MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzindi Unicode version

Theorem uzindi 11308
Description: Indirect strong induction on the upper integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uzindi.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
uzindi.b  |-  ( ph  ->  T  e.  ( ZZ>= `  L ) )
uzindi.c  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T )  /\  A. y ( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) )  ->  ps )
uzindi.d  |-  ( x  =  y  ->  ( ps 
<->  ch ) )
uzindi.e  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  th ) )
uzindi.f  |-  ( x  =  y  ->  R  =  S )
uzindi.g  |-  ( x  =  A  ->  R  =  T )
Assertion
Ref Expression
uzindi  |-  ( ph  ->  th )
Distinct variable groups:    x, y, L    x, A    x, S    x, T, y    ch, x    ph, x, y    th, x    y, R    ps, y
Allowed substitution hints:    ps( x)    ch( y)    th( y)    A( y)    R( x)    S( y)    V( x, y)

Proof of Theorem uzindi
StepHypRef Expression
1 uzindi.b . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  ( ZZ>= `  L ) )
2 eluzfz2 11054 . . 3  |-  ( T  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  T  e.  ( L ... T ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  ( L ... T ) )
4 uzindi.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 fzofi 11301 . . . 4  |-  ( L..^ T )  e.  Fin
6 finnum 7824 . . . 4  |-  ( ( L..^ T )  e. 
Fin  ->  ( L..^ T
)  e.  dom  card )
75, 6mp1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L..^ T )  e.  dom  card )
8 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. y ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) ) )  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  ph )
9 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. y ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) ) )  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  R  e.  ( L ... T ) )
10 elfzuz3 11045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  ( L ... T )  ->  T  e.  ( ZZ>= `  R )
)
1110adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  T  e.  ( ZZ>= `  R )
)
12 fzoss2 11151 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  ( ZZ>= `  R
)  ->  ( L..^ R )  C_  ( L..^ T ) )
13 fzossfz 11145 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L..^ T )  C_  ( L ... T )
1412, 13syl6ss 3352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  ( ZZ>= `  R
)  ->  ( L..^ R )  C_  ( L ... T ) )
1511, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  ( L..^ R )  C_  ( L ... T ) )
1615sselda 3340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  S  e.  ( L ... T ) )
17 fzofi 11301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L..^ R )  e.  Fin
18 elfzofz 11142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  e.  ( L..^ R
)  ->  S  e.  ( L ... R ) )
1918adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  S  e.  ( L ... R ) )
20 elfzuz3 11045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e.  ( L ... R )  ->  R  e.  ( ZZ>= `  S )
)
21 fzoss2 11151 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  ( ZZ>= `  S
)  ->  ( L..^ S )  C_  ( L..^ R ) )
2219, 20, 213syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  ( L..^ S )  C_  ( L..^ R ) )
23 fzonel 11140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  S  e.  ( L..^ S )
2423jctr 527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e.  ( L..^ R
)  ->  ( S  e.  ( L..^ R )  /\  -.  S  e.  ( L..^ S ) ) )
2524adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  ( S  e.  ( L..^ R )  /\  -.  S  e.  ( L..^ S ) ) )
26 ssnelpss 3683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L..^ S )  C_  ( L..^ R )  -> 
( ( S  e.  ( L..^ R )  /\  -.  S  e.  ( L..^ S ) )  ->  ( L..^ S )  C.  ( L..^ R ) ) )
2722, 25, 26sylc 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  ( L..^ S )  C.  ( L..^ R ) )
28 php3 7284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L..^ R )  e.  Fin  /\  ( L..^ S )  C.  ( L..^ R ) )  -> 
( L..^ S ) 
~<  ( L..^ R ) )
2917, 27, 28sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R ) )
30 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L..^ S ) 
~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) ) )
3130com13 76 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  ( L ... T )  ->  (
( L..^ S ) 
~<  ( L..^ R )  ->  ( ( ( L..^ S )  ~< 
( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  ch )
) )
3216, 29, 31sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  ( (
( L..^ S ) 
~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  ch )
)
3332ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  ( S  e.  ( L..^ R )  ->  ( ( ( L..^ S )  ~< 
( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  ch )
) )
3433com23 74 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  ( (
( L..^ S ) 
~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  ( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) ) )
3534alimdv 1631 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  ( A. y ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) )  ->  A. y
( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) ) )
3635ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ( L ... T )  ->  ( A. y
( ( L..^ S
)  ~<  ( L..^ R
)  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  A. y
( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) ) ) )
3736com23 74 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. y ( ( L..^ S ) 
~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  ( R  e.  ( L ... T
)  ->  A. y
( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) ) ) )
3837imp31 422 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. y ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) ) )  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  A. y ( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) )
39 uzindi.c . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T )  /\  A. y ( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) )  ->  ps )
408, 9, 38, 39syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. y ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) ) )  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  ps )
4140ex 424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. y
( ( L..^ S
)  ~<  ( L..^ R
)  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
) )  ->  ( R  e.  ( L ... T )  ->  ps ) )
42413adant2 976 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( L..^ R )  ~<_  ( L..^ T )  /\  A. y ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) ) )  -> 
( R  e.  ( L ... T )  ->  ps ) )
43 uzindi.f . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  R  =  S )
4443eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( R  e.  ( L ... T )  <->  S  e.  ( L ... T ) ) )
45 uzindi.d . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( ps 
<->  ch ) )
4644, 45imbi12d 312 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( R  e.  ( L ... T )  ->  ps )  <->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
) )
47 uzindi.g . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  R  =  T )
4847eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( R  e.  ( L ... T )  <->  T  e.  ( L ... T ) ) )
49 uzindi.e . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  th ) )
5048, 49imbi12d 312 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( R  e.  ( L ... T )  ->  ps )  <->  ( T  e.  ( L ... T
)  ->  th )
) )
5143oveq2d 6088 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( L..^ R )  =  ( L..^ S ) )
5247oveq2d 6088 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( L..^ R )  =  ( L..^ T ) )
534, 7, 42, 46, 50, 51, 52indcardi 7911 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  e.  ( L ... T )  ->  th ) )
543, 53mpd 15 1  |-  ( ph  ->  th )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312    C. wpss 3313   class class class wbr 4204   dom cdm 4869   ` cfv 5445  (class class class)co 6072    ~<_ cdom 7098    ~< csdm 7099   Fincfn 7100   cardccrd 7811   ZZ>=cuz 10477   ...cfz 11032  ..^cfzo 11123
This theorem is referenced by:  psgnunilem4  27335
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-card 7815  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-fz 11033  df-fzo 11124
  Copyright terms: Public domain W3C validator