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Theorem vdwlem10 13286
Description: Lemma for vdw 13290. Set up secondary induction on  M. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdw.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwlem9.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
vdwlem9.s  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f
)
vdwlem10.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
vdwlem10  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. M ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
)
Distinct variable groups:    ph, n, f   
f, s, K, n   
f, M, n    R, f, n, s    ph, f
Allowed substitution hints:    ph( s)    M( s)

Proof of Theorem vdwlem10
Dummy variables  a 
c  d  g  h  k  m  u  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwlem10.m . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
2 opeq1 3927 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  <. x ,  K >.  =  <. 1 ,  K >. )
32breq1d 4164 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( <. x ,  K >. PolyAP  f  <->  <. 1 ,  K >. PolyAP  f ) )
43orbi1d 684 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( <. x ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
)  <->  ( <. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP 
f ) ) )
54rexralbidv 2694 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. x ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) ( <.
1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
65imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (
( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. x ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) )  <->  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) ) ) )
7 opeq1 3927 . . . . . . 7  |-  ( x  =  m  ->  <. x ,  K >.  =  <. m ,  K >. )
87breq1d 4164 . . . . . 6  |-  ( x  =  m  ->  ( <. x ,  K >. PolyAP  f  <->  <. m ,  K >. PolyAP  f ) )
98orbi1d 684 . . . . 5  |-  ( x  =  m  ->  (
( <. x ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
)  <->  ( <. m ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP 
f ) ) )
109rexralbidv 2694 . . . 4  |-  ( x  =  m  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. x ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) ( <.
m ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
1110imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  m  ->  (
( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. x ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) )  <->  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) ) )
12 opeq1 3927 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  <. x ,  K >.  =  <. ( m  +  1 ) ,  K >. )
1312breq1d 4164 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  ( <. x ,  K >. PolyAP  f  <->  <. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f ) )
1413orbi1d 684 . . . . 5  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( <. x ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
)  <->  ( <. (
m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) ) )
1514rexralbidv 2694 . . . 4  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. x ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) ( <.
( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
1615imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. x ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) )  <->  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) ) )
17 opeq1 3927 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  <. x ,  K >.  =  <. M ,  K >. )
1817breq1d 4164 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  ( <. x ,  K >. PolyAP  f  <->  <. M ,  K >. PolyAP  f ) )
1918orbi1d 684 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
( <. x ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
)  <->  ( <. M ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP 
f ) ) )
2019rexralbidv 2694 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. x ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) ( <. M ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
2120imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. x ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) )  <->  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. M ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) ) )
22 vdw.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
23 vdwlem9.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f
)
24 oveq1 6028 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  R  ->  (
s  ^m  ( 1 ... n ) )  =  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) )
2524raleqdv 2854 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  R  ->  ( A. f  e.  (
s  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP  f  <->  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) K MonoAP  f ) )
2625rexbidv 2671 . . . . . . 7  |-  ( s  =  R  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f ) )
2726rspcv 2992 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Fin  ->  ( A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f ) )
2822, 23, 27sylc 58 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f )
29 oveq2 6029 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  w  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... w
) )
3029oveq2d 6037 . . . . . . 7  |-  ( n  =  w  ->  ( R  ^m  ( 1 ... n ) )  =  ( R  ^m  (
1 ... w ) ) )
3130raleqdv 2854 . . . . . 6  |-  ( n  =  w  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f  <->  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) K MonoAP  f ) )
3231cbvrexv 2877 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f  <->  E. w  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w
) ) K MonoAP  f
)
3328, 32sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. w  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) K MonoAP 
f )
34 breq2 4158 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  ( K MonoAP  f  <->  K MonoAP  g )
)
3534cbvralv 2876 . . . . . 6  |-  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w
) ) K MonoAP  f  <->  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) K MonoAP 
g )
36 2nn 10066 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
37 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  NN )  ->  w  e.  NN )
38 nnmulcl 9956 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( 2  x.  w
)  e.  NN )
3936, 37, 38sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  NN )  ->  ( 2  x.  w )  e.  NN )
4022adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  NN )  ->  R  e. 
Fin )
41 ovex 6046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... ( 2  x.  w ) )  e. 
_V
42 elmapg 6968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ( 1 ... (
2  x.  w ) )  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) )  <-> 
f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R ) )
4340, 41, 42sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  NN )  ->  ( f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
2  x.  w ) ) )  <->  f :
( 1 ... (
2  x.  w ) ) --> R ) )
4443biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... ( 2  x.  w ) ) ) )  ->  f :
( 1 ... (
2  x.  w ) ) --> R )
45 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  f : ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) --> R )
46 elfznn 11013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( 1 ... w )  ->  y  e.  NN )
4746adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  y  e.  NN )
4847nnred 9948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  y  e.  RR )
49 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  w  e.  NN )
5049nnred 9948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  w  e.  RR )
51 elfzle2 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( 1 ... w )  ->  y  <_  w )
5251adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  y  <_  w )
5348, 50, 50, 52leadd1dd 9573 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  (
y  +  w )  <_  ( w  +  w ) )
5449nncnd 9949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  w  e.  CC )
55542timesd 10143 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  (
2  x.  w )  =  ( w  +  w ) )
5653, 55breqtrrd 4180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  (
y  +  w )  <_  ( 2  x.  w ) )
5747, 49nnaddcld 9979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  (
y  +  w )  e.  NN )
58 nnuz 10454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5957, 58syl6eleq 2478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  (
y  +  w )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
6039ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  (
2  x.  w )  e.  NN )
6160nnzd 10307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  (
2  x.  w )  e.  ZZ )
62 elfz5 10984 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  +  w
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  (
2  x.  w )  e.  ZZ )  -> 
( ( y  +  w )  e.  ( 1 ... ( 2  x.  w ) )  <-> 
( y  +  w
)  <_  ( 2  x.  w ) ) )
6359, 61, 62syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  (
( y  +  w
)  e.  ( 1 ... ( 2  x.  w ) )  <->  ( y  +  w )  <_  (
2  x.  w ) ) )
6456, 63mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  (
y  +  w )  e.  ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) )
6545, 64ffvelrnd 5811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  (
f `  ( y  +  w ) )  e.  R )
66 oveq1 6028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +  w )  =  ( y  +  w ) )
6766fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
f `  ( x  +  w ) )  =  ( f `  (
y  +  w ) ) )
6867cbvmptv 4242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `
 ( x  +  w ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 ... w
)  |->  ( f `  ( y  +  w
) ) )
6965, 68fmptd 5833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) --> R )  ->  ( x  e.  ( 1 ... w
)  |->  ( f `  ( x  +  w
) ) ) : ( 1 ... w
) --> R )
70 ovex 6046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... w )  e. 
_V
71 elmapg 6968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ( 1 ... w
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... w
)  |->  ( f `  ( x  +  w
) ) )  e.  ( R  ^m  (
1 ... w ) )  <-> 
( x  e.  ( 1 ... w ) 
|->  ( f `  (
x  +  w ) ) ) : ( 1 ... w ) --> R ) )
7240, 70, 71sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) )  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  <->  ( x  e.  ( 1 ... w
)  |->  ( f `  ( x  +  w
) ) ) : ( 1 ... w
) --> R ) )
7372biimpar 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  (
x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) : ( 1 ... w ) --> R )  ->  ( x  e.  ( 1 ... w
)  |->  ( f `  ( x  +  w
) ) )  e.  ( R  ^m  (
1 ... w ) ) )
7469, 73syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) --> R )  ->  ( x  e.  ( 1 ... w
)  |->  ( f `  ( x  +  w
) ) )  e.  ( R  ^m  (
1 ... w ) ) )
75 breq2 4158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( x  e.  ( 1 ... w
)  |->  ( f `  ( x  +  w
) ) )  -> 
( K MonoAP  g  <->  K MonoAP  ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `
 ( x  +  w ) ) ) ) )
7675rspcv 2992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) )  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  -> 
( A. g  e.  ( R  ^m  (
1 ... w ) ) K MonoAP  g  ->  K MonoAP  ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) ) )
7774, 76syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) --> R )  ->  ( A. g  e.  ( R  ^m  (
1 ... w ) ) K MonoAP  g  ->  K MonoAP  ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) ) )
78 2nn0 10171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
79 vdwlem9.k . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
8079ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) --> R )  ->  K  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
81 eluznn0 10479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  K  e.  NN0 )
8278, 80, 81sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) --> R )  ->  K  e.  NN0 )
8370, 82, 69vdwmc 13274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) --> R )  ->  ( K MonoAP  (
x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) )  <->  E. c E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' ( x  e.  (
1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } ) ) )
8440ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  ( ( a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } ) ) )  ->  R  e.  Fin )
8580adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  ( ( a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } ) ) )  ->  K  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
86 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  ( ( a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } ) ) )  ->  w  e.  NN )
87 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  ( ( a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } ) ) )  ->  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )
88 vex 2903 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  c  e. 
_V
89 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  ( ( a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } ) ) )  ->  a  e.  NN )
90 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  ( ( a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } ) ) )  ->  d  e.  NN )
91 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  ( ( a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } ) ) )  ->  ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' ( x  e.  (
1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } ) )
9284, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 68vdwlem8 13284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  ( ( a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } ) ) )  ->  <. 1 ,  K >. PolyAP  f )
9392orcd 382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  ( ( a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } ) ) )  ->  ( <. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP 
f ) )
9493expr 599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' ( x  e.  (
1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } )  ->  ( <. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
9594rexlimdvva 2781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) --> R )  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' ( x  e.  (
1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } )  ->  ( <. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
9695exlimdv 1643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) --> R )  ->  ( E. c E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' ( x  e.  ( 1 ... w
)  |->  ( f `  ( x  +  w
) ) ) " { c } )  ->  ( <. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP 
f ) ) )
9783, 96sylbid 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) --> R )  ->  ( K MonoAP  (
x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) )  ->  ( <. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
9877, 97syld 42 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) --> R )  ->  ( A. g  e.  ( R  ^m  (
1 ... w ) ) K MonoAP  g  ->  ( <. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
9944, 98syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... ( 2  x.  w ) ) ) )  ->  ( A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w
) ) K MonoAP  g  ->  ( <. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) ) )
10099ralrimdva 2740 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  NN )  ->  ( A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w
) ) K MonoAP  g  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) ) ( <. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) ) )
101 oveq2 6029 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( 2  x.  w )  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... (
2  x.  w ) ) )
102101oveq2d 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( 2  x.  w )  ->  ( R  ^m  ( 1 ... n ) )  =  ( R  ^m  (
1 ... ( 2  x.  w ) ) ) )
103102raleqdv 2854 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( 2  x.  w )  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
)  <->  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) ) ( <. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) ) )
104103rspcev 2996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  w
)  e.  NN  /\  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) ) (
<. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) )  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) )
10539, 100, 104ee12an 1369 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  NN )  ->  ( A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w
) ) K MonoAP  g  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) ) )
10635, 105syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  NN )  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w
) ) K MonoAP  f  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) ) )
107106rexlimdva 2774 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... w ) ) K MonoAP  f  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) ) )
10833, 107mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) )
109 breq2 4158 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  ( <. m ,  K >. PolyAP  f  <->  <. m ,  K >. PolyAP  g ) )
110 breq2 4158 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  f  <->  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )
111109, 110orbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  (
( <. m ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
)  <->  ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP 
g ) ) )
112111cbvralv 2876 . . . . . . . 8  |-  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) ( <.
m ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )  <->  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )
)
11330raleqdv 2854 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  w  ->  ( A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )  <->  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )
) )
114112, 113syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( n  =  w  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )  <->  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )
) )
115114cbvrexv 2877 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) ( <.
m ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )  <->  E. w  e.  NN  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w
) ) ( <.
m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )
)
11622ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
w  e.  NN  /\  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )
) )  ->  R  e.  Fin )
117 fzfi 11239 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... w )  e. 
Fin
118 mapfi 7339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ( 1 ... w
)  e.  Fin )  ->  ( R  ^m  (
1 ... w ) )  e.  Fin )
119116, 117, 118sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
w  e.  NN  /\  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )
) )  ->  ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  e. 
Fin )
12023ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
w  e.  NN  /\  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )
) )  ->  A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  (
1 ... n ) ) K MonoAP  f )
121 oveq2 6029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  v  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... v
) )
122121oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  v  ->  (
s  ^m  ( 1 ... n ) )  =  ( s  ^m  ( 1 ... v
) ) )
123122raleqdv 2854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  v  ->  ( A. f  e.  (
s  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP  f  <->  A. f  e.  ( s  ^m  (
1 ... v ) ) K MonoAP  f ) )
124123cbvrexv 2877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f  <->  E. v  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... v
) ) K MonoAP  f
)
125 oveq1 6028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( R  ^m  ( 1 ... w
) )  ->  (
s  ^m  ( 1 ... v ) )  =  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v
) ) )
126125raleqdv 2854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( R  ^m  ( 1 ... w
) )  ->  ( A. f  e.  (
s  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP  f  <->  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w
) )  ^m  (
1 ... v ) ) K MonoAP  f ) )
127126rexbidv 2671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( R  ^m  ( 1 ... w
) )  ->  ( E. v  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f  <->  E. v  e.  NN  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )
128124, 127syl5bb 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( R  ^m  ( 1 ... w
) )  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f  <->  E. v  e.  NN  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )
129128rspcv 2992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  e.  Fin  ->  ( A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f  ->  E. v  e.  NN  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )
130119, 120, 129sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
w  e.  NN  /\  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )
) )  ->  E. v  e.  NN  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w
) )  ^m  (
1 ... v ) ) K MonoAP  f )
131 simprll 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) ) )  ->  w  e.  NN )
132 simprrl 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) ) )  ->  v  e.  NN )
133 nnmulcl 9956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  v  e.  NN )  ->  ( 2  x.  v
)  e.  NN )
13436, 133mpan 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  NN  ->  (
2  x.  v )  e.  NN )
135 nnmulcl 9956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  NN  /\  ( 2  x.  v
)  e.  NN )  ->  ( w  x.  ( 2  x.  v
) )  e.  NN )
136134, 135sylan2 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  NN  /\  v  e.  NN )  ->  ( w  x.  (
2  x.  v ) )  e.  NN )
137131, 132, 136syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) ) )  ->  ( w  x.  ( 2  x.  v
) )  e.  NN )
138 simp1l 981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  ->  ph )
139138, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  ->  R  e.  Fin )
140138, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
141138, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  ->  A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f
)
142 simp1r 982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
143 simp2ll 1024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  ->  w  e.  NN )
144 simp2lr 1025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  ->  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )
)
145 breq2 4158 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  k  ->  ( <. m ,  K >. PolyAP  g  <->  <. m ,  K >. PolyAP  k ) )
146 breq2 4158 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  k  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  g  <->  ( K  +  1 ) MonoAP  k
) )
147145, 146orbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  k  ->  (
( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
)  <->  ( <. m ,  K >. PolyAP  k  \/  ( K  +  1 ) MonoAP 
k ) ) )
148147cbvralv 2876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w
) ) ( <.
m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )  <->  A. k  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  k  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  k )
)
149144, 148sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  ->  A. k  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  k  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  k )
)
150 simp2rl 1026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  -> 
v  e.  NN )
151 simp2rr 1027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  ->  A. f  e.  (
( R  ^m  (
1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f )
152 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  ->  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )
153 ovex 6046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... ( w  x.  ( 2  x.  v
) ) )  e. 
_V
154 elmapg 6968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) )  e.  _V )  ->  ( h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... ( w  x.  ( 2  x.  v
) ) ) )  <-> 
h : ( 1 ... ( w  x.  ( 2  x.  v
) ) ) --> R ) )
155139, 153, 154sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  -> 
( h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... ( w  x.  ( 2  x.  v
) ) ) )  <-> 
h : ( 1 ... ( w  x.  ( 2  x.  v
) ) ) --> R ) )
156152, 155mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  ->  h : ( 1 ... ( w  x.  (
2  x.  v ) ) ) --> R )
157 oveq1 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  u  ->  (
y  +  ( w  x.  ( ( x  -  1 )  +  v ) ) )  =  ( u  +  ( w  x.  (
( x  -  1 )  +  v ) ) ) )
158157fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  u  ->  (
h `  ( y  +  ( w  x.  ( ( x  - 
1 )  +  v ) ) ) )  =  ( h `  ( u  +  (
w  x.  ( ( x  -  1 )  +  v ) ) ) ) )
159158cbvmptv 4242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( 1 ... w )  |->  ( h `
 ( y  +  ( w  x.  (
( x  -  1 )  +  v ) ) ) ) )  =  ( u  e.  ( 1 ... w
)  |->  ( h `  ( u  +  (
w  x.  ( ( x  -  1 )  +  v ) ) ) ) )
160 oveq1 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  z  ->  (
x  -  1 )  =  ( z  - 
1 ) )
161160oveq1d 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  -  1 )  +  v )  =  ( ( z  -  1 )  +  v ) )
162161oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  (
w  x.  ( ( x  -  1 )  +  v ) )  =  ( w  x.  ( ( z  - 
1 )  +  v ) ) )
163162oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  (
u  +  ( w  x.  ( ( x  -  1 )  +  v ) ) )  =  ( u  +  ( w  x.  (
( z  -  1 )  +  v ) ) ) )
164163fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
h `  ( u  +  ( w  x.  ( ( x  - 
1 )  +  v ) ) ) )  =  ( h `  ( u  +  (
w  x.  ( ( z  -  1 )  +  v ) ) ) ) )
165164mpteq2dv 4238 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
u  e.  ( 1 ... w )  |->  ( h `  ( u  +  ( w  x.  ( ( x  - 
1 )  +  v ) ) ) ) )  =  ( u  e.  ( 1 ... w )  |->  ( h `
 ( u  +  ( w  x.  (
( z  -  1 )  +  v ) ) ) ) ) )
166159, 165syl5eq 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  ( 1 ... w )  |->  ( h `  ( y  +  ( w  x.  ( ( x  - 
1 )  +  v ) ) ) ) )  =  ( u  e.  ( 1 ... w )  |->  ( h `
 ( u  +  ( w  x.  (
( z  -  1 )  +  v ) ) ) ) ) )
167166cbvmptv 4242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 ... v )  |->  ( y  e.  ( 1 ... w )  |->  ( h `
 ( y  +  ( w  x.  (
( x  -  1 )  +  v ) ) ) ) ) )  =  ( z  e.  ( 1 ... v )  |->  ( u  e.  ( 1 ... w )  |->  ( h `
 ( u  +  ( w  x.  (
( z  -  1 )  +  v ) ) ) ) ) )
168139, 140, 141, 142, 143, 149, 150, 151, 156, 167vdwlem9 13285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  -> 
( <. ( m  + 
1 ) ,  K >. PolyAP 
h  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  h
) )
1691683expia 1155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) ) )  ->  ( h  e.  ( R  ^m  (
1 ... ( w  x.  ( 2  x.  v
) ) ) )  ->  ( <. (
m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  h  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  h ) ) )
170169ralrimiv 2732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) ) )  ->  A. h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... ( w  x.  ( 2  x.  v
) ) ) ) ( <. ( m  + 
1 ) ,  K >. PolyAP 
h  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  h
) )
171 oveq2 6029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( w  x.  ( 2  x.  v
) )  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) )
172171oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( w  x.  ( 2  x.  v
) )  ->  ( R  ^m  ( 1 ... n ) )  =  ( R  ^m  (
1 ... ( w  x.  ( 2  x.  v
) ) ) ) )
173172raleqdv 2854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( w  x.  ( 2  x.  v
) )  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )  <->  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... ( w  x.  (
2  x.  v ) ) ) ) (
<. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
174 breq2 4158 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  h  ->  ( <. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  <->  <. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  h ) )
175 breq2 4158 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  h  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  f  <->  ( K  +  1 ) MonoAP  h
) )
176174, 175orbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  h  ->  (
( <. ( m  + 
1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
)  <->  ( <. (
m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  h  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  h ) ) )
177176cbvralv 2876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) ( <.
( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )  <->  A. h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... ( w  x.  (
2  x.  v ) ) ) ) (
<. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  h  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  h )
)
178173, 177syl6bb 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( w  x.  ( 2  x.  v
) )  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )  <->  A. h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... ( w  x.  (
2  x.  v ) ) ) ) (
<. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  h  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  h )
) )
179178rspcev 2996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  x.  (
2  x.  v ) )  e.  NN  /\  A. h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... ( w  x.  (
2  x.  v ) ) ) ) (
<. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  h  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  h )
)  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. ( m  + 
1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) )
180137, 170, 179syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) ) )  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
)
181180anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) ) )  /\  ( v  e.  NN  /\ 
A. f  e.  ( ( R  ^m  (
1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
)
182130, 181rexlimddv 2778 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
w  e.  NN  /\  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )
) )  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. ( m  + 
1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) )
183182rexlimdvaa 2775 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. w  e.  NN  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w
) ) ( <.
m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
184115, 183syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) ( <.
m ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
185184expcom 425 . . . 4  |-  ( m  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
)  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. ( m  + 
1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) ) ) )
186185a2d 24 . . 3  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) )  ->  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) ) )
1876, 11, 16, 21, 108, 186nnind 9951 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. M ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
1881, 187mpcom 34 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. M ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   E.wrex 2651   _Vcvv 2900    C_ wss 3264   {csn 3758   <.cop 3761   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   `'ccnv 4818   "cima 4822   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    ^m cmap 6955   Fincfn 7046   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929    <_ cle 9055    - cmin 9224   NNcn 9933   2c2 9982   NN0cn0 10154   ZZcz 10215   ZZ>=cuz 10421   ...cfz 10976  APcvdwa 13261   MonoAP cvdwm 13262   PolyAP cvdwp 13263
This theorem is referenced by:  vdwlem11  13287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-fz 10977  df-hash 11547  df-vdwap 13264  df-vdwmc 13265  df-vdwpc 13266
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