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Theorem vdwlem10 13363
 Description: Lemma for vdw 13367. Set up secondary induction on . (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdw.r
vdwlem9.k
vdwlem9.s MonoAP
vdwlem10.m
Assertion
Ref Expression
vdwlem10 PolyAP MonoAP
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem vdwlem10
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwlem10.m . 2
2 opeq1 3986 . . . . . . 7
32breq1d 4225 . . . . . 6 PolyAP PolyAP
43orbi1d 685 . . . . 5 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
54rexralbidv 2751 . . . 4 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
65imbi2d 309 . . 3 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
7 opeq1 3986 . . . . . . 7
87breq1d 4225 . . . . . 6 PolyAP PolyAP
98orbi1d 685 . . . . 5 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
109rexralbidv 2751 . . . 4 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
1110imbi2d 309 . . 3 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
12 opeq1 3986 . . . . . . 7
1312breq1d 4225 . . . . . 6 PolyAP PolyAP
1413orbi1d 685 . . . . 5 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
1514rexralbidv 2751 . . . 4 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
1615imbi2d 309 . . 3 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
17 opeq1 3986 . . . . . . 7
1817breq1d 4225 . . . . . 6 PolyAP PolyAP
1918orbi1d 685 . . . . 5 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
2019rexralbidv 2751 . . . 4 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
2120imbi2d 309 . . 3 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
22 vdw.r . . . . . 6
23 vdwlem9.s . . . . . 6 MonoAP
24 oveq1 6091 . . . . . . . . 9
2524raleqdv 2912 . . . . . . . 8 MonoAP MonoAP
2625rexbidv 2728 . . . . . . 7 MonoAP MonoAP
2726rspcv 3050 . . . . . 6 MonoAP MonoAP
2822, 23, 27sylc 59 . . . . 5 MonoAP
29 oveq2 6092 . . . . . . . 8
3029oveq2d 6100 . . . . . . 7
3130raleqdv 2912 . . . . . 6 MonoAP MonoAP
3231cbvrexv 2935 . . . . 5 MonoAP MonoAP
3328, 32sylib 190 . . . 4 MonoAP
34 breq2 4219 . . . . . . 7 MonoAP MonoAP
3534cbvralv 2934 . . . . . 6 MonoAP MonoAP
36 2nn 10138 . . . . . . . 8
37 simpr 449 . . . . . . . 8
38 nnmulcl 10028 . . . . . . . 8
3936, 37, 38sylancr 646 . . . . . . 7
4022adantr 453 . . . . . . . . . . 11
41 ovex 6109 . . . . . . . . . . 11
42 elmapg 7034 . . . . . . . . . . 11
4340, 41, 42sylancl 645 . . . . . . . . . 10
4443biimpa 472 . . . . . . . . 9
45 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . 14
46 elfznn 11085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4746adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4847nnred 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
49 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5049nnred 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
51 elfzle2 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5251adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5348, 50, 50, 52leadd1dd 9645 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5449nncnd 10021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
55542timesd 10215 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5653, 55breqtrrd 4241 . . . . . . . . . . . . . . 15
5747, 49nnaddcld 10051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
58 nnuz 10526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5957, 58syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6039ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6160nnzd 10379 . . . . . . . . . . . . . . . 16
62 elfz5 11056 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6359, 61, 62syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
6456, 63mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . 14
6545, 64ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . . 13
66 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . 14
6867cbvmptv 4303 . . . . . . . . . . . . 13
6965, 68fmptd 5896 . . . . . . . . . . . 12
70 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . . 14
71 elmapg 7034 . . . . . . . . . . . . . 14
7240, 70, 71sylancl 645 . . . . . . . . . . . . 13
7372biimpar 473 . . . . . . . . . . . 12
7469, 73syldan 458 . . . . . . . . . . 11
75 breq2 4219 . . . . . . . . . . . 12 MonoAP MonoAP
7675rspcv 3050 . . . . . . . . . . 11 MonoAP MonoAP
7774, 76syl 16 . . . . . . . . . 10 MonoAP MonoAP
78 2nn0 10243 . . . . . . . . . . . . 13
79 vdwlem9.k . . . . . . . . . . . . . 14
8079ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13
81 eluznn0 10551 . . . . . . . . . . . . 13
8278, 80, 81sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12
8370, 82, 69vdwmc 13351 . . . . . . . . . . 11 MonoAP AP
8440ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 AP
8580adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 AP
86 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 AP
87 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 AP
88 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16
89 simprll 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 AP
90 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 AP
91 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 AP AP
9284, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 68vdwlem8 13361 . . . . . . . . . . . . . . 15 AP PolyAP
9392orcd 383 . . . . . . . . . . . . . 14 AP PolyAP MonoAP
9493expr 600 . . . . . . . . . . . . 13 AP PolyAP MonoAP
9594rexlimdvva 2839 . . . . . . . . . . . 12 AP PolyAP MonoAP
9695exlimdv 1647 . . . . . . . . . . 11 AP PolyAP MonoAP
9783, 96sylbid 208 . . . . . . . . . 10 MonoAP PolyAP MonoAP
9877, 97syld 43 . . . . . . . . 9 MonoAP PolyAP MonoAP
9944, 98syldan 458 . . . . . . . 8 MonoAP PolyAP MonoAP
10099ralrimdva 2798 . . . . . . 7 MonoAP PolyAP MonoAP
101 oveq2 6092 . . . . . . . . . 10
102101oveq2d 6100 . . . . . . . . 9
103102raleqdv 2912 . . . . . . . 8 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
104103rspcev 3054 . . . . . . 7 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
10539, 100, 104ee12an 1373 . . . . . 6 MonoAP PolyAP MonoAP
10635, 105syl5bi 210 . . . . 5 MonoAP PolyAP MonoAP
107106rexlimdva 2832 . . . 4 MonoAP PolyAP MonoAP
10833, 107mpd 15 . . 3 PolyAP MonoAP
109 breq2 4219 . . . . . . . . . 10 PolyAP PolyAP
110 breq2 4219 . . . . . . . . . 10 MonoAP MonoAP
111109, 110orbi12d 692 . . . . . . . . 9 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
112111cbvralv 2934 . . . . . . . 8 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
11330raleqdv 2912 . . . . . . . 8 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
114112, 113syl5bb 250 . . . . . . 7 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
115114cbvrexv 2935 . . . . . 6 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
11622ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 PolyAP MonoAP
117 fzfi 11316 . . . . . . . . . 10
118 mapfi 7406 . . . . . . . . . 10
119116, 117, 118sylancl 645 . . . . . . . . 9 PolyAP MonoAP
12023ad2antrr 708 . . . . . . . . 9 PolyAP MonoAP MonoAP
121 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . 14
122121oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . 13
123122raleqdv 2912 . . . . . . . . . . . 12 MonoAP MonoAP
124123cbvrexv 2935 . . . . . . . . . . 11 MonoAP MonoAP
125 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . 13
126125raleqdv 2912 . . . . . . . . . . . 12 MonoAP MonoAP
127126rexbidv 2728 . . . . . . . . . . 11 MonoAP MonoAP
128124, 127syl5bb 250 . . . . . . . . . 10 MonoAP MonoAP
129128rspcv 3050 . . . . . . . . 9 MonoAP MonoAP
130119, 120, 129sylc 59 . . . . . . . 8 PolyAP MonoAP MonoAP
131 simprll 740 . . . . . . . . . . 11 PolyAP MonoAP MonoAP
132 simprrl 742 . . . . . . . . . . 11 PolyAP MonoAP MonoAP
133 nnmulcl 10028 . . . . . . . . . . . . 13
13436, 133mpan 653 . . . . . . . . . . . 12
135 nnmulcl 10028 . . . . . . . . . . . 12
136134, 135sylan2 462 . . . . . . . . . . 11
137131, 132, 136syl2anc 644 . . . . . . . . . 10 PolyAP MonoAP MonoAP
138 simp1l 982 . . . . . . . . . . . . . 14 PolyAP MonoAP MonoAP
139138, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 PolyAP MonoAP MonoAP
140138, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 PolyAP MonoAP MonoAP
141138, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 PolyAP MonoAP MonoAP MonoAP
142 simp1r 983 . . . . . . . . . . . . 13 PolyAP MonoAP MonoAP
143 simp2ll 1025 . . . . . . . . . . . . 13 PolyAP MonoAP MonoAP
144 simp2lr 1026 . . . . . . . . . . . . . 14 PolyAP MonoAP MonoAP PolyAP MonoAP
145 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PolyAP PolyAP
146 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 MonoAP MonoAP
147145, 146orbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
148147cbvralv 2934 . . . . . . . . . . . . . 14 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
149144, 148sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13 PolyAP MonoAP MonoAP PolyAP MonoAP
150 simp2rl 1027 . . . . . . . . . . . . 13 PolyAP MonoAP MonoAP
151 simp2rr 1028 . . . . . . . . . . . . 13 PolyAP MonoAP MonoAP MonoAP
152 simp3 960 . . . . . . . . . . . . . 14 PolyAP MonoAP MonoAP
153 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . . . 15
154 elmapg 7034 . . . . . . . . . . . . . . 15
155139, 153, 154sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . 14 PolyAP MonoAP MonoAP
156152, 155mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13 PolyAP MonoAP MonoAP
157 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
158157fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . 16
159158cbvmptv 4303 . . . . . . . . . . . . . . 15
160 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
161160oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
162161oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
163162oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
164163fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . 16
165164mpteq2dv 4299 . . . . . . . . . . . . . . 15
166159, 165syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . 14
167166cbvmptv 4303 . . . . . . . . . . . . 13
168139, 140, 141, 142, 143, 149, 150, 151, 156, 167vdwlem9 13362 . . . . . . . . . . . 12 PolyAP MonoAP MonoAP PolyAP MonoAP
1691683expia 1156 . . . . . . . . . . 11 PolyAP MonoAP MonoAP PolyAP MonoAP
170169ralrimiv 2790 . . . . . . . . . 10 PolyAP MonoAP MonoAP PolyAP MonoAP
171 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . 14
172171oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . 13
173172raleqdv 2912 . . . . . . . . . . . 12 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
174 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . 14 PolyAP PolyAP
175 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . 14 MonoAP MonoAP
176174, 175orbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
177176cbvralv 2934 . . . . . . . . . . . 12 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
178173, 177syl6bb 254 . . . . . . . . . . 11 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
179178rspcev 3054 . . . . . . . . . 10 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
180137, 170, 179syl2anc 644 . . . . . . . . 9 PolyAP MonoAP MonoAP PolyAP MonoAP
181180anassrs 631 . . . . . . . 8 PolyAP MonoAP MonoAP PolyAP MonoAP
182130, 181rexlimddv 2836 . . . . . . 7 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
183182rexlimdvaa 2833 . . . . . 6 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
184115, 183syl5bi 210 . . . . 5 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
185184expcom 426 . . . 4 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
186185a2d 25 . . 3 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
1876, 11, 16, 21, 108, 186nnind 10023 . 2 PolyAP MonoAP
1881, 187mpcom 35 1 PolyAP MonoAP
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360   w3a 937  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   wss 3322  csn 3816  cop 3819   class class class wbr 4215   cmpt 4269  ccnv 4880  cima 4884  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmap 7021  cfn 7112  c1 8996   caddc 8998   cmul 9000   cle 9126   cmin 9296  cn 10005  c2 10054  cn0 10226  cz 10287  cuz 10493  cfz 11048  APcvdwa 13338   MonoAP cvdwm 13339   PolyAP cvdwp 13340 This theorem is referenced by:  vdwlem11  13364 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-hash 11624  df-vdwap 13341  df-vdwmc 13342  df-vdwpc 13343
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