Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdegp1ai Structured version   Unicode version

Theorem vdegp1ai 21698
 Description: The induction step for a vertex degree calculation. If the degree of in the edge set is , then adding to the edge set, where , yields degree as well. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
vdeg0i.v
vdegp1ai.1 Word
vdegp1ai.u
vdegp1ai.2 VDeg
vdegp1ai.3
vdegp1ai.4
vdegp1ai.5
vdegp1ai.6
vdegp1ai.f concat
Assertion
Ref Expression
vdegp1ai VDeg
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem vdegp1ai
StepHypRef Expression
1 vdegp1ai.f . . . . 5 concat
2 vdegp1ai.1 . . . . . . 7 Word
32trud 1332 . . . . . 6 Word
4 vdeg0i.v . . . . . . . 8
5 vdegp1ai.3 . . . . . . . 8
6 vdegp1ai.5 . . . . . . . 8
74, 5, 6umgrabi 21697 . . . . . . 7
87trud 1332 . . . . . 6
9 cats1un 11782 . . . . . 6 Word concat
103, 8, 9mp2an 654 . . . . 5 concat
111, 10eqtri 2455 . . . 4
1211oveq2i 6084 . . 3 VDeg VDeg
1312fveq1i 5721 . 2 VDeg VDeg
14 wrdf 11725 . . . . . . 7 Word ..^
15 ffn 5583 . . . . . . 7 ..^ ..^
163, 14, 15mp2b 10 . . . . . 6 ..^
1716a1i 11 . . . . 5 ..^
18 fvex 5734 . . . . . . 7
19 prex 4398 . . . . . . 7
2018, 19f1osn 5707 . . . . . 6
21 f1ofn 5667 . . . . . 6
2220, 21mp1i 12 . . . . 5
23 fzofi 11305 . . . . . 6 ..^
2423a1i 11 . . . . 5 ..^
25 snfi 7179 . . . . . 6
2625a1i 11 . . . . 5
27 fzonel 11144 . . . . . . 7 ..^
28 disjsn 3860 . . . . . . 7 ..^ ..^
2927, 28mpbir 201 . . . . . 6 ..^
3029a1i 11 . . . . 5 ..^
31 wrdumgra 21343 . . . . . . 7 Word UMGrph Word
324, 3, 31mp2an 654 . . . . . 6 UMGrph Word
332, 32sylibr 204 . . . . 5 UMGrph
34 umgra1 21353 . . . . . . 7 UMGrph
354, 18, 5, 6, 34mp4an 655 . . . . . 6 UMGrph
3635a1i 11 . . . . 5 UMGrph
37 vdegp1ai.u . . . . . 6
3837a1i 11 . . . . 5
3917, 22, 24, 26, 30, 33, 36, 38vdgrfiun 21665 . . . 4 VDeg VDeg VDeg
4039trud 1332 . . 3 VDeg VDeg VDeg
414a1i 11 . . . . . 6
4218a1i 11 . . . . . 6
435a1i 11 . . . . . 6
44 vdegp1ai.4 . . . . . . 7
4544a1i 11 . . . . . 6
466a1i 11 . . . . . 6
47 vdegp1ai.6 . . . . . . 7
4847a1i 11 . . . . . 6
4941, 42, 38, 43, 45, 46, 48vdgr1a 21669 . . . . 5 VDeg
5049trud 1332 . . . 4 VDeg
5150oveq2i 6084 . . 3 VDeg VDeg VDeg
52 vdgrfif 21662 . . . . . . . 8 ..^ ..^ VDeg
534, 16, 23, 52mp3an 1279 . . . . . . 7 VDeg
5453ffvelrni 5861 . . . . . 6 VDeg
5537, 54ax-mp 8 . . . . 5 VDeg
5655nn0cni 10225 . . . 4 VDeg
5756addid1i 9245 . . 3 VDeg VDeg
5840, 51, 573eqtri 2459 . 2 VDeg VDeg
59 vdegp1ai.2 . 2 VDeg
6013, 58, 593eqtri 2459 1 VDeg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wtru 1325   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  crab 2701  cvv 2948   cdif 3309   cun 3310   cin 3311  c0 3620  cpw 3791  csn 3806  cpr 3807  cop 3809   class class class wbr 4204   wfn 5441  wf 5442  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073  cfn 7101  cc0 8982   caddc 8985   cle 9113  c2 10041  cn0 10213  ..^cfzo 11127  chash 11610  Word cword 11709   concat cconcat 11710  cs1 11711   UMGrph cumg 21339   VDeg cvdg 21656 This theorem is referenced by:  konigsberg  21701 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-xadd 10703  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-hash 11611  df-word 11715  df-concat 11716  df-s1 11717  df-umgra 21340  df-vdgr 21657
 Copyright terms: Public domain W3C validator