Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzsinds Structured version   Unicode version

Theorem uzsinds 25496
Description: Strong (or "total") induction principle over a set of upper integers. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
uzsinds.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
uzsinds.2  |-  ( x  =  N  ->  ( ph 
<->  ch ) )
uzsinds.3  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. y  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ps  ->  ph ) )
Assertion
Ref Expression
uzsinds  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ch )
Distinct variable groups:    ch, x    x, M, y    x, N    ph, y    ps, x    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    N( y)

Proof of Theorem uzsinds
StepHypRef Expression
1 ltweuz 11306 . 2  |-  <  We  ( ZZ>= `  M )
2 fvex 5745 . . 3  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
3 exse 4549 . . 3  |-  ( (
ZZ>= `  M )  e. 
_V  ->  < Se  ( ZZ>= `  M ) )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  < Se  ( ZZ>=
`  M )
5 uzsinds.1 . 2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
6 uzsinds.2 . 2  |-  ( x  =  N  ->  ( ph 
<->  ch ) )
7 preduz 25480 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  Pred (  <  ,  ( ZZ>= `  M
) ,  x )  =  ( M ... ( x  -  1
) ) )
87raleqdv 2912 . . 3  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. y  e.  Pred  (  <  ,  ( ZZ>= `  M
) ,  x ) ps  <->  A. y  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ps ) )
9 uzsinds.3 . . 3  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. y  e.  ( M ... ( x  -  1 ) ) ps  ->  ph ) )
108, 9sylbid 208 . 2  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. y  e.  Pred  (  <  ,  ( ZZ>= `  M
) ,  x ) ps  ->  ph ) )
111, 4, 5, 6, 10wfis3 25495 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ch )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958   Se wse 4542   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   1c1 8996    < clt 9125    - cmin 9296   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048   Predcpred 25443
This theorem is referenced by:  nnsinds  25497  nn0sinds  25498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-pred 25444
  Copyright terms: Public domain W3C validator