Theorem uzwo5OLD 6213

Description: Well-ordering principle: any non-empty subset of upper integers has a unique least element.

Assertion

Ref	Expression
uzwo5OLD	|- ((B e. ZZ /\ (A (_ {z e. ZZ | B <_ z} /\ A =/= (/))) -> E!x e. A A.y e. A x <_ y)

Distinct variable groups:   x,y,A   y,z,B

Proof of Theorem uzwo5OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzwo4OLD 6212	. . 3 |- ((B e. ZZ /\ (A (_ {z e. ZZ | B <_ z} /\ A =/= (/))) -> E.x e. A A.y e. A x <_ y)
2		ssrab2 2134	. . . . . . 7 |- {z e. ZZ | B <_ z} (_ ZZ
3		zssre 6144	. . . . . . 7 |- ZZ (_ RR
4	2, 3	sstri 2076	. . . . . 6 |- {z e. ZZ | B <_ z} (_ RR
5		sstr 2075	. . . . . 6 |- ((A (_ {z e. ZZ | B <_ z} /\ {z e. ZZ | B <_ z} (_ RR) -> A (_ RR)
6	4, 5	mpan2 698	. . . . 5 |- (A (_ {z e. ZZ | B <_ z} -> A (_ RR)
7		breq2 2628	. . . . . . . . . . 11 |- (y = w -> (x <_ y <-> x <_ w))
8	7	rcla4v 1876	. . . . . . . . . 10 |- (w e. A -> (A.y e. A x <_ y -> x <_ w))
9		breq2 2628	. . . . . . . . . . 11 |- (y = x -> (w <_ y <-> w <_ x))
10	9	rcla4v 1876	. . . . . . . . . 10 |- (x e. A -> (A.y e. A w <_ y -> w <_ x))
11	8, 10	im2anan9 565	. . . . . . . . 9 |- ((w e. A /\ x e. A) -> ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> (x <_ w /\ w <_ x)))
12	11	ancoms 438	. . . . . . . 8 |- ((x e. A /\ w e. A) -> ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> (x <_ w /\ w <_ x)))
13		ssel 2066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A (_ RR -> (x e. A -> x e. RR))
14		ssel 2066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A (_ RR -> (w e. A -> w e. RR))
15	13, 14	anim12d 560	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A (_ RR -> ((x e. A /\ w e. A) -> (x e. RR /\ w e. RR)))
16	15	impcom 351	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. A /\ w e. A) /\ A (_ RR) -> (x e. RR /\ w e. RR))
17		letri3t 5529	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. RR /\ w e. RR) -> (x = w <-> (x <_ w /\ w <_ x)))
18	16, 17	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. A /\ w e. A) /\ A (_ RR) -> (x = w <-> (x <_ w /\ w <_ x)))
19	18	biimprd 154	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. A /\ w e. A) /\ A (_ RR) -> ((x <_ w /\ w <_ x) -> x = w))
20	19	ex 373	. . . . . . . . 9 |- ((x e. A /\ w e. A) -> (A (_ RR -> ((x <_ w /\ w <_ x) -> x = w)))
21	20	com23 32	. . . . . . . 8 |- ((x e. A /\ w e. A) -> ((x <_ w /\ w <_ x) -> (A (_ RR -> x = w)))
22	12, 21	syld 27	. . . . . . 7 |- ((x e. A /\ w e. A) -> ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> (A (_ RR -> x = w)))
23	22	com3r 35	. . . . . 6 |- (A (_ RR -> ((x e. A /\ w e. A) -> ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> x = w)))
24	23	r19.21aivv 1723	. . . . 5 |- (A (_ RR -> A.x e. A A.w e. A ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> x = w))
25	6, 24	syl 10	. . . 4 |- (A (_ {z e. ZZ | B <_ z} -> A.x e. A A.w e. A ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> x = w))
26	25	ad2antrl 408	. . 3 |- ((B e. ZZ /\ (A (_ {z e. ZZ | B <_ z} /\ A =/= (/))) -> A.x e. A A.w e. A ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> x = w))
27	1, 26	jca 288	. 2 |- ((B e. ZZ /\ (A (_ {z e. ZZ | B <_ z} /\ A =/= (/))) -> (E.x e. A A.y e. A x <_ y /\ A.x e. A A.w e. A ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> x = w)))
28		breq1 2627	. . . 4 |- (x = w -> (x <_ y <-> w <_ y))
29	28	ralbidv 1666	. . 3 |- (x = w -> (A.y e. A x <_ y <-> A.y e. A w <_ y))
30	29	reu4 1937	. 2 |- (E!x e. A A.y e. A x <_ y <-> (E.x e. A A.y e. A x <_ y /\ A.x e. A A.w e. A ((A.y e. A x <_ y /\ A.y e. A w <_ y) -> x = w)))
31	27, 30	sylibr 200	1 |- ((B e. ZZ /\ (A (_ {z e. ZZ | B <_ z} /\ A =/= (/))) -> E!x e. A A.y e. A x <_ y)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  A.wral 1648  E.wrex 1649  E!wreu 1650  {crab 1651   (_ wss 2050  (/)c0 2283   class class class wbr 2624  RRcr 5245   <_ cle 5307  ZZcz 5310

This theorem is referenced by:  uzwo3lem1 6218  uzwo3lem2 6219

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138

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