Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vdfrgra0 Structured version   Unicode version

Theorem vdfrgra0 28486
Description: A vertex in a friendship graph has degree 0 if the graph consists of only one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdfrgra0  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V  /\  ( # `  V )  =  1 )  ->  ( ( V VDeg  E ) `  N
)  =  0 )

Proof of Theorem vdfrgra0
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frisusgra 28456 . . . . . . 7  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V USGrph  E )
2 usgrav 21376 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
4 hash1snb 11686 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  _V  ->  (
( # `  V )  =  1  <->  E. a  V  =  { a } ) )
54adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( # `  V
)  =  1  <->  E. a  V  =  {
a } ) )
6 breq1 4218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V  =  { a }  ->  ( V FriendGrph  E  <->  { a } FriendGrph  E ) )
7 frisusgra 28456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { a } FriendGrph  E  ->  { a } USGrph  E )
8 usgra1v 21414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { a } USGrph  E  <->  E  =  (/) )
97, 8sylib 190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { a } FriendGrph  E  ->  E  =  (/) )
106, 9syl6bi 221 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  =  { a }  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E  =  (/) ) )
1110a1d 24 . . . . . . . . 9  |-  ( V  =  { a }  ->  ( N  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E  =  (/) ) ) )
1211exlimiv 1645 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  V  =  {
a }  ->  ( N  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E  =  (/) ) ) )
135, 12syl6bi 221 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( # `  V
)  =  1  -> 
( N  e.  V  ->  ( V FriendGrph  E  ->  E  =  (/) ) ) ) )
1413com24 84 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( N  e.  V  -> 
( ( # `  V
)  =  1  ->  E  =  (/) ) ) ) )
153, 14mpcom 35 . . . . 5  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( # `
 V )  =  1  ->  E  =  (/) ) ) )
16153imp 1148 . . . 4  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V  /\  ( # `  V )  =  1 )  ->  E  =  (/) )
1716oveq2d 6100 . . 3  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V  /\  ( # `  V )  =  1 )  ->  ( V VDeg  E )  =  ( V VDeg  (/) ) )
1817fveq1d 5733 . 2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V  /\  ( # `  V )  =  1 )  ->  ( ( V VDeg  E ) `  N
)  =  ( ( V VDeg  (/) ) `  N
) )
193simpld 447 . . . . 5  |-  ( V FriendGrph  E  ->  V  e.  _V )
2019anim1i 553 . . . 4  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V  e.  _V  /\  N  e.  V ) )
21203adant3 978 . . 3  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V  /\  ( # `  V )  =  1 )  ->  ( V  e.  _V  /\  N  e.  V ) )
22 vdgr0 21676 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( ( V VDeg  (/) ) `  N )  =  0 )
2321, 22syl 16 . 2  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V  /\  ( # `  V )  =  1 )  ->  ( ( V VDeg 
(/) ) `  N
)  =  0 )
2418, 23eqtrd 2470 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  N  e.  V  /\  ( # `  V )  =  1 )  ->  ( ( V VDeg  E ) `  N
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   (/)c0 3630   {csn 3816   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   0cc0 8995   1c1 8996   #chash 11623   USGrph cusg 21370   VDeg cvdg 21669   FriendGrph cfrgra 28452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-xadd 10716  df-fz 11049  df-hash 11624  df-usgra 21372  df-vdgr 21670  df-frgra 28453
  Copyright terms: Public domain W3C validator