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Theorem uzindOLD 10366
 Description: Induction on the upper integers that start at an integer . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis. Warning: The HTML proof page is 3/4 megabyte in size. An attempt to shorten it is on my to-do list. Anyone is welcome to try. (Contributed by NM, 11-May-2004.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
uzindOLD.1
uzindOLD.2
uzindOLD.3
uzindOLD.4
uzindOLD.5
uzindOLD.6
Assertion
Ref Expression
uzindOLD
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem uzindOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 10288 . . . 4
2 zre 10288 . . . 4
3 subge0 9543 . . . . 5
4 resubcl 9367 . . . . . . 7
5 0re 9093 . . . . . . . 8
6 1re 9092 . . . . . . . 8
7 leadd1 9498 . . . . . . . 8
85, 6, 7mp3an13 1271 . . . . . . 7
94, 8syl 16 . . . . . 6
10 ax-1cn 9050 . . . . . . . 8
1110addid2i 9256 . . . . . . 7
1211breq1i 4221 . . . . . 6
139, 12syl6bb 254 . . . . 5
143, 13bitr3d 248 . . . 4
151, 2, 14syl2an 465 . . 3
16 zsubcl 10321 . . . . 5
17 peano2z 10320 . . . . 5
1816, 17syl 16 . . . 4
19 elnnz1 10309 . . . . . . . 8
20 eleq1 2498 . . . . . . . . . 10
21 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . . 15
2221isseti 2964 . . . . . . . . . . . . . 14
23 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . 16
24 nfsbc1v 3182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
25 uzindOLD.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2625nfth 1563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2724, 26nfbi 1857 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2823, 27nfim 1833 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 sbceq1a 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3029adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
31 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3231oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3310subidi 9373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3433oveq1i 6093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
35 zcn 10289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
36 addid2 9251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3834, 37syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3932, 38sylan9eq 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
40 eqtr 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4139, 40sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
42 uzindOLD.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4430, 43bitr3d 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4544ex 425 . . . . . . . . . . . . . . 15
4628, 45exlimi 1822 . . . . . . . . . . . . . 14
4722, 46ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13
4847ex 425 . . . . . . . . . . . 12
4948adantld 455 . . . . . . . . . . 11
5049pm5.74d 240 . . . . . . . . . 10
5120, 50imbi12d 313 . . . . . . . . 9
52 eleq1 2498 . . . . . . . . . 10
53 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . 13
5453isseti 2964 . . . . . . . . . . . 12
55 eeanv 1938 . . . . . . . . . . . . 13
56 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . 15
57 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5824, 57nfbi 1857 . . . . . . . . . . . . . . 15
5956, 58nfim 1833 . . . . . . . . . . . . . 14
60 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . 16
61 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
62 nfsbc1v 3182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6361, 62nfbi 1857 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6460, 63nfim 1833 . . . . . . . . . . . . . . 15
65 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6665oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
67 eqeq12 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6866, 67syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
69 uzindOLD.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7068, 69syl6 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16
71 sbceq1a 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7229, 71bi2bian9 847 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7370, 72sylibd 207 . . . . . . . . . . . . . . 15
7464, 73exlimi 1822 . . . . . . . . . . . . . 14
7559, 74exlimi 1822 . . . . . . . . . . . . 13
7655, 75sylbir 206 . . . . . . . . . . . 12
7722, 54, 76mp2an 655 . . . . . . . . . . 11
7877imbi2d 309 . . . . . . . . . 10
7952, 78imbi12d 313 . . . . . . . . 9
80 zcn 10289 . . . . . . . . . . . . . . . 16
81 subcl 9307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8210, 81mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
83 addcl 9074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8482, 83sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
85 npcan 9316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8684, 10, 85sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8780, 35, 86syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
8887ex 425 . . . . . . . . . . . . . 14
8988adantld 455 . . . . . . . . . . . . 13
90 dfsbcq 3165 . . . . . . . . . . . . 13
9189, 90syl6 32 . . . . . . . . . . . 12
9291pm5.74d 240 . . . . . . . . . . 11
9392pm5.74i 238 . . . . . . . . . 10
94 eleq1 2498 . . . . . . . . . . 11
95 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . 14
9695isseti 2964 . . . . . . . . . . . . 13
97 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . 14
9897isseti 2964 . . . . . . . . . . . . 13
99 eeanv 1938 . . . . . . . . . . . . . 14
100 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . 16
101 nfsbc1v 3182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
102 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
103101, 102nfbi 1857 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104100, 103nfim 1833 . . . . . . . . . . . . . . 15
105 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
106 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
107 nfsbc1v 3182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
108106, 107nfbi 1857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109105, 108nfim 1833 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
111110oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
112111oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
113112oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
114 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
115 eqeq12 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
116114, 115sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117113, 116syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
118 uzindOLD.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
119117, 118syl6 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
120 sbceq1a 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121 sbceq1a 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122120, 121bi2bian9 847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123119, 122sylibd 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124109, 123exlimi 1822 . . . . . . . . . . . . . . 15
125104, 124exlimi 1822 . . . . . . . . . . . . . 14
12699, 125sylbir 206 . . . . . . . . . . . . 13
12796, 98, 126mp2an 655 . . . . . . . . . . . 12
128127imbi2d 309 . . . . . . . . . . 11
12994, 128imbi12d 313 . . . . . . . . . 10
13093, 129syl5bbr 252 . . . . . . . . 9
131 eleq1 2498 . . . . . . . . . 10
132 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . 14
133 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . 15
13424, 133nfbi 1857 . . . . . . . . . . . . . 14
135132, 134nfim 1833 . . . . . . . . . . . . 13
13629adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
137 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
138137oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
139 eqtr 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
140138, 139sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
141 zcn 10289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
142 subcl 9307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
14310a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
144 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
145 add32 9282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
146142, 143, 144, 145syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
147 npcan 9316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
148147oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
149146, 148eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
150149oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
151 peano2cn 9240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
152142, 151syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
153 addsub 9318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
154152, 144, 143, 153syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
155 pncan 9313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
15610, 155mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
157156adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
158150, 154, 1573eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
159141, 35, 158syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
160140, 159sylan9eq 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
161160anasss 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16
162 uzindOLD.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16
163161, 162syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
164136, 163bitr3d 248 . . . . . . . . . . . . . 14
165164ex 425 . . . . . . . . . . . . 13
166135, 165exlimi 1822 . . . . . . . . . . . 12
16722, 166ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
168167pm5.74da 670 . . . . . . . . . 10
169131, 168imbi12d 313 . . . . . . . . 9
17025a1ii 26 . . . . . . . . 9
171 nnz 10305 . . . . . . . . . . 11
172171a1d 24 . . . . . . . . . 10
173 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
174 nfsbc1v 3182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
17562, 174nfim 1833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
176173, 175nfim 1833 . . . . . . . . . . . . . . . 16
177 uzindOLD.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
178 peano2zm 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
179 zaddcl 10319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
180178, 179sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
181171, 180sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
182 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
183 elnnz1 10309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
184 zre 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
185 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
186 peano2rem 9369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
187 readdcl 9075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
188186, 187sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
189 peano2rem 9369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
190189adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
191 lesub1 9524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
192185, 188, 190, 191syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
193 recn 9082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
194 recn 9082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
195 subsub 9333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
19610, 195mp3an3 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
197196anidms 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
198 subid 9323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
199198oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
200199, 11syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
201197, 200eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
202201adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
203 subcl 9307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
20410, 203mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
205 addcl 9074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
206204, 205sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
207 subsub 9333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
20810, 207mp3an3 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
209206, 208sylancom 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
210 pncan 9313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
211204, 210sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
212211oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
213 npcan 9316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
21410, 213mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
215214adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
216209, 212, 2153eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
217202, 216breq12d 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
218193, 194, 217syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
219192, 218bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
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