )  =  B )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  e.  ZZ  ->  (
0  +  B )  =  B )
3834, 37syl5eq 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  ZZ  ->  (
( 1  -  1 )  +  B )  =  B )
3932, 38sylan9eq 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  =  1  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( z  -  1 )  +  B )  =  B )
40 eqtr 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( ( z  - 
1 )  +  B
)  =  B )  ->  x  =  B )
4139, 40sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( z  =  1  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  x  =  B )
42 uzindOLD.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( z  =  1  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
4430, 43bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( z  =  1  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph  <->  ps ) )
4544ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  ->  (
( z  =  1  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ps )
) )
4628, 45exlimi 1817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  ->  ( ( z  =  1  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph  <->  ps ) ) )
4722, 46ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  1  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ps )
)
4847ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  1  ->  ( B  e.  ZZ  ->  (
[. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ps ) ) )
4948adantld 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  1  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ps )
) )
5049pm5.74d 239 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  (
( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph )  <->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ps ) ) )
5120, 50imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  1  ->  (
( z  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph )
)  <->  ( 1  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ps ) ) ) )
52 eleq1 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  ZZ  <->  w  e.  ZZ ) )
53 ovex 6073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  -  1 )  +  B )  e. 
_V
5453isseti 2930 . . . . . . . . . . . 12  |-  E. y 
y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )
55 eeanv 1933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x E. y ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  y  =  ( (
w  -  1 )  +  B ) )  <-> 
( E. x  x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  E. y  y  =  (
( w  -  1 )  +  B ) ) )
56 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x  z  =  w
57 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x [. ( ( w  - 
1 )  +  B
)  /  y ]. ch
5824, 57nfbi 1852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch )
5956, 58nfim 1828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( z  =  w  ->  ( [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. ch ) )
60 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y  z  =  w
61 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y
[. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph
62 nfsbc1v 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y
[. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch
6361, 62nfbi 1852 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y ( [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. ch )
6460, 63nfim 1828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y ( z  =  w  ->  ( [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. ch ) )
65 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  w  ->  (
z  -  1 )  =  ( w  - 
1 ) )
6665oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  -  1 )  +  B )  =  ( ( w  -  1 )  +  B ) )
67 eqeq12 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  y  =  ( (
w  -  1 )  +  B ) )  ->  ( x  =  y  <->  ( ( z  -  1 )  +  B )  =  ( ( w  -  1 )  +  B ) ) )
6866, 67syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  y  =  ( (
w  -  1 )  +  B ) )  ->  ( z  =  w  ->  x  =  y ) )
69 uzindOLD.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
7068, 69syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  y  =  ( (
w  -  1 )  +  B ) )  ->  ( z  =  w  ->  ( ph  <->  ch ) ) )
71 sbceq1a 3139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  ( ch 
<-> 
[. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch ) )
7229, 71bi2bian9 846 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  y  =  ( (
w  -  1 )  +  B ) )  ->  ( ( ph  <->  ch )  <->  ( [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. ch ) ) )
7370, 72sylibd 206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  y  =  ( (
w  -  1 )  +  B ) )  ->  ( z  =  w  ->  ( [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  - 
1 )  +  B
)  /  y ]. ch ) ) )
7464, 73exlimi 1817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. y ( x  =  ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /\  y  =  ( ( w  - 
1 )  +  B
) )  ->  (
z  =  w  -> 
( [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch ) ) )
7559, 74exlimi 1817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x E. y ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  y  =  ( (
w  -  1 )  +  B ) )  ->  ( z  =  w  ->  ( [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  - 
1 )  +  B
)  /  y ]. ch ) ) )
7655, 75sylbir 205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. x  x  =  ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /\  E. y 
y  =  ( ( w  -  1 )  +  B ) )  ->  ( z  =  w  ->  ( [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  - 
1 )  +  B
)  /  y ]. ch ) ) )
7722, 54, 76mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  ( [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  - 
1 )  +  B
)  /  y ]. ch ) )
7877imbi2d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph )  <->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch ) ) )
7952, 78imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph )
)  <->  ( w  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch ) ) ) )
80 zcn 10251 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  CC )
81 subcl 9269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( z  -  1 )  e.  CC )
8210, 81mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  CC  ->  (
z  -  1 )  e.  CC )
83 addcl 9036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( z  -  1 )  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( z  - 
1 )  +  B
)  e.  CC )
8482, 83sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( z  - 
1 )  +  B
)  e.  CC )
85 npcan 9278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  =  ( ( z  -  1 )  +  B ) )
8684, 10, 85sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  =  ( ( z  -  1 )  +  B ) )
8780, 35, 86syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  =  ( ( z  -  1 )  +  B ) )
8887ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ZZ  ->  ( B  e.  ZZ  ->  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  =  ( ( z  -  1 )  +  B ) ) )
8988adantld 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  =  ( ( z  -  1 )  +  B ) ) )
90 dfsbcq 3131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  ->  ( [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph ) )
9189, 90syl6 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. (
( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph ) ) )
9291pm5.74d 239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph )  <->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph ) ) )
9392pm5.74i 237 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph ) )  <->  ( z  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph )
) )
94 eleq1 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
z  e.  ZZ  <->  ( w  +  1 )  e.  ZZ ) )
95 ovex 6073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  e. 
_V
9695isseti 2930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  E. x  x  =  ( (
( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )
97 ovex 6073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  e. 
_V
9897isseti 2930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  E. y 
y  =  ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )
99 eeanv 1933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x E. y ( x  =  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /\  y  =  ( (
( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  <-> 
( E. x  x  =  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /\  E. y  y  =  (
( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  -  1 ) ) )
100 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x  z  =  ( w  +  1 )
101 nfsbc1v 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  /  x ]. ph
102 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  /  y ]. th
103101, 102nfbi 1852 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  /  y ]. th )
104100, 103nfim 1828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( z  =  ( w  +  1 )  ->  ( [. (
( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  / 
y ]. th ) )
105 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y  z  =  ( w  +  1 )
106 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ y
[. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph
107 nfsbc1v 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ y
[. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  /  y ]. th
108106, 107nfbi 1852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y ( [. ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  / 
y ]. th )
109105, 108nfim 1828 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y ( z  =  ( w  +  1 )  ->  ( [. (
( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  / 
y ]. th ) )
110 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
z  -  1 )  =  ( ( w  +  1 )  - 
1 ) )
111110oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( z  -  1 )  +  B )  =  ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B ) )
112111oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  =  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 ) )
113112oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  =  ( ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 ) )
114 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  ->  (
y  +  1 )  =  ( ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 ) )
115 eqeq12 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  =  ( ( ( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 ) )  ->  ( x  =  ( y  +  1 )  <->  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  =  ( ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 ) ) )
116114, 115sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /\  y  =  ( (
( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  ->  ( x  =  ( y  +  1 )  <->  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  =  ( ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 ) ) )
117113, 116syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /\  y  =  ( (
( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  ->  ( z  =  ( w  +  1 )  ->  x  =  ( y  +  1 ) ) )
118 uzindOLD.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
119117, 118syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /\  y  =  ( (
( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  ->  ( z  =  ( w  +  1 )  ->  ( ph  <->  th ) ) )
120 sbceq1a 3139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  ->  ( ph 
<-> 
[. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph ) )
121 sbceq1a 3139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  ->  ( th 
<-> 
[. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  /  y ]. th ) )
122120, 121bi2bian9 846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /\  y  =  ( (
( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  ->  ( ( ph  <->  th )  <->  ( [. (
( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  / 
y ]. th ) ) )
123119, 122sylibd 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /\  y  =  ( (
( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  ->  ( z  =  ( w  +  1 )  ->  ( [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  /  y ]. th ) ) )
124109, 123exlimi 1817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y ( x  =  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  /\  y  =  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  ->  (
z  =  ( w  +  1 )  -> 
( [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  /  y ]. th ) ) )
125104, 124exlimi 1817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x E. y ( x  =  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /\  y  =  ( (
( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  ->  ( z  =  ( w  +  1 )  ->  ( [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  /  y ]. th ) ) )
12699, 125sylbir 205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E. x  x  =  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  /\  E. y 
y  =  ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  ->  ( z  =  ( w  +  1 )  ->  ( [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  /  y ]. th ) ) )
12796, 98, 126mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  ( [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  /  y ]. th ) )
128127imbi2d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph )  <->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  /  y ]. th ) ) )
12994, 128imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( z  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph )
)  <->  ( ( w  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  /  y ]. th ) ) ) )
13093, 129syl5bbr 251 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( z  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph )
)  <->  ( ( w  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  /  y ]. th ) ) ) )
131 eleq1 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( A  -  B )  +  1 )  ->  (
z  e.  ZZ  <->  ( ( A  -  B )  +  1 )  e.  ZZ ) )
132 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( z  =  ( ( A  -  B
)  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )
133 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x ta
13424, 133nfbi 1852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ta )
135132, 134nfim 1828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( z  =  ( ( A  -  B )  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  -> 
( [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ta ) )
13629adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( z  =  ( ( A  -  B
)  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ph  <->  [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph ) )
137 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( ( A  -  B )  +  1 )  ->  (
z  -  1 )  =  ( ( ( A  -  B )  +  1 )  - 
1 ) )
138137oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( ( A  -  B )  +  1 )  ->  (
( z  -  1 )  +  B )  =  ( ( ( ( A  -  B
)  +  1 )  -  1 )  +  B ) )
139 eqtr 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( ( z  - 
1 )  +  B
)  =  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  -  1 )  +  B ) )  ->  x  =  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  -  1 )  +  B ) )
140138, 139sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  z  =  ( ( A  -  B )  +  1 ) )  ->  x  =  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  -  1 )  +  B ) )
141 zcn 10251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
142 subcl 9269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
14310a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
144 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
145 add32 9244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( ( A  -  B )  +  1 )  +  B )  =  ( ( ( A  -  B )  +  B )  +  1 ) )
146142, 143, 144, 145syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  -  B )  +  1 )  +  B
)  =  ( ( ( A  -  B
)  +  B )  +  1 ) )
147 npcan 9278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )
148147oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  -  B )  +  B )  +  1 )  =  ( A  +  1 ) )
149146, 148eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  -  B )  +  1 )  +  B
)  =  ( A  +  1 ) )
150149oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  +  B )  -  1 )  =  ( ( A  +  1 )  -  1 ) )
151 peano2cn 9202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  -  B )  e.  CC  ->  (
( A  -  B
)  +  1 )  e.  CC )
152142, 151syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  1 )  e.  CC )
153 addsub 9280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( ( A  -  B )  +  1 )  +  B
)  -  1 )  =  ( ( ( ( A  -  B
)  +  1 )  -  1 )  +  B ) )
154152, 144, 143, 153syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  +  B )  -  1 )  =  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  -  1 )  +  B ) )
155 pncan 9275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
1 )  -  1 )  =  A )
15610, 155mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  1 )  -  1 )  =  A )
157156adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
1 )  -  1 )  =  A )
158150, 154, 1573eqtr3d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  =  A )
159141, 35, 158syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  =  A )
160140, 159sylan9eq 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  z  =  ( ( A  -  B
)  +  1 ) )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  x  =  A )
161160anasss 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( z  =  ( ( A  -  B
)  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) ) )  ->  x  =  A )
162 uzindOLD.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
163161, 162syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( z  =  ( ( A  -  B
)  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ph  <->  ta )
)
164136, 163bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( z  =  ( ( A  -  B
)  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) ) )  ->  ( [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ta )
)
165164ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  ->  (
( z  =  ( ( A  -  B
)  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  -> 
( [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ta ) ) )
166135, 165exlimi 1817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  ->  ( ( z  =  ( ( A  -  B )  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  -> 
( [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ta ) ) )
16722, 166ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  ( ( A  -  B )  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph  <->  ta ) )
168167pm5.74da 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( A  -  B )  +  1 )  ->  (
( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph )  <->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ta ) ) )
169131, 168imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( A  -  B )  +  1 )  ->  (
( z  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph )
)  <->  ( ( ( A  -  B )  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ta ) ) ) )
17025a1ii 25 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ps ) )
171 nnz 10267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  ZZ )
172171a1d 23 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  NN  ->  (
( w  +  1 )  e.  ZZ  ->  w  e.  ZZ ) )
173 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )
174 nfsbc1v 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ y
[. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th
17562, 174nfim 1828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y ( [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. ch  ->  [. (
( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th )
176173, 175nfim 1828 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. ( ( w  - 
1 )  +  B
)  /  y ]. ch  ->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th ) )
177 uzindOLD.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  y
)  ->  ( ch  ->  th ) )
178 peano2zm 10284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  ZZ  ->  (
w  -  1 )  e.  ZZ )
179 zaddcl 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( w  -  1 )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  ZZ )
180178, 179sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  ZZ )
181171, 180sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  ZZ )
182 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
183 elnnz1 10271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  NN  <->  ( w  e.  ZZ  /\  1  <_  w ) )
184 zre 10250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  e.  ZZ  ->  w  e.  RR )
185 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( w  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
186 peano2rem 9331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  e.  RR  ->  (
w  -  1 )  e.  RR )
187 readdcl 9037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( w  -  1 )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  RR )
188186, 187sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( w  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  RR )
189 peano2rem 9331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  -  1 )  e.  RR )
190189adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( w  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  -  1 )  e.  RR )
191 lesub1 9486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  RR  /\  ( B  -  1
)  e.  RR )  ->  ( B  <_ 
( ( w  - 
1 )  +  B
)  <->  ( B  -  ( B  -  1
) )  <_  (
( ( w  - 
1 )  +  B
)  -  ( B  -  1 ) ) ) )
192185, 188, 190, 191syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( w  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  (
( w  -  1 )  +  B )  <-> 
( B  -  ( B  -  1 ) )  <_  ( (
( w  -  1 )  +  B )  -  ( B  - 
1 ) ) ) )
193 recn 9044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  e.  RR  ->  w  e.  CC )
194 recn 9044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
195 subsub 9295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( B  -  ( B  -  1 ) )  =  ( ( B  -  B )  +  1 ) )
19610, 195mp3an3 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  -  ( B  -  1 ) )  =  ( ( B  -  B )  +  1 ) )
197196anidms 627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  -  ( B  -  1 ) )  =  ( ( B  -  B )  +  1 ) )
198 subid 9285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  -  B )  =  0 )
199198oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( B  -  B
)  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
200199, 11syl6eq 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( B  -  B
)  +  1 )  =  1 )
201197, 200eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  -  ( B  -  1 ) )  =  1 )
202201adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  -  ( B  -  1 ) )  =  1 )
203 subcl 9269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( w  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( w  -  1 )  e.  CC )
20410, 203mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  -  1 )  e.  CC )
205 addcl 9036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( w  -  1 )  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  CC )
206204, 205sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  CC )
207 subsub 9295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( w  - 
1 )  +  B
)  -  ( B  -  1 ) )  =  ( ( ( ( w  -  1 )  +  B )  -  B )  +  1 ) )
20810, 207mp3an3 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( w  -  1 )  +  B )  -  ( B  -  1 ) )  =  ( ( ( ( w  - 
1 )  +  B
)  -  B )  +  1 ) )
209206, 208sylancom 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( w  -  1 )  +  B )  -  ( B  -  1 ) )  =  ( ( ( ( w  - 
1 )  +  B
)  -  B )  +  1 ) )
210 pncan 9275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( w  -  1 )  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( w  -  1 )  +  B )  -  B
)  =  ( w  -  1 ) )
211204, 210sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( w  -  1 )  +  B )  -  B
)  =  ( w  -  1 ) )
212211oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( w  -  1 )  +  B )  -  B )  +  1 )  =  ( ( w  -  1 )  +  1 ) )
213 npcan 9278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( w  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  1 )  =  w )
21410, 213mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  -  1 )  +  1 )  =  w )
215214adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  1 )  =  w )
216209, 212, 2153eqtrd 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( w  -  1 )  +  B )  -  ( B  -  1 ) )  =  w )
217202, 216breq12d 4193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( B  -  ( B  -  1
) )  <_  (
( ( w  - 
1 )  +  B
)  -  ( B  -  1 ) )  <->  1  <_  w )
)
218193, 194, 217syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( w  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  -  ( B  -  1
) )  <_  (
( ( w  - 
1 )  +  B
)  -  ( B  -  1 ) )  <->  1  <_  w )
)
219192, 218bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( w  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  (
( w  -  1 )  +  B )  <->  1  <_  w )
)
220184, 2, 219syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  (
( w  -  1 )  +  B )  <->  1  <_  w )
)
221220biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  1  <_  w
)  ->  B  <_  ( ( w  -  1 )  +  B ) )
222221an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  1  <_  w )  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  <_  (
( w  -  1 )  +  B ) )
223183, 222sylanb 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  <_  ( (
w  -  1 )  +  B ) )
224181, 182, 223jca31 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( w  -  1 )  +  B )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  ( ( w  - 
1 )  +  B
) ) )
225 eleq1 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  (
y  e.  ZZ  <->  ( (
w  -  1 )  +  B )  e.  ZZ ) )
226225anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  (
( y  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  <-> 
( ( ( w  -  1 )  +  B )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) ) )
227 breq2 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  ( B  <_  y  <->  B  <_  ( ( w  -  1 )  +  B ) ) )
228226, 227anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  (
( ( y  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  y )  <->  ( (
( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  ( ( w  -  1 )  +  B ) ) ) )
229224, 228syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  (
( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( y  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  y ) ) )
230 sbceq1a 3139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  ( th 
<-> 
[. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th ) )
23171, 230imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  (
( ch  ->  th )  <->  (
[. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch  ->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. th ) ) )
232231biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  (
( ch  ->  th )  ->  ( [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. ch  ->  [. (
( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th ) ) )
233229, 232imim12d 70 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  y )  ->  ( ch  ->  th ) )  -> 
( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. ( ( w  - 
1 )  +  B
)  /  y ]. ch  ->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th ) ) ) )
234177, 233mpi 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  (
( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. (
( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch  ->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th ) ) )
235176, 234exlimi 1817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y  y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. ( ( w  - 
1 )  +  B
)  /  y ]. ch  ->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th ) ) )
23654, 235ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. ch  ->  [. (
( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th ) )
237 nncn 9972 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  CC )
238 peano2cn 9202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  +  1 )  e.  CC )
239 subcl 9269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  +  1 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( w  + 
1 )  -  1 )  e.  CC )
240238, 10, 239sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  +  1 )  -  1 )  e.  CC )
241 addsub 9280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  =  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  -  1 )  +  B ) )
24210, 241mp3an3 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  =  ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  -  1 )  +  B ) )
243240, 242sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  =  ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  -  1 )  +  B ) )
244 pncan 9275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( w  + 
1 )  -  1 )  =  w )
24510, 244mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  +  1 )  -  1 )  =  w )
246245oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( ( w  + 
1 )  -  1 )  -  1 )  =  ( w  - 
1 ) )
247246oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  -  1 )  +  B )  =  ( ( w  -  1 )  +  B ) )
248247adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  - 
1 )  +  B
)  =  ( ( w  -  1 )  +  B ) )
249243, 248eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  =  ( ( w  -  1 )  +  B ) )
250237, 35, 249syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  =  ( ( w  -  1 )  +  B ) )
251 dfsbcq 3131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  ( [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  /  y ]. th 
<-> 
[. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th ) )
252250, 251syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  / 
y ]. th  <->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. th ) )
253236, 252sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. ch  ->  [. (
( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  /  y ]. th ) )
254253ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  NN  ->  ( B  e.  ZZ  ->  (
[. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch  ->  [. ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  / 
y ]. th ) ) )
255254adantld 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  NN  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. (
( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch  ->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  /  y ]. th ) ) )
256255a2d 24 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  NN  ->  (
( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch )  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  /  y ]. th ) ) )
257172, 256imim12d 70 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  NN  ->  (
( w  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch ) )  ->  (
( w  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  /  y ]. th ) ) ) )
25851, 79, 130, 169, 170, 257nnind 9982 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  B
)  +  1 )  e.  NN  ->  (
( ( A  -  B )  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ta ) ) )
25919, 258sylbir 205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  e.  ZZ  /\  1  <_  ( ( A  -  B )  +  1 ) )  -> 
( ( ( A  -  B )  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ta ) ) )
260259ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  -  B
)  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
1  <_  ( ( A  -  B )  +  1 )  -> 
( ( ( A  -  B )  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ta ) ) ) )
261260pm2.43a 47 . . . . 5  |-  ( ( ( A  -  B
)  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
1  <_  ( ( A  -  B )  +  1 )  -> 
( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ta ) ) )
262261com23 74 . . . 4  |-  ( ( ( A  -  B
)  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 1  <_ 
( ( A  -  B )  +  1 )  ->  ta )
) )
26318, 262mpcom 34 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 1  <_  (
( A  -  B
)  +  1 )  ->  ta ) )
26415, 263sylbid 207 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  ->  ta ) )
265264imp 419 1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  A
)  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   [.wsbc 3129   class class class wbr 4180  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    <_ cle 9085    - cmin 9255   NNcn 9964   ZZcz 10246
This theorem is referenced by:  uzind3OLD  10329
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247
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