MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzwoOLD Unicode version

Theorem uzwoOLD 10284
Description: Well-ordering principle: any non-empty subset of the upper integers has the least element. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
uzwoOLD  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  S  =  (/) )  ->  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )
Distinct variable group:    j, k, S
Allowed substitution hints:    M( j, k)

Proof of Theorem uzwoOLD
Dummy variables  t  h  n  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  M  ->  (
h  <_  t  <->  M  <_  t ) )
21ralbidv 2565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  M  ->  ( A. t  e.  S  h  <_  t  <->  A. t  e.  S  M  <_  t ) )
32imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  M  ->  (
( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t
)  ->  A. t  e.  S  h  <_  t )  <->  ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  A. t  e.  S  M  <_  t ) ) )
4 breq1 4028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  m  ->  (
h  <_  t  <->  m  <_  t ) )
54ralbidv 2565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  m  ->  ( A. t  e.  S  h  <_  t  <->  A. t  e.  S  m  <_  t ) )
65imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  m  ->  (
( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t
)  ->  A. t  e.  S  h  <_  t )  <->  ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  A. t  e.  S  m  <_  t ) ) )
7 breq1 4028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  ( m  + 
1 )  ->  (
h  <_  t  <->  ( m  +  1 )  <_ 
t ) )
87ralbidv 2565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  ( m  + 
1 )  ->  ( A. t  e.  S  h  <_  t  <->  A. t  e.  S  ( m  +  1 )  <_ 
t ) )
98imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t
)  ->  A. t  e.  S  h  <_  t )  <->  ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  A. t  e.  S  ( m  +  1 )  <_ 
t ) ) )
10 breq1 4028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  n  ->  (
h  <_  t  <->  n  <_  t ) )
1110ralbidv 2565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  n  ->  ( A. t  e.  S  h  <_  t  <->  A. t  e.  S  n  <_  t ) )
1211imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  n  ->  (
( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t
)  ->  A. t  e.  S  h  <_  t )  <->  ( ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  A. t  e.  S  n  <_  t ) ) )
13 ssel 3176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( t  e.  S  ->  t  e.  ( ZZ>= `  M )
) )
14 eluzle 10242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  t )
1513, 14syl6 29 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( t  e.  S  ->  M  <_ 
t ) )
1615ralrimiv 2627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  A. t  e.  S  M  <_  t )
1716adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  A. t  e.  S  M  <_  t )
1817a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  A. t  e.  S  M  <_  t ) )
19 uzssz 10249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
20 sstr 3189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  ( ZZ>=
`  M )  C_  ZZ )  ->  S  C_  ZZ )
2119, 20mpan2 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  S  C_  ZZ )
22 eluzelz 10240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  m  e.  ZZ )
23 breq1 4028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  =  m  ->  (
j  <_  t  <->  m  <_  t ) )
2423ralbidv 2565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  m  ->  ( A. t  e.  S  j  <_  t  <->  A. t  e.  S  m  <_  t ) )
2524rspcev 2886 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  S  /\  A. t  e.  S  m  <_  t )  ->  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )
2625expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. t  e.  S  m  <_  t  ->  ( m  e.  S  ->  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t ) )
2726con3rr3 128 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t  ->  ( A. t  e.  S  m  <_  t  ->  -.  m  e.  S )
)
28 ssel2 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( S  C_  ZZ  /\  t  e.  S )  ->  t  e.  ZZ )
29 zre 10030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  RR )
30 zre 10030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( t  e.  ZZ  ->  t  e.  RR )
31 letri3 8909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( m  e.  RR  /\  t  e.  RR )  ->  ( m  =  t  <-> 
( m  <_  t  /\  t  <_  m ) ) )
3229, 30, 31syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( m  =  t  <-> 
( m  <_  t  /\  t  <_  m ) ) )
33 zleltp1 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( t  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( t  <_  m  <->  t  <  ( m  + 
1 ) ) )
34 peano2re 8987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m  e.  RR  ->  (
m  +  1 )  e.  RR )
3529, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
m  +  1 )  e.  RR )
36 ltnle 8904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( t  e.  RR  /\  ( m  +  1
)  e.  RR )  ->  ( t  < 
( m  +  1 )  <->  -.  ( m  +  1 )  <_ 
t ) )
3730, 35, 36syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( t  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( t  <  (
m  +  1 )  <->  -.  ( m  +  1 )  <_  t )
)
3833, 37bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( t  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( t  <_  m  <->  -.  ( m  +  1 )  <_  t )
)
3938ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( t  <_  m  <->  -.  ( m  +  1 )  <_  t )
)
4039anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( ( m  <_ 
t  /\  t  <_  m )  <->  ( m  <_ 
t  /\  -.  (
m  +  1 )  <_  t ) ) )
4132, 40bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( m  =  t  <-> 
( m  <_  t  /\  -.  ( m  + 
1 )  <_  t
) ) )
4228, 41sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( S  C_  ZZ  /\  t  e.  S )
)  ->  ( m  =  t  <->  ( m  <_ 
t  /\  -.  (
m  +  1 )  <_  t ) ) )
43 eleq1a 2354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( t  e.  S  ->  (
m  =  t  ->  m  e.  S )
)
4443ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( S  C_  ZZ  /\  t  e.  S )
)  ->  ( m  =  t  ->  m  e.  S ) )
4542, 44sylbird 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( S  C_  ZZ  /\  t  e.  S )
)  ->  ( (
m  <_  t  /\  -.  ( m  +  1 )  <_  t )  ->  m  e.  S ) )
4645exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( S  C_  ZZ  /\  t  e.  S )
)  ->  ( m  <_  t  ->  ( -.  ( m  +  1
)  <_  t  ->  m  e.  S ) ) )
47 con1 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( -.  ( m  + 
1 )  <_  t  ->  m  e.  S )  ->  ( -.  m  e.  S  ->  ( m  +  1 )  <_ 
t ) )
4846, 47syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( S  C_  ZZ  /\  t  e.  S )
)  ->  ( m  <_  t  ->  ( -.  m  e.  S  ->  ( m  +  1 )  <_  t ) ) )
4948com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( S  C_  ZZ  /\  t  e.  S )
)  ->  ( -.  m  e.  S  ->  ( m  <_  t  ->  ( m  +  1 )  <_  t ) ) )
5049exp32 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ZZ  ->  ( S  C_  ZZ  ->  (
t  e.  S  -> 
( -.  m  e.  S  ->  ( m  <_  t  ->  ( m  +  1 )  <_ 
t ) ) ) ) )
5150com34 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ZZ  ->  ( S  C_  ZZ  ->  ( -.  m  e.  S  ->  ( t  e.  S  ->  ( m  <_  t  ->  ( m  +  1 )  <_  t )
) ) ) )
5251imp41 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( m  e.  ZZ  /\  S  C_  ZZ )  /\  -.  m  e.  S )  /\  t  e.  S )  ->  (
m  <_  t  ->  ( m  +  1 )  <_  t ) )
5352ralimdva 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  /\  S  C_  ZZ )  /\  -.  m  e.  S
)  ->  ( A. t  e.  S  m  <_  t  ->  A. t  e.  S  ( m  +  1 )  <_ 
t ) )
5453ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  S  C_  ZZ )  -> 
( -.  m  e.  S  ->  ( A. t  e.  S  m  <_  t  ->  A. t  e.  S  ( m  +  1 )  <_ 
t ) ) )
5527, 54sylan9r 639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  /\  S  C_  ZZ )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t
)  ->  ( A. t  e.  S  m  <_  t  ->  ( A. t  e.  S  m  <_  t  ->  A. t  e.  S  ( m  +  1 )  <_ 
t ) ) )
5655pm2.43d 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  /\  S  C_  ZZ )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t
)  ->  ( A. t  e.  S  m  <_  t  ->  A. t  e.  S  ( m  +  1 )  <_ 
t ) )
5756expl 601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
( S  C_  ZZ  /\ 
-.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  -> 
( A. t  e.  S  m  <_  t  ->  A. t  e.  S  ( m  +  1
)  <_  t )
) )
5822, 57syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( S  C_  ZZ  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  ( A. t  e.  S  m  <_  t  ->  A. t  e.  S  ( m  +  1 )  <_ 
t ) ) )
5921, 58sylani 635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  ( A. t  e.  S  m  <_  t  ->  A. t  e.  S  ( m  +  1 )  <_ 
t ) ) )
6059a2d 23 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  A. t  e.  S  m  <_  t )  -> 
( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t
)  ->  A. t  e.  S  ( m  +  1 )  <_ 
t ) ) )
613, 6, 9, 12, 18, 60uzind4 10278 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  A. t  e.  S  n  <_  t ) )
62 breq1 4028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  n  ->  (
j  <_  t  <->  n  <_  t ) )
6362ralbidv 2565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  n  ->  ( A. t  e.  S  j  <_  t  <->  A. t  e.  S  n  <_  t ) )
6463rspcev 2886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  S  /\  A. t  e.  S  n  <_  t )  ->  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )
6564expcom 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. t  e.  S  n  <_  t  ->  ( n  e.  S  ->  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t ) )
6665con3rr3 128 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t  ->  ( A. t  e.  S  n  <_  t  ->  -.  n  e.  S )
)
6766adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  ( A. t  e.  S  n  <_  t  ->  -.  n  e.  S )
)
6861, 67sylcom 25 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M
)  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  -.  n  e.  S ) )
69 ssel 3176 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( n  e.  S  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
) )
7069con3rr3 128 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  n  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ( S  C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  -.  n  e.  S ) )
7170adantrd 454 . . . . . . . 8  |-  ( -.  n  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  (
( S  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  -.  n  e.  S
) )
7268, 71pm2.61i 156 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )  ->  -.  n  e.  S )
7372ex 423 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t  ->  -.  n  e.  S ) )
7473alrimdv 1621 . . . . 5  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t  ->  A. n  -.  n  e.  S
) )
75 eq0 3471 . . . . 5  |-  ( S  =  (/)  <->  A. n  -.  n  e.  S )
7674, 75syl6ibr 218 . . . 4  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( -.  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t  ->  S  =  (/) ) )
7776con1d 116 . . 3  |-  ( S 
C_  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( -.  S  =  (/)  ->  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t ) )
7877imp 418 . 2  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  S  =  (/) )  ->  E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t )
79 breq2 4029 . . . 4  |-  ( t  =  k  ->  (
j  <_  t  <->  j  <_  k ) )
8079cbvralv 2766 . . 3  |-  ( A. t  e.  S  j  <_  t  <->  A. k  e.  S  j  <_  k )
8180rexbii 2570 . 2  |-  ( E. j  e.  S  A. t  e.  S  j  <_  t  <->  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )
8278, 81sylib 188 1  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  S  =  (/) )  ->  E. j  e.  S  A. k  e.  S  j  <_  k )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1529    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545   E.wrex 2546    C_ wss 3154   (/)c0 3457   class class class wbr 4025   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   RRcr 8738   1c1 8740    + caddc 8742    < clt 8869    <_ cle 8870   ZZcz 10026   ZZ>=cuz 10232
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233
  Copyright terms: Public domain W3C validator