Theorem vcsubdir 8171

Description: Subtractive distributive law for the scalar product of a complex vector space.

Hypotheses

Ref	Expression
vci.1	|- G = (1st` W)
vci.2	|- S = (2nd` W)
vci.3	|- X = ran G

Assertion

Ref	Expression
vcsubdir	|- ((W e. CVec /\ (A e. CC /\ B e. CC /\ C e. X)) -> ((A - B)SC) = ((ASC)G(-u1S(BSC))))

Proof of Theorem vcsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vci.1	. . . 4 |- G = (1st` W)
2		vci.2	. . . 4 |- S = (2nd` W)
3		vci.3	. . . 4 |- X = ran G
4	1, 2, 3	vcdir 8168	. . 3 |- ((W e. CVec /\ (A e. CC /\ -uB e. CC /\ C e. X)) -> ((A + -uB)SC) = ((ASC)G(-uBSC)))
5		negclt 5380	. . 3 |- (B e. CC -> -uB e. CC)
6	4, 5	syl3anr2 880	. 2 |- ((W e. CVec /\ (A e. CC /\ B e. CC /\ C e. X)) -> ((A + -uB)SC) = ((ASC)G(-uBSC)))
7		negsubt 5394	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + -uB) = (A - B))
8	7	3adant3 801	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. X) -> (A + -uB) = (A - B))
9	8	adantl 390	. . 3 |- ((W e. CVec /\ (A e. CC /\ B e. CC /\ C e. X)) -> (A + -uB) = (A - B))
10	9	opreq1d 3981	. 2 |- ((W e. CVec /\ (A e. CC /\ B e. CC /\ C e. X)) -> ((A + -uB)SC) = ((A - B)SC))
11		mulm1t 5483	. . . . . . 7 |- (B e. CC -> (-u1 x. B) = -uB)
12	11	ad2antrl 408	. . . . . 6 |- ((W e. CVec /\ (B e. CC /\ C e. X)) -> (-u1 x. B) = -uB)
13	12	opreq1d 3981	. . . . 5 |- ((W e. CVec /\ (B e. CC /\ C e. X)) -> ((-u1 x. B)SC) = (-uBSC))
14		ax1cn 5281	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
15	14	negcl 5381	. . . . . 6 |- -u1 e. CC
16	1, 2, 3	vcass 8169	. . . . . 6 |- ((W e. CVec /\ (-u1 e. CC /\ B e. CC /\ C e. X)) -> ((-u1 x. B)SC) = (-u1S(BSC)))
17	15, 16	mp3anr1 915	. . . . 5 |- ((W e. CVec /\ (B e. CC /\ C e. X)) -> ((-u1 x. B)SC) = (-u1S(BSC)))
18	13, 17	eqtr3d 1512	. . . 4 |- ((W e. CVec /\ (B e. CC /\ C e. X)) -> (-uBSC) = (-u1S(BSC)))
19	18	3adantr1 808	. . 3 |- ((W e. CVec /\ (A e. CC /\ B e. CC /\ C e. X)) -> (-uBSC) = (-u1S(BSC)))
20	19	opreq2d 3982	. 2 |- ((W e. CVec /\ (A e. CC /\ B e. CC /\ C e. X)) -> ((ASC)G(-uBSC)) = ((ASC)G(-u1S(BSC))))
21	6, 10, 20	3eqtr3d 1518	1 |- ((W e. CVec /\ (A e. CC /\ B e. CC /\ C e. X)) -> ((A - B)SC) = ((ASC)G(-u1S(BSC))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  ran crn 3177  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  1stc1st 4083  2ndc2nd 4084  CCcc 5244  1c1 5247   + caddc 5249   x. cmul 5251   - cmin 5304  -ucneg 5305  CVeccvc 8160

This theorem is referenced by:  sm1cnilem 8343

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-vc 8161

Copyright terms: Public domain