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Theorem uzindi 11320
Description: Indirect strong induction on the upper integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uzindi.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
uzindi.b  |-  ( ph  ->  T  e.  ( ZZ>= `  L ) )
uzindi.c  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T )  /\  A. y ( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) )  ->  ps )
uzindi.d  |-  ( x  =  y  ->  ( ps 
<->  ch ) )
uzindi.e  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  th ) )
uzindi.f  |-  ( x  =  y  ->  R  =  S )
uzindi.g  |-  ( x  =  A  ->  R  =  T )
Assertion
Ref Expression
uzindi  |-  ( ph  ->  th )
Distinct variable groups:    x, y, L    x, A    x, S    x, T, y    ch, x    ph, x, y    th, x    y, R    ps, y
Allowed substitution hints:    ps( x)    ch( y)    th( y)    A( y)    R( x)    S( y)    V( x, y)

Proof of Theorem uzindi
StepHypRef Expression
1 uzindi.b . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  ( ZZ>= `  L ) )
2 eluzfz2 11065 . . 3  |-  ( T  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  T  e.  ( L ... T ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  ( L ... T ) )
4 uzindi.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 fzofi 11313 . . . 4  |-  ( L..^ T )  e.  Fin
6 finnum 7835 . . . 4  |-  ( ( L..^ T )  e. 
Fin  ->  ( L..^ T
)  e.  dom  card )
75, 6mp1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L..^ T )  e.  dom  card )
8 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. y ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) ) )  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  ph )
9 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. y ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) ) )  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  R  e.  ( L ... T ) )
10 elfzuz3 11056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  ( L ... T )  ->  T  e.  ( ZZ>= `  R )
)
1110adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  T  e.  ( ZZ>= `  R )
)
12 fzoss2 11163 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  ( ZZ>= `  R
)  ->  ( L..^ R )  C_  ( L..^ T ) )
13 fzossfz 11157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L..^ T )  C_  ( L ... T )
1412, 13syl6ss 3360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  ( ZZ>= `  R
)  ->  ( L..^ R )  C_  ( L ... T ) )
1511, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  ( L..^ R )  C_  ( L ... T ) )
1615sselda 3348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  S  e.  ( L ... T ) )
17 fzofi 11313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L..^ R )  e.  Fin
18 elfzofz 11154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  e.  ( L..^ R
)  ->  S  e.  ( L ... R ) )
1918adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  S  e.  ( L ... R ) )
20 elfzuz3 11056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e.  ( L ... R )  ->  R  e.  ( ZZ>= `  S )
)
21 fzoss2 11163 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  ( ZZ>= `  S
)  ->  ( L..^ S )  C_  ( L..^ R ) )
2219, 20, 213syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  ( L..^ S )  C_  ( L..^ R ) )
23 fzonel 11152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  S  e.  ( L..^ S )
2423jctr 527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e.  ( L..^ R
)  ->  ( S  e.  ( L..^ R )  /\  -.  S  e.  ( L..^ S ) ) )
2524adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  ( S  e.  ( L..^ R )  /\  -.  S  e.  ( L..^ S ) ) )
26 ssnelpss 3691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L..^ S )  C_  ( L..^ R )  -> 
( ( S  e.  ( L..^ R )  /\  -.  S  e.  ( L..^ S ) )  ->  ( L..^ S )  C.  ( L..^ R ) ) )
2722, 25, 26sylc 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  ( L..^ S )  C.  ( L..^ R ) )
28 php3 7293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L..^ R )  e.  Fin  /\  ( L..^ S )  C.  ( L..^ R ) )  -> 
( L..^ S ) 
~<  ( L..^ R ) )
2917, 27, 28sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R ) )
30 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L..^ S ) 
~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) ) )
3130com13 76 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  ( L ... T )  ->  (
( L..^ S ) 
~<  ( L..^ R )  ->  ( ( ( L..^ S )  ~< 
( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  ch )
) )
3216, 29, 31sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  ( (
( L..^ S ) 
~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  ch )
)
3332ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  ( S  e.  ( L..^ R )  ->  ( ( ( L..^ S )  ~< 
( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  ch )
) )
3433com23 74 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  ( (
( L..^ S ) 
~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  ( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) ) )
3534alimdv 1631 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  ( A. y ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) )  ->  A. y
( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) ) )
3635ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ( L ... T )  ->  ( A. y
( ( L..^ S
)  ~<  ( L..^ R
)  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  A. y
( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) ) ) )
3736com23 74 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. y ( ( L..^ S ) 
~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  ( R  e.  ( L ... T
)  ->  A. y
( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) ) ) )
3837imp31 422 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. y ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) ) )  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  A. y ( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) )
39 uzindi.c . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T )  /\  A. y ( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) )  ->  ps )
408, 9, 38, 39syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. y ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) ) )  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  ps )
4140ex 424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. y
( ( L..^ S
)  ~<  ( L..^ R
)  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
) )  ->  ( R  e.  ( L ... T )  ->  ps ) )
42413adant2 976 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( L..^ R )  ~<_  ( L..^ T )  /\  A. y ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) ) )  -> 
( R  e.  ( L ... T )  ->  ps ) )
43 uzindi.f . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  R  =  S )
4443eleq1d 2502 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( R  e.  ( L ... T )  <->  S  e.  ( L ... T ) ) )
45 uzindi.d . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( ps 
<->  ch ) )
4644, 45imbi12d 312 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( R  e.  ( L ... T )  ->  ps )  <->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
) )
47 uzindi.g . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  R  =  T )
4847eleq1d 2502 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( R  e.  ( L ... T )  <->  T  e.  ( L ... T ) ) )
49 uzindi.e . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  th ) )
5048, 49imbi12d 312 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( R  e.  ( L ... T )  ->  ps )  <->  ( T  e.  ( L ... T
)  ->  th )
) )
5143oveq2d 6097 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( L..^ R )  =  ( L..^ S ) )
5247oveq2d 6097 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( L..^ R )  =  ( L..^ T ) )
534, 7, 42, 46, 50, 51, 52indcardi 7922 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  e.  ( L ... T )  ->  th ) )
543, 53mpd 15 1  |-  ( ph  ->  th )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320    C. wpss 3321   class class class wbr 4212   dom cdm 4878   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ~<_ cdom 7107    ~< csdm 7108   Fincfn 7109   cardccrd 7822   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043  ..^cfzo 11135
This theorem is referenced by:  psgnunilem4  27397
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136
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