Theorem uztrn 6429

Description: Transitive law for sets of upper integers.

Assertion

Ref	Expression
uztrn	|- ((M e. (ZZ>` K) /\ K e. (ZZ>` N)) -> M e. (ZZ>` N))

Proof of Theorem uztrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 6425	. . . 4 |- (K e. (ZZ>` N) -> N e. ZZ)
2	1	adantl 390	. . 3 |- ((M e. (ZZ>` K) /\ K e. (ZZ>` N)) -> N e. ZZ)
3		eluzelz 6424	. . . 4 |- (M e. (ZZ>` K) -> M e. ZZ)
4	3	adantr 391	. . 3 |- ((M e. (ZZ>` K) /\ K e. (ZZ>` N)) -> M e. ZZ)
5		eluzle 6426	. . . . 5 |- (K e. (ZZ>` N) -> N <_ K)
6	5	adantl 390	. . . 4 |- ((M e. (ZZ>` K) /\ K e. (ZZ>` N)) -> N <_ K)
7		eluzle 6426	. . . . 5 |- (M e. (ZZ>` K) -> K <_ M)
8	7	adantr 391	. . . 4 |- ((M e. (ZZ>` K) /\ K e. (ZZ>` N)) -> K <_ M)
9		letrt 5537	. . . . . 6 |- ((N e. RR /\ K e. RR /\ M e. RR) -> ((N <_ K /\ K <_ M) -> N <_ M))
10		zret 6141	. . . . . 6 |- (N e. ZZ -> N e. RR)
11		zret 6141	. . . . . 6 |- (K e. ZZ -> K e. RR)
12		zret 6141	. . . . . 6 |- (M e. ZZ -> M e. RR)
13	9, 10, 11, 12	syl3an 870	. . . . 5 |- ((N e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M e. ZZ) -> ((N <_ K /\ K <_ M) -> N <_ M))
14		eluzelz 6424	. . . . . 6 |- (K e. (ZZ>` N) -> K e. ZZ)
15	14	adantl 390	. . . . 5 |- ((M e. (ZZ>` K) /\ K e. (ZZ>` N)) -> K e. ZZ)
16	13, 2, 15, 4	syl3anc 860	. . . 4 |- ((M e. (ZZ>` K) /\ K e. (ZZ>` N)) -> ((N <_ K /\ K <_ M) -> N <_ M))
17	6, 8, 16	mp2and 705	. . 3 |- ((M e. (ZZ>` K) /\ K e. (ZZ>` N)) -> N <_ M)
18	2, 4, 17	3jca 821	. 2 |- ((M e. (ZZ>` K) /\ K e. (ZZ>` N)) -> (N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N <_ M))
19		eluz2t 6422	. 2 |- (M e. (ZZ>` N) <-> (N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N <_ M))
20	18, 19	sylibr 200	1 |- ((M e. (ZZ>` K) /\ K e. (ZZ>` N)) -> M e. (ZZ>` N))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   e. wcel 960   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  RRcr 5245   <_ cle 5307  ZZcz 5310  ZZ>cuz 6418

This theorem is referenced by:  elfzuz2t 6487  clim2serzt 7134  clim2serz 7145  climserzle 7147  iserzgt0 7211  reeftlclt 7380  ef01tllem1 7383  ef01tllem2 7384  ef01tllem2OLD 7385  absef01tllem 7387  eirrlem3 7391  eirrlem4 7392

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-ltp 5102  df-enr 5178  df-nr 5179  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-c 5252  df-r 5256  df-lt 5259  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-z 6138  df-uz 6419

Copyright terms: Public domain