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Theorem vdwlem10 13363
Description: Lemma for vdw 13367. Set up secondary induction on  M. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdw.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwlem9.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
vdwlem9.s  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f
)
vdwlem10.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
vdwlem10  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. M ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
)
Distinct variable groups:    ph, n, f   
f, s, K, n   
f, M, n    R, f, n, s    ph, f
Allowed substitution hints:    ph( s)    M( s)

Proof of Theorem vdwlem10
Dummy variables  a 
c  d  g  h  k  m  u  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwlem10.m . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
2 opeq1 3986 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  <. x ,  K >.  =  <. 1 ,  K >. )
32breq1d 4225 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( <. x ,  K >. PolyAP  f  <->  <. 1 ,  K >. PolyAP  f ) )
43orbi1d 685 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( <. x ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
)  <->  ( <. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP 
f ) ) )
54rexralbidv 2751 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. x ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) ( <.
1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
65imbi2d 309 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (
( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. x ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) )  <->  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) ) ) )
7 opeq1 3986 . . . . . . 7  |-  ( x  =  m  ->  <. x ,  K >.  =  <. m ,  K >. )
87breq1d 4225 . . . . . 6  |-  ( x  =  m  ->  ( <. x ,  K >. PolyAP  f  <->  <. m ,  K >. PolyAP  f ) )
98orbi1d 685 . . . . 5  |-  ( x  =  m  ->  (
( <. x ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
)  <->  ( <. m ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP 
f ) ) )
109rexralbidv 2751 . . . 4  |-  ( x  =  m  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. x ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) ( <.
m ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
1110imbi2d 309 . . 3  |-  ( x  =  m  ->  (
( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. x ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) )  <->  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) ) )
12 opeq1 3986 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  <. x ,  K >.  =  <. ( m  +  1 ) ,  K >. )
1312breq1d 4225 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  ( <. x ,  K >. PolyAP  f  <->  <. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f ) )
1413orbi1d 685 . . . . 5  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( <. x ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
)  <->  ( <. (
m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f ) ) )
1514rexralbidv 2751 . . . 4  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. x ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) ( <.
( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
1615imbi2d 309 . . 3  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. x ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) )  <->  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) ) )
17 opeq1 3986 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  <. x ,  K >.  =  <. M ,  K >. )
1817breq1d 4225 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  ( <. x ,  K >. PolyAP  f  <->  <. M ,  K >. PolyAP  f ) )
1918orbi1d 685 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
( <. x ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
)  <->  ( <. M ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP 
f ) ) )
2019rexralbidv 2751 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. x ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) ( <. M ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
2120imbi2d 309 . . 3  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. x ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) )  <->  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. M ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) ) )
22 vdw.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
23 vdwlem9.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f
)
24 oveq1 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  R  ->  (
s  ^m  ( 1 ... n ) )  =  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) )
2524raleqdv 2912 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  R  ->  ( A. f  e.  (
s  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP  f  <->  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) K MonoAP  f ) )
2625rexbidv 2728 . . . . . . 7  |-  ( s  =  R  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f ) )
2726rspcv 3050 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Fin  ->  ( A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f ) )
2822, 23, 27sylc 59 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f )
29 oveq2 6092 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  w  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... w
) )
3029oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( n  =  w  ->  ( R  ^m  ( 1 ... n ) )  =  ( R  ^m  (
1 ... w ) ) )
3130raleqdv 2912 . . . . . 6  |-  ( n  =  w  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f  <->  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) K MonoAP  f ) )
3231cbvrexv 2935 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f  <->  E. w  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w
) ) K MonoAP  f
)
3328, 32sylib 190 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. w  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) K MonoAP 
f )
34 breq2 4219 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  ( K MonoAP  f  <->  K MonoAP  g )
)
3534cbvralv 2934 . . . . . 6  |-  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w
) ) K MonoAP  f  <->  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) K MonoAP 
g )
36 2nn 10138 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
37 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  NN )  ->  w  e.  NN )
38 nnmulcl 10028 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( 2  x.  w
)  e.  NN )
3936, 37, 38sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  NN )  ->  ( 2  x.  w )  e.  NN )
4022adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  NN )  ->  R  e. 
Fin )
41 ovex 6109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... ( 2  x.  w ) )  e. 
_V
42 elmapg 7034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ( 1 ... (
2  x.  w ) )  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) )  <-> 
f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R ) )
4340, 41, 42sylancl 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  NN )  ->  ( f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
2  x.  w ) ) )  <->  f :
( 1 ... (
2  x.  w ) ) --> R ) )
4443biimpa 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... ( 2  x.  w ) ) ) )  ->  f :
( 1 ... (
2  x.  w ) ) --> R )
45 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  f : ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) --> R )
46 elfznn 11085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( 1 ... w )  ->  y  e.  NN )
4746adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  y  e.  NN )
4847nnred 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  y  e.  RR )
49 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  w  e.  NN )
5049nnred 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  w  e.  RR )
51 elfzle2 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( 1 ... w )  ->  y  <_  w )
5251adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  y  <_  w )
5348, 50, 50, 52leadd1dd 9645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  (
y  +  w )  <_  ( w  +  w ) )
5449nncnd 10021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  w  e.  CC )
55542timesd 10215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  (
2  x.  w )  =  ( w  +  w ) )
5653, 55breqtrrd 4241 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  (
y  +  w )  <_  ( 2  x.  w ) )
5747, 49nnaddcld 10051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  (
y  +  w )  e.  NN )
58 nnuz 10526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5957, 58syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  (
y  +  w )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
6039ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  (
2  x.  w )  e.  NN )
6160nnzd 10379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  (
2  x.  w )  e.  ZZ )
62 elfz5 11056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  +  w
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  (
2  x.  w )  e.  ZZ )  -> 
( ( y  +  w )  e.  ( 1 ... ( 2  x.  w ) )  <-> 
( y  +  w
)  <_  ( 2  x.  w ) ) )
6359, 61, 62syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  (
( y  +  w
)  e.  ( 1 ... ( 2  x.  w ) )  <->  ( y  +  w )  <_  (
2  x.  w ) ) )
6456, 63mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  (
y  +  w )  e.  ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) )
6545, 64ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  y  e.  ( 1 ... w
) )  ->  (
f `  ( y  +  w ) )  e.  R )
66 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +  w )  =  ( y  +  w ) )
6766fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
f `  ( x  +  w ) )  =  ( f `  (
y  +  w ) ) )
6867cbvmptv 4303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `
 ( x  +  w ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 ... w
)  |->  ( f `  ( y  +  w
) ) )
6965, 68fmptd 5896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) --> R )  ->  ( x  e.  ( 1 ... w
)  |->  ( f `  ( x  +  w
) ) ) : ( 1 ... w
) --> R )
70 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... w )  e. 
_V
71 elmapg 7034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ( 1 ... w
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... w
)  |->  ( f `  ( x  +  w
) ) )  e.  ( R  ^m  (
1 ... w ) )  <-> 
( x  e.  ( 1 ... w ) 
|->  ( f `  (
x  +  w ) ) ) : ( 1 ... w ) --> R ) )
7240, 70, 71sylancl 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) )  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  <->  ( x  e.  ( 1 ... w
)  |->  ( f `  ( x  +  w
) ) ) : ( 1 ... w
) --> R ) )
7372biimpar 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  (
x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) : ( 1 ... w ) --> R )  ->  ( x  e.  ( 1 ... w
)  |->  ( f `  ( x  +  w
) ) )  e.  ( R  ^m  (
1 ... w ) ) )
7469, 73syldan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) --> R )  ->  ( x  e.  ( 1 ... w
)  |->  ( f `  ( x  +  w
) ) )  e.  ( R  ^m  (
1 ... w ) ) )
75 breq2 4219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( x  e.  ( 1 ... w
)  |->  ( f `  ( x  +  w
) ) )  -> 
( K MonoAP  g  <->  K MonoAP  ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `
 ( x  +  w ) ) ) ) )
7675rspcv 3050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) )  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  -> 
( A. g  e.  ( R  ^m  (
1 ... w ) ) K MonoAP  g  ->  K MonoAP  ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) ) )
7774, 76syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) --> R )  ->  ( A. g  e.  ( R  ^m  (
1 ... w ) ) K MonoAP  g  ->  K MonoAP  ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) ) )
78 2nn0 10243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
79 vdwlem9.k . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
8079ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) --> R )  ->  K  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
81 eluznn0 10551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  K  e.  NN0 )
8278, 80, 81sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) --> R )  ->  K  e.  NN0 )
8370, 82, 69vdwmc 13351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) --> R )  ->  ( K MonoAP  (
x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) )  <->  E. c E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' ( x  e.  (
1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } ) ) )
8440ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  ( ( a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } ) ) )  ->  R  e.  Fin )
8580adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  ( ( a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } ) ) )  ->  K  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
86 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  ( ( a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } ) ) )  ->  w  e.  NN )
87 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  ( ( a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } ) ) )  ->  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )
88 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  c  e. 
_V
89 simprll 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  ( ( a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } ) ) )  ->  a  e.  NN )
90 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  ( ( a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } ) ) )  ->  d  e.  NN )
91 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  ( ( a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } ) ) )  ->  ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' ( x  e.  (
1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } ) )
9284, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 68vdwlem8 13361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  ( ( a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } ) ) )  ->  <. 1 ,  K >. PolyAP  f )
9392orcd 383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  ( ( a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' ( x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } ) ) )  ->  ( <. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP 
f ) )
9493expr 600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) --> R )  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' ( x  e.  (
1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } )  ->  ( <. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
9594rexlimdvva 2839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) --> R )  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' ( x  e.  (
1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) ) " { c } )  ->  ( <. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
9695exlimdv 1647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) --> R )  ->  ( E. c E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' ( x  e.  ( 1 ... w
)  |->  ( f `  ( x  +  w
) ) ) " { c } )  ->  ( <. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP 
f ) ) )
9783, 96sylbid 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) --> R )  ->  ( K MonoAP  (
x  e.  ( 1 ... w )  |->  ( f `  ( x  +  w ) ) )  ->  ( <. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
9877, 97syld 43 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) --> R )  ->  ( A. g  e.  ( R  ^m  (
1 ... w ) ) K MonoAP  g  ->  ( <. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
9944, 98syldan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  NN )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... ( 2  x.  w ) ) ) )  ->  ( A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w
) ) K MonoAP  g  ->  ( <. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) ) )
10099ralrimdva 2798 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  NN )  ->  ( A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w
) ) K MonoAP  g  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) ) ( <. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) ) )
101 oveq2 6092 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( 2  x.  w )  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... (
2  x.  w ) ) )
102101oveq2d 6100 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( 2  x.  w )  ->  ( R  ^m  ( 1 ... n ) )  =  ( R  ^m  (
1 ... ( 2  x.  w ) ) ) )
103102raleqdv 2912 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( 2  x.  w )  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
)  <->  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... ( 2  x.  w ) ) ) ( <. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) ) )
104103rspcev 3054 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  w
)  e.  NN  /\  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... ( 2  x.  w
) ) ) (
<. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) )  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) )
10539, 100, 104ee12an 1373 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  NN )  ->  ( A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w
) ) K MonoAP  g  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) ) )
10635, 105syl5bi 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  NN )  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w
) ) K MonoAP  f  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) ) )
107106rexlimdva 2832 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... w ) ) K MonoAP  f  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) ) )
10833, 107mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. 1 ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) )
109 breq2 4219 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  ( <. m ,  K >. PolyAP  f  <->  <. m ,  K >. PolyAP  g ) )
110 breq2 4219 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  f  <->  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )
111109, 110orbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  (
( <. m ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
)  <->  ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP 
g ) ) )
112111cbvralv 2934 . . . . . . . 8  |-  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) ( <.
m ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )  <->  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )
)
11330raleqdv 2912 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  w  ->  ( A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )  <->  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )
) )
114112, 113syl5bb 250 . . . . . . 7  |-  ( n  =  w  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )  <->  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )
) )
115114cbvrexv 2935 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) ( <.
m ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )  <->  E. w  e.  NN  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w
) ) ( <.
m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )
)
11622ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
w  e.  NN  /\  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )
) )  ->  R  e.  Fin )
117 fzfi 11316 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... w )  e. 
Fin
118 mapfi 7406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ( 1 ... w
)  e.  Fin )  ->  ( R  ^m  (
1 ... w ) )  e.  Fin )
119116, 117, 118sylancl 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
w  e.  NN  /\  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )
) )  ->  ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  e. 
Fin )
12023ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
w  e.  NN  /\  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )
) )  ->  A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  (
1 ... n ) ) K MonoAP  f )
121 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  v  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... v
) )
122121oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  v  ->  (
s  ^m  ( 1 ... n ) )  =  ( s  ^m  ( 1 ... v
) ) )
123122raleqdv 2912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  v  ->  ( A. f  e.  (
s  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP  f  <->  A. f  e.  ( s  ^m  (
1 ... v ) ) K MonoAP  f ) )
124123cbvrexv 2935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f  <->  E. v  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... v
) ) K MonoAP  f
)
125 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( R  ^m  ( 1 ... w
) )  ->  (
s  ^m  ( 1 ... v ) )  =  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v
) ) )
126125raleqdv 2912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( R  ^m  ( 1 ... w
) )  ->  ( A. f  e.  (
s  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP  f  <->  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w
) )  ^m  (
1 ... v ) ) K MonoAP  f ) )
127126rexbidv 2728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( R  ^m  ( 1 ... w
) )  ->  ( E. v  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f  <->  E. v  e.  NN  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )
128124, 127syl5bb 250 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( R  ^m  ( 1 ... w
) )  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f  <->  E. v  e.  NN  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )
129128rspcv 3050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  e.  Fin  ->  ( A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f  ->  E. v  e.  NN  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )
130119, 120, 129sylc 59 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
w  e.  NN  /\  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )
) )  ->  E. v  e.  NN  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w
) )  ^m  (
1 ... v ) ) K MonoAP  f )
131 simprll 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) ) )  ->  w  e.  NN )
132 simprrl 742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) ) )  ->  v  e.  NN )
133 nnmulcl 10028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  v  e.  NN )  ->  ( 2  x.  v
)  e.  NN )
13436, 133mpan 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  NN  ->  (
2  x.  v )  e.  NN )
135 nnmulcl 10028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  NN  /\  ( 2  x.  v
)  e.  NN )  ->  ( w  x.  ( 2  x.  v
) )  e.  NN )
136134, 135sylan2 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  NN  /\  v  e.  NN )  ->  ( w  x.  (
2  x.  v ) )  e.  NN )
137131, 132, 136syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) ) )  ->  ( w  x.  ( 2  x.  v
) )  e.  NN )
138 simp1l 982 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  ->  ph )
139138, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  ->  R  e.  Fin )
140138, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
141138, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  ->  A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f
)
142 simp1r 983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
143 simp2ll 1025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  ->  w  e.  NN )
144 simp2lr 1026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  ->  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )
)
145 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  k  ->  ( <. m ,  K >. PolyAP  g  <->  <. m ,  K >. PolyAP  k ) )
146 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  k  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  g  <->  ( K  +  1 ) MonoAP  k
) )
147145, 146orbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  k  ->  (
( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
)  <->  ( <. m ,  K >. PolyAP  k  \/  ( K  +  1 ) MonoAP 
k ) ) )
148147cbvralv 2934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w
) ) ( <.
m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )  <->  A. k  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  k  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  k )
)
149144, 148sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  ->  A. k  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  k  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  k )
)
150 simp2rl 1027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  -> 
v  e.  NN )
151 simp2rr 1028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  ->  A. f  e.  (
( R  ^m  (
1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f )
152 simp3 960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  ->  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )
153 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... ( w  x.  ( 2  x.  v
) ) )  e. 
_V
154 elmapg 7034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) )  e.  _V )  ->  ( h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... ( w  x.  ( 2  x.  v
) ) ) )  <-> 
h : ( 1 ... ( w  x.  ( 2  x.  v
) ) ) --> R ) )
155139, 153, 154sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  -> 
( h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... ( w  x.  ( 2  x.  v
) ) ) )  <-> 
h : ( 1 ... ( w  x.  ( 2  x.  v
) ) ) --> R ) )
156152, 155mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  ->  h : ( 1 ... ( w  x.  (
2  x.  v ) ) ) --> R )
157 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  u  ->  (
y  +  ( w  x.  ( ( x  -  1 )  +  v ) ) )  =  ( u  +  ( w  x.  (
( x  -  1 )  +  v ) ) ) )
158157fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  u  ->  (
h `  ( y  +  ( w  x.  ( ( x  - 
1 )  +  v ) ) ) )  =  ( h `  ( u  +  (
w  x.  ( ( x  -  1 )  +  v ) ) ) ) )
159158cbvmptv 4303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( 1 ... w )  |->  ( h `
 ( y  +  ( w  x.  (
( x  -  1 )  +  v ) ) ) ) )  =  ( u  e.  ( 1 ... w
)  |->  ( h `  ( u  +  (
w  x.  ( ( x  -  1 )  +  v ) ) ) ) )
160 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  z  ->  (
x  -  1 )  =  ( z  - 
1 ) )
161160oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  -  1 )  +  v )  =  ( ( z  -  1 )  +  v ) )
162161oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  (
w  x.  ( ( x  -  1 )  +  v ) )  =  ( w  x.  ( ( z  - 
1 )  +  v ) ) )
163162oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  (
u  +  ( w  x.  ( ( x  -  1 )  +  v ) ) )  =  ( u  +  ( w  x.  (
( z  -  1 )  +  v ) ) ) )
164163fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
h `  ( u  +  ( w  x.  ( ( x  - 
1 )  +  v ) ) ) )  =  ( h `  ( u  +  (
w  x.  ( ( z  -  1 )  +  v ) ) ) ) )
165164mpteq2dv 4299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
u  e.  ( 1 ... w )  |->  ( h `  ( u  +  ( w  x.  ( ( x  - 
1 )  +  v ) ) ) ) )  =  ( u  e.  ( 1 ... w )  |->  ( h `
 ( u  +  ( w  x.  (
( z  -  1 )  +  v ) ) ) ) ) )
166159, 165syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  ( 1 ... w )  |->  ( h `  ( y  +  ( w  x.  ( ( x  - 
1 )  +  v ) ) ) ) )  =  ( u  e.  ( 1 ... w )  |->  ( h `
 ( u  +  ( w  x.  (
( z  -  1 )  +  v ) ) ) ) ) )
167166cbvmptv 4303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 ... v )  |->  ( y  e.  ( 1 ... w )  |->  ( h `
 ( y  +  ( w  x.  (
( x  -  1 )  +  v ) ) ) ) ) )  =  ( z  e.  ( 1 ... v )  |->  ( u  e.  ( 1 ... w )  |->  ( h `
 ( u  +  ( w  x.  (
( z  -  1 )  +  v ) ) ) ) ) )
168139, 140, 141, 142, 143, 149, 150, 151, 156, 167vdwlem9 13362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  /\  h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) )  -> 
( <. ( m  + 
1 ) ,  K >. PolyAP 
h  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  h
) )
1691683expia 1156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) ) )  ->  ( h  e.  ( R  ^m  (
1 ... ( w  x.  ( 2  x.  v
) ) ) )  ->  ( <. (
m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  h  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  h ) ) )
170169ralrimiv 2790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) ) )  ->  A. h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... ( w  x.  ( 2  x.  v
) ) ) ) ( <. ( m  + 
1 ) ,  K >. PolyAP 
h  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  h
) )
171 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( w  x.  ( 2  x.  v
) )  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) )
172171oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( w  x.  ( 2  x.  v
) )  ->  ( R  ^m  ( 1 ... n ) )  =  ( R  ^m  (
1 ... ( w  x.  ( 2  x.  v
) ) ) ) )
173172raleqdv 2912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( w  x.  ( 2  x.  v
) )  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )  <->  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... ( w  x.  (
2  x.  v ) ) ) ) (
<. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
174 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  h  ->  ( <. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  <->  <. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  h ) )
175 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  h  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  f  <->  ( K  +  1 ) MonoAP  h
) )
176174, 175orbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  h  ->  (
( <. ( m  + 
1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
)  <->  ( <. (
m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  h  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  h ) ) )
177176cbvralv 2934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... (
w  x.  ( 2  x.  v ) ) ) ) ( <.
( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )  <->  A. h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... ( w  x.  (
2  x.  v ) ) ) ) (
<. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  h  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  h )
)
178173, 177syl6bb 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( w  x.  ( 2  x.  v
) )  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )  <->  A. h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... ( w  x.  (
2  x.  v ) ) ) ) (
<. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  h  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  h )
) )
179178rspcev 3054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  x.  (
2  x.  v ) )  e.  NN  /\  A. h  e.  ( R  ^m  ( 1 ... ( w  x.  (
2  x.  v ) ) ) ) (
<. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  h  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  h )
)  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. ( m  + 
1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) )
180137, 170, 179syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )  /\  (
v  e.  NN  /\  A. f  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) ) )  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
)
181180anassrs 631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( w  e.  NN  /\ 
A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) ) )  /\  ( v  e.  NN  /\ 
A. f  e.  ( ( R  ^m  (
1 ... w ) )  ^m  ( 1 ... v ) ) K MonoAP 
f ) )  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
)
182130, 181rexlimddv 2836 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
w  e.  NN  /\  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w ) ) (
<. m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )
) )  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. ( m  + 
1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) )
183182rexlimdvaa 2833 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. w  e.  NN  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... w
) ) ( <.
m ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
184115, 183syl5bi 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) ( <.
m ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
185184expcom 426 . . . 4  |-  ( m  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
)  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. ( m  + 
1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) ) ) )
186185a2d 25 . . 3  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) ( <. m ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  f
) )  ->  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. ( m  +  1 ) ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) ) )
1876, 11, 16, 21, 108, 186nnind 10023 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. M ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
) )
1881, 187mpcom 35 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) (
<. M ,  K >. PolyAP  f  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  f )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   {csn 3816   <.cop 3819   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   `'ccnv 4880   "cima 4884   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    ^m cmap 7021   Fincfn 7112   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    <_ cle 9126    - cmin 9296   NNcn 10005   2c2 10054   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048  APcvdwa 13338   MonoAP cvdwm 13339   PolyAP cvdwp 13340
This theorem is referenced by:  vdwlem11  13364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-hash 11624  df-vdwap 13341  df-vdwmc 13342  df-vdwpc 13343
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