MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem9 Structured version   Unicode version

Theorem vdwlem9 13362
Description: Lemma for vdw 13367. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdw.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwlem9.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
vdwlem9.s  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f
)
vdwlem9.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
vdwlem9.w  |-  ( ph  ->  W  e.  NN )
vdwlem9.g  |-  ( ph  ->  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )
vdwlem9.v  |-  ( ph  ->  V  e.  NN )
vdwlem9.a  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( ( R  ^m  (
1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V ) ) K MonoAP 
f )
vdwlem9.h  |-  ( ph  ->  H : ( 1 ... ( W  x.  ( 2  x.  V
) ) ) --> R )
vdwlem9.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 1 ... V ) 
|->  ( y  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( H `  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
vdwlem9  |-  ( ph  ->  ( <. ( M  + 
1 ) ,  K >. PolyAP 
H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  H
) )
Distinct variable groups:    g, n, x, y, ph    x, f, y, V    f, W, x, y    f, g, F, x, y    f, n, s, K, g, x, y    f, M, g, n, x, y    R, f, g, n, s, x, y    g, H, x, y
Allowed substitution hints:    ph( f, s)    F( n, s)    H( f, n, s)    M( s)    V( g, n, s)    W( g, n, s)

Proof of Theorem vdwlem9
Dummy variables  a 
d  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwlem9.v . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  e.  NN )
2 vdwlem9.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  NN )
3 vdw.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
4 vdwlem9.h . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : ( 1 ... ( W  x.  ( 2  x.  V
) ) ) --> R )
5 vdwlem9.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  ( 1 ... V ) 
|->  ( y  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( H `  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
61, 2, 3, 4, 5vdwlem4 13357 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... V ) --> ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) )
7 ovex 6109 . . . . 5  |-  ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  e. 
_V
8 ovex 6109 . . . . 5  |-  ( 1 ... V )  e. 
_V
97, 8elmap 7045 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V
) )  <->  F :
( 1 ... V
) --> ( R  ^m  ( 1 ... W
) ) )
106, 9sylibr 205 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V ) ) )
11 vdwlem9.a . . 3  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( ( R  ^m  (
1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V ) ) K MonoAP 
f )
12 breq2 4219 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( K MonoAP  f  <->  K MonoAP  F ) )
1312rspcv 3050 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V
) )  ->  ( A. f  e.  (
( R  ^m  (
1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V ) ) K MonoAP 
f  ->  K MonoAP  F ) )
1410, 11, 13sylc 59 . 2  |-  ( ph  ->  K MonoAP  F )
15 vdwlem9.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
16 eluz2b2 10553 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( K  e.  NN  /\  1  < 
K ) )
1716simplbi 448 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  NN )
1815, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
1918nnnn0d 10279 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
208, 19, 6vdwmc 13351 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  F  <->  E. g E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { g } ) ) )
21 vdwlem9.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )
2221adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  A. g  e.  ( R  ^m  (
1 ... W ) ) ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )
23 simprr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { g } ) )
2418adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  K  e.  NN )
25 simprll 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  NN )
26 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  d  e.  NN )
27 vdwapid1 13348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN  /\  a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  a  e.  ( a (AP `  K ) d ) )
2824, 25, 26, 27syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  ( a (AP `  K ) d ) )
2923, 28sseldd 3351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  ( `' F " { g } ) )
30 ffn 5594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( 1 ... V ) --> ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  ->  F  Fn  ( 1 ... V ) )
316, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( 1 ... V ) )
3231adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  F  Fn  ( 1 ... V
) )
33 fniniseg 5854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  ( 1 ... V )  ->  (
a  e.  ( `' F " { g } )  <->  ( a  e.  ( 1 ... V
)  /\  ( F `  a )  =  g ) ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  e.  ( `' F " { g } )  <->  ( a  e.  ( 1 ... V
)  /\  ( F `  a )  =  g ) ) )
3529, 34mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  e.  ( 1 ... V )  /\  ( F `  a )  =  g ) )
3635simprd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( F `  a )  =  g )
376adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  F : ( 1 ... V ) --> ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) )
3835simpld 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  ( 1 ... V
) )
3937, 38ffvelrnd 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( F `  a )  e.  ( R  ^m  (
1 ... W ) ) )
4036, 39eqeltrrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  g  e.  ( R  ^m  (
1 ... W ) ) )
41 rsp 2768 . . . . . . . 8  |-  ( A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W
) ) ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )  ->  ( g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  ->  ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP 
g ) ) )
4222, 40, 41sylc 59 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )
)
431adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  V  e.  NN )
442adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  W  e.  NN )
453adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  R  e.  Fin )
464adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  H : ( 1 ... ( W  x.  (
2  x.  V ) ) ) --> R )
47 vdwlem9.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4847adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  M  e.  NN )
49 ovex 6109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... W )  e. 
_V
50 elmapg 7034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ( 1 ... W
)  e.  _V )  ->  ( g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  <-> 
g : ( 1 ... W ) --> R ) )
5145, 49, 50sylancl 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  <->  g :
( 1 ... W
) --> R ) )
5240, 51mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  g : ( 1 ... W ) --> R )
5315adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
5443, 44, 45, 46, 5, 48, 52, 53, 25, 26, 23vdwlem7 13360 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( <. M ,  K >. PolyAP  g  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  g ) ) )
55 olc 375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  +  1 ) MonoAP 
g  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  g ) )
5655a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  g  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g ) ) )
5754, 56jaod 371 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
)  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  g ) ) )
58 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  (
x  -  1 )  =  ( a  - 
1 ) )
5958oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
( x  -  1 )  +  V )  =  ( ( a  -  1 )  +  V ) )
6059oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  ( W  x.  ( (
x  -  1 )  +  V ) )  =  ( W  x.  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) )
6160oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) )  =  ( y  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) )
6261fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( x  - 
1 )  +  V
) ) ) )  =  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )
6362mpteq2dv 4299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( x  - 
1 )  +  V
) ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `
 ( y  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
6449mptex 5969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `
 ( y  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  e.  _V
6563, 5, 64fvmpt 5809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ( 1 ... V )  ->  ( F `  a )  =  ( y  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
6638, 65syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( F `  a )  =  ( y  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
6766, 36eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) ) ) )  =  g )
6867breq2d 4227 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  ( y  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  <->  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )
6919adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
70 peano2nn0 10265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  +  1 )  e. 
NN0 )
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( K  +  1 )  e.  NN0 )
72 nnm1nn0 10266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  NN  ->  (
a  -  1 )  e.  NN0 )
7325, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  -  1 )  e.  NN0 )
74 nn0nnaddcl 10257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  -  1 )  e.  NN0  /\  V  e.  NN )  ->  ( ( a  - 
1 )  +  V
)  e.  NN )
7573, 43, 74syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( a  -  1 )  +  V )  e.  NN )
7644, 75nnmulcld 10052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( (
a  -  1 )  +  V ) )  e.  NN )
7725, 43nnaddcld 10051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  +  V )  e.  NN )
7844, 77nnmulcld 10052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( a  +  V ) )  e.  NN )
7978nnzd 10379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( a  +  V ) )  e.  ZZ )
80 2nn 10138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  NN
81 nnmulcl 10028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  V  e.  NN )  ->  ( 2  x.  V
)  e.  NN )
8280, 1, 81sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  V
)  e.  NN )
832, 82nnmulcld 10052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( W  x.  (
2  x.  V ) )  e.  NN )
8483nnzd 10379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( W  x.  (
2  x.  V ) )  e.  ZZ )
8584adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( 2  x.  V ) )  e.  ZZ )
8625nnred 10020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  RR )
8743nnred 10020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  V  e.  RR )
88 elfzle2 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( 1 ... V )  ->  a  <_  V )
8938, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  <_  V )
9086, 87, 87, 89leadd1dd 9645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  +  V )  <_  ( V  +  V ) )
9143nncnd 10021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  V  e.  CC )
92912timesd 10215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
2  x.  V )  =  ( V  +  V ) )
9390, 92breqtrrd 4241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  +  V )  <_  ( 2  x.  V ) )
9477nnred 10020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  +  V )  e.  RR )
9582nnred 10020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  V
)  e.  RR )
9695adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
2  x.  V )  e.  RR )
9744nnred 10020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  W  e.  RR )
9844nngt0d 10048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  0  <  W )
99 lemul2 9868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  +  V
)  e.  RR  /\  ( 2  x.  V
)  e.  RR  /\  ( W  e.  RR  /\  0  <  W ) )  ->  ( (
a  +  V )  <_  ( 2  x.  V )  <->  ( W  x.  ( a  +  V
) )  <_  ( W  x.  ( 2  x.  V ) ) ) )
10094, 96, 97, 98, 99syl112anc 1189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( a  +  V
)  <_  ( 2  x.  V )  <->  ( W  x.  ( a  +  V
) )  <_  ( W  x.  ( 2  x.  V ) ) ) )
10193, 100mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( a  +  V ) )  <_ 
( W  x.  (
2  x.  V ) ) )
102 eluz2 10499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  x.  ( 2  x.  V ) )  e.  ( ZZ>= `  ( W  x.  ( a  +  V ) ) )  <-> 
( ( W  x.  ( a  +  V
) )  e.  ZZ  /\  ( W  x.  (
2  x.  V ) )  e.  ZZ  /\  ( W  x.  (
a  +  V ) )  <_  ( W  x.  ( 2  x.  V
) ) ) )
10379, 85, 101, 102syl3anbrc 1139 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( 2  x.  V ) )  e.  ( ZZ>= `  ( W  x.  ( a  +  V ) ) ) )
10444nncnd 10021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  W  e.  CC )
105 ax-1cn 9053 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  1  e.  CC )
10773nn0cnd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  -  1 )  e.  CC )
108107, 91addcld 9112 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( a  -  1 )  +  V )  e.  CC )
109104, 106, 108adddid 9117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( 1  +  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) )  =  ( ( W  x.  1 )  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) )
110106, 107, 91addassd 9115 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( 1  +  ( a  -  1 ) )  +  V )  =  ( 1  +  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) )
11125nncnd 10021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  CC )
112 pncan3 9318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( a  -  1 ) )  =  a )
113105, 111, 112sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
1  +  ( a  -  1 ) )  =  a )
114113oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( 1  +  ( a  -  1 ) )  +  V )  =  ( a  +  V ) )
115110, 114eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
1  +  ( ( a  -  1 )  +  V ) )  =  ( a  +  V ) )
116115oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( 1  +  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) )  =  ( W  x.  ( a  +  V
) ) )
117104mulid1d 9110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  1 )  =  W )
118117oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( W  x.  1 )  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) )  =  ( W  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) )
119109, 116, 1183eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( a  +  V ) )  =  ( W  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) )
120119fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( ZZ>=
`  ( W  x.  ( a  +  V
) ) )  =  ( ZZ>= `  ( W  +  ( W  x.  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) ) ) )
121103, 120eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( 2  x.  V ) )  e.  ( ZZ>= `  ( W  +  ( W  x.  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) ) ) )
122 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) )  =  ( z  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) )
123122fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) ) )  =  ( H `  ( z  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )
124123cbvmptv 4303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `
 ( y  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  =  ( z  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( z  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )
12545, 71, 44, 76, 46, 121, 124vdwlem2 13355 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  ( y  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  -> 
( K  +  1 ) MonoAP  H ) )
12668, 125sylbird 228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  g  ->  ( K  +  1 ) MonoAP  H ) )
127126orim2d 815 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( <. ( M  + 
1 ) ,  K >. PolyAP 
H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
)  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  H ) ) )
12857, 127syld 43 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
)  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  H ) ) )
12942, 128mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  H ) )
130129expr 600 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { g } )  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  H ) ) )
131130rexlimdvva 2839 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { g } )  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  H ) ) )
132131exlimdv 1647 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. g E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { g } )  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  H ) ) )
13320, 132sylbid 208 . 2  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  F  -> 
( <. ( M  + 
1 ) ,  K >. PolyAP 
H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  H
) ) )
13414, 133mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( <. ( M  + 
1 ) ,  K >. PolyAP 
H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  H
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   {csn 3816   <.cop 3819   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   `'ccnv 4880   "cima 4884    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    ^m cmap 7021   Fincfn 7112   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   NNcn 10005   2c2 10054   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048  APcvdwa 13338   MonoAP cvdwm 13339   PolyAP cvdwp 13340
This theorem is referenced by:  vdwlem10  13363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-hash 11624  df-vdwap 13341  df-vdwmc 13342  df-vdwpc 13343
  Copyright terms: Public domain W3C validator