MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdegp1ai Structured version   Unicode version

Theorem vdegp1ai 21698
Description: The induction step for a vertex degree calculation. If the degree of  U in the edge set  E is  P, then adding  { X ,  Y } to the edge set, where  X  =/=  U  =/= 
Y, yields degree  P as well. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
vdeg0i.v  |-  V  e. 
_V
vdegp1ai.1  |-  (  T. 
->  E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
vdegp1ai.u  |-  U  e.  V
vdegp1ai.2  |-  ( ( V VDeg  E ) `  U )  =  P
vdegp1ai.3  |-  X  e.  V
vdegp1ai.4  |-  X  =/= 
U
vdegp1ai.5  |-  Y  e.  V
vdegp1ai.6  |-  Y  =/= 
U
vdegp1ai.f  |-  F  =  ( E concat  <" { X ,  Y } "> )
Assertion
Ref Expression
vdegp1ai  |-  ( ( V VDeg  F ) `  U )  =  P
Distinct variable groups:    x, E    x, U    x, V    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    P( x)    F( x)

Proof of Theorem vdegp1ai
StepHypRef Expression
1 vdegp1ai.f . . . . 5  |-  F  =  ( E concat  <" { X ,  Y } "> )
2 vdegp1ai.1 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
32trud 1332 . . . . . 6  |-  E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 }
4 vdeg0i.v . . . . . . . 8  |-  V  e. 
_V
5 vdegp1ai.3 . . . . . . . 8  |-  X  e.  V
6 vdegp1ai.5 . . . . . . . 8  |-  Y  e.  V
74, 5, 6umgrabi 21697 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  { X ,  Y }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
87trud 1332 . . . . . 6  |-  { X ,  Y }  e.  {
x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 }
9 cats1un 11782 . . . . . 6  |-  ( ( E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }  /\  { X ,  Y }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)  ->  ( E concat  <" { X ,  Y } "> )  =  ( E  u.  { <. ( # `  E
) ,  { X ,  Y } >. } ) )
103, 8, 9mp2an 654 . . . . 5  |-  ( E concat  <" { X ,  Y } "> )  =  ( E  u.  {
<. ( # `  E
) ,  { X ,  Y } >. } )
111, 10eqtri 2455 . . . 4  |-  F  =  ( E  u.  { <. ( # `  E
) ,  { X ,  Y } >. } )
1211oveq2i 6084 . . 3  |-  ( V VDeg 
F )  =  ( V VDeg  ( E  u.  {
<. ( # `  E
) ,  { X ,  Y } >. } ) )
1312fveq1i 5721 . 2  |-  ( ( V VDeg  F ) `  U )  =  ( ( V VDeg  ( E  u.  { <. ( # `
 E ) ,  { X ,  Y } >. } ) ) `
 U )
14 wrdf 11725 . . . . . . 7  |-  ( E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 }  ->  E : ( 0..^ (
# `  E )
) --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
15 ffn 5583 . . . . . . 7  |-  ( E : ( 0..^ (
# `  E )
) --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }  ->  E  Fn  ( 0..^ ( # `  E
) ) )
163, 14, 15mp2b 10 . . . . . 6  |-  E  Fn  ( 0..^ ( # `  E
) )
1716a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  E  Fn  (
0..^ ( # `  E
) ) )
18 fvex 5734 . . . . . . 7  |-  ( # `  E )  e.  _V
19 prex 4398 . . . . . . 7  |-  { X ,  Y }  e.  _V
2018, 19f1osn 5707 . . . . . 6  |-  { <. (
# `  E ) ,  { X ,  Y } >. } : {
( # `  E ) } -1-1-onto-> { { X ,  Y } }
21 f1ofn 5667 . . . . . 6  |-  ( {
<. ( # `  E
) ,  { X ,  Y } >. } : { ( # `  E
) } -1-1-onto-> { { X ,  Y } }  ->  { <. (
# `  E ) ,  { X ,  Y } >. }  Fn  {
( # `  E ) } )
2220, 21mp1i 12 . . . . 5  |-  (  T. 
->  { <. ( # `  E
) ,  { X ,  Y } >. }  Fn  { ( # `  E
) } )
23 fzofi 11305 . . . . . 6  |-  ( 0..^ ( # `  E
) )  e.  Fin
2423a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( 0..^ ( # `  E ) )  e. 
Fin )
25 snfi 7179 . . . . . 6  |-  { (
# `  E ) }  e.  Fin
2625a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  { ( # `  E
) }  e.  Fin )
27 fzonel 11144 . . . . . . 7  |-  -.  ( # `
 E )  e.  ( 0..^ ( # `  E ) )
28 disjsn 3860 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0..^ ( # `  E ) )  i^i 
{ ( # `  E
) } )  =  (/) 
<->  -.  ( # `  E
)  e.  ( 0..^ ( # `  E
) ) )
2927, 28mpbir 201 . . . . . 6  |-  ( ( 0..^ ( # `  E
) )  i^i  {
( # `  E ) } )  =  (/)
3029a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( 0..^ (
# `  E )
)  i^i  { ( # `
 E ) } )  =  (/) )
31 wrdumgra 21343 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)  ->  ( V UMGrph  E  <-> 
E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
) )
324, 3, 31mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( V UMGrph  E 
<->  E  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
332, 32sylibr 204 . . . . 5  |-  (  T. 
->  V UMGrph  E )
34 umgra1 21353 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  ( # `  E
)  e.  _V )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  V UMGrph  {
<. ( # `  E
) ,  { X ,  Y } >. } )
354, 18, 5, 6, 34mp4an 655 . . . . . 6  |-  V UMGrph  { <. (
# `  E ) ,  { X ,  Y } >. }
3635a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  V UMGrph  { <. ( # `
 E ) ,  { X ,  Y } >. } )
37 vdegp1ai.u . . . . . 6  |-  U  e.  V
3837a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  U  e.  V
)
3917, 22, 24, 26, 30, 33, 36, 38vdgrfiun 21665 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( V VDeg  ( E  u.  { <. ( # `
 E ) ,  { X ,  Y } >. } ) ) `
 U )  =  ( ( ( V VDeg 
E ) `  U
)  +  ( ( V VDeg  { <. ( # `
 E ) ,  { X ,  Y } >. } ) `  U ) ) )
4039trud 1332 . . 3  |-  ( ( V VDeg  ( E  u.  {
<. ( # `  E
) ,  { X ,  Y } >. } ) ) `  U )  =  ( ( ( V VDeg  E ) `  U )  +  ( ( V VDeg  { <. (
# `  E ) ,  { X ,  Y } >. } ) `  U ) )
414a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  V  e.  _V )
4218a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( # `  E
)  e.  _V )
435a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  X  e.  V
)
44 vdegp1ai.4 . . . . . . 7  |-  X  =/= 
U
4544a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  X  =/=  U
)
466a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  Y  e.  V
)
47 vdegp1ai.6 . . . . . . 7  |-  Y  =/= 
U
4847a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  Y  =/=  U
)
4941, 42, 38, 43, 45, 46, 48vdgr1a 21669 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( V VDeg  { <. ( # `  E
) ,  { X ,  Y } >. } ) `
 U )  =  0 )
5049trud 1332 . . . 4  |-  ( ( V VDeg  { <. ( # `
 E ) ,  { X ,  Y } >. } ) `  U )  =  0
5150oveq2i 6084 . . 3  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 U )  +  ( ( V VDeg  { <. ( # `  E
) ,  { X ,  Y } >. } ) `
 U ) )  =  ( ( ( V VDeg  E ) `  U )  +  0 )
52 vdgrfif 21662 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  Fn  ( 0..^ ( # `  E
) )  /\  (
0..^ ( # `  E
) )  e.  Fin )  ->  ( V VDeg  E
) : V --> NN0 )
534, 16, 23, 52mp3an 1279 . . . . . . 7  |-  ( V VDeg 
E ) : V --> NN0
5453ffvelrni 5861 . . . . . 6  |-  ( U  e.  V  ->  (
( V VDeg  E ) `  U )  e.  NN0 )
5537, 54ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( V VDeg  E ) `  U )  e.  NN0
5655nn0cni 10225 . . . 4  |-  ( ( V VDeg  E ) `  U )  e.  CC
5756addid1i 9245 . . 3  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 U )  +  0 )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 U )
5840, 51, 573eqtri 2459 . 2  |-  ( ( V VDeg  ( E  u.  {
<. ( # `  E
) ,  { X ,  Y } >. } ) ) `  U )  =  ( ( V VDeg 
E ) `  U
)
59 vdegp1ai.2 . 2  |-  ( ( V VDeg  E ) `  U )  =  P
6013, 58, 593eqtri 2459 1  |-  ( ( V VDeg  F ) `  U )  =  P
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   {cpr 3807   <.cop 3809   class class class wbr 4204    Fn wfn 5441   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   0cc0 8982    + caddc 8985    <_ cle 9113   2c2 10041   NN0cn0 10213  ..^cfzo 11127   #chash 11610  Word cword 11709   concat cconcat 11710   <"cs1 11711   UMGrph cumg 21339   VDeg cvdg 21656
This theorem is referenced by:  konigsberg  21701
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-xadd 10703  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-hash 11611  df-word 11715  df-concat 11716  df-s1 11717  df-umgra 21340  df-vdgr 21657
  Copyright terms: Public domain W3C validator