Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzsinds Unicode version

Theorem uzsinds 25242
Description: Strong (or "total") induction principle over a set of upper integers. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
uzsinds.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
uzsinds.2  |-  ( x  =  N  ->  ( ph 
<->  ch ) )
uzsinds.3  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. y  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ps  ->  ph ) )
Assertion
Ref Expression
uzsinds  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ch )
Distinct variable groups:    ch, x    x, M, y    x, N    ph, y    ps, x    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    N( y)

Proof of Theorem uzsinds
StepHypRef Expression
1 ltweuz 11230 . 2  |-  <  We  ( ZZ>= `  M )
2 fvex 5684 . . 3  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
3 exse 4489 . . 3  |-  ( (
ZZ>= `  M )  e. 
_V  ->  < Se  ( ZZ>= `  M ) )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  < Se  ( ZZ>=
`  M )
5 uzsinds.1 . 2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
6 uzsinds.2 . 2  |-  ( x  =  N  ->  ( ph 
<->  ch ) )
7 preduz 25226 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  Pred (  <  ,  ( ZZ>= `  M
) ,  x )  =  ( M ... ( x  -  1
) ) )
87raleqdv 2855 . . 3  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. y  e.  Pred  (  <  ,  ( ZZ>= `  M
) ,  x ) ps  <->  A. y  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ps ) )
9 uzsinds.3 . . 3  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. y  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ps  ->  ph ) )
108, 9sylbid 207 . 2  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. y  e.  Pred  (  <  ,  ( ZZ>= `  M
) ,  x ) ps  ->  ph ) )
111, 4, 5, 6, 10wfis3 25241 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ch )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   _Vcvv 2901   Se wse 4482   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   1c1 8926    < clt 9055    - cmin 9225   ZZ>=cuz 10422   ...cfz 10977   Predcpred 25193
This theorem is referenced by:  nnsinds  25243  nn0sinds  25244
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-pred 25194
  Copyright terms: Public domain W3C validator