MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzsup Unicode version

Theorem uzsup 11232
Description: A set of upper integers is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
uzsup.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
uzsup  |-  ( M  e.  ZZ  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  =  +oo )

Proof of Theorem uzsup
Dummy variables  x  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  M  e.  ZZ )
2 flcl 11192 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
32peano2zd 10367 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ZZ )
4 id 20 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ZZ )
5 ifcl 3767 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
63, 4, 5syl2anr 465 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
7 zre 10275 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
8 reflcl 11193 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
9 peano2re 9228 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  x )  e.  RR  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
11 max1 10762 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M ) )
127, 10, 11syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M ) )
13 eluz2 10483 . . . . . 6  |-  ( if ( M  <_  (
( |_ `  x
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  if ( M  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ  /\  M  <_  if ( M  <_  (
( |_ `  x
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  M
) ) )
141, 6, 12, 13syl3anbrc 1138 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
15 uzsup.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
1614, 15syl6eleqr 2526 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M )  e.  Z
)
17 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
1810adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR )
196zred 10364 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M )  e.  RR )
20 fllep1 11198 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
2120adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
22 max2 10764 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M ) )
237, 10, 22syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M ) )
2417, 18, 19, 21, 23letrd 9216 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  x  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M ) )
25 breq2 4208 . . . . 5  |-  ( n  =  if ( M  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M )  -> 
( x  <_  n  <->  x  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M ) ) )
2625rspcev 3044 . . . 4  |-  ( ( if ( M  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  M )  e.  Z  /\  x  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ,  M ) )  ->  E. n  e.  Z  x  <_  n )
2716, 24, 26syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  RR )  ->  E. n  e.  Z  x  <_  n )
2827ralrimiva 2781 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  A. x  e.  RR  E. n  e.  Z  x  <_  n
)
29 uzssz 10494 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
3015, 29eqsstri 3370 . . . . 5  |-  Z  C_  ZZ
31 zssre 10278 . . . . 5  |-  ZZ  C_  RR
3230, 31sstri 3349 . . . 4  |-  Z  C_  RR
33 ressxr 9118 . . . 4  |-  RR  C_  RR*
3432, 33sstri 3349 . . 3  |-  Z  C_  RR*
35 supxrunb1 10887 . . 3  |-  ( Z 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. n  e.  Z  x  <_  n  <->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  =  +oo ) )
3634, 35ax-mp 8 . 2  |-  ( A. x  e.  RR  E. n  e.  Z  x  <_  n  <->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
3728, 36sylib 189 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   ifcif 3731   class class class wbr 4204   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   supcsup 7436   RRcr 8978   1c1 8980    + caddc 8982    +oocpnf 9106   RR*cxr 9108    < clt 9109    <_ cle 9110   ZZcz 10271   ZZ>=cuz 10477   |_cfl 11189
This theorem is referenced by:  climrecl  12365  climge0  12366  caurcvg  12458  caucvg  12460  mbflimsup  19546
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-fl 11190
  Copyright terms: Public domain W3C validator