MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzsup Unicode version

Theorem uzsup 11173
Description: A set of upper integers is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
uzsup.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
uzsup  |-  ( M  e.  ZZ  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  =  +oo )

Proof of Theorem uzsup
Dummy variables  x  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  M  e.  ZZ )
2 flcl 11133 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
32peano2zd 10312 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ZZ )
4 id 20 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ZZ )
5 ifcl 3720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
63, 4, 5syl2anr 465 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
7 zre 10220 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
8 reflcl 11134 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
9 peano2re 9173 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  x )  e.  RR  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
11 max1 10707 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M ) )
127, 10, 11syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M ) )
13 eluz2 10428 . . . . . 6  |-  ( if ( M  <_  (
( |_ `  x
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  if ( M  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ  /\  M  <_  if ( M  <_  (
( |_ `  x
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  M
) ) )
141, 6, 12, 13syl3anbrc 1138 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
15 uzsup.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
1614, 15syl6eleqr 2480 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M )  e.  Z
)
17 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
1810adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR )
196zred 10309 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M )  e.  RR )
20 fllep1 11139 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
2120adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
22 max2 10709 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M ) )
237, 10, 22syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M ) )
2417, 18, 19, 21, 23letrd 9161 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  x  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M ) )
25 breq2 4159 . . . . 5  |-  ( n  =  if ( M  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M )  -> 
( x  <_  n  <->  x  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M ) ) )
2625rspcev 2997 . . . 4  |-  ( ( if ( M  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M )  e.  Z  /\  x  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M ) )  ->  E. n  e.  Z  x  <_  n )
2716, 24, 26syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  E. n  e.  Z  x  <_  n )
2827ralrimiva 2734 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  A. x  e.  RR  E. n  e.  Z  x  <_  n
)
29 uzssz 10439 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
3015, 29eqsstri 3323 . . . . 5  |-  Z  C_  ZZ
31 zssre 10223 . . . . 5  |-  ZZ  C_  RR
3230, 31sstri 3302 . . . 4  |-  Z  C_  RR
33 ressxr 9064 . . . 4  |-  RR  C_  RR*
3432, 33sstri 3302 . . 3  |-  Z  C_  RR*
35 supxrunb1 10832 . . 3  |-  ( Z 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. n  e.  Z  x  <_  n  <->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
3634, 35ax-mp 8 . 2  |-  ( A. x  e.  RR  E. n  e.  Z  x  <_  n  <->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
3728, 36sylib 189 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   E.wrex 2652    C_ wss 3265   ifcif 3684   class class class wbr 4155   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   supcsup 7382   RRcr 8924   1c1 8926    + caddc 8928    +oocpnf 9052   RR*cxr 9054    < clt 9055    <_ cle 9056   ZZcz 10216   ZZ>=cuz 10422   |_cfl 11130
This theorem is referenced by:  climrecl  12306  climge0  12307  caurcvg  12399  caucvg  12401  mbflimsup  19427
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-sup 7383  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fl 11131
  Copyright terms: Public domain W3C validator