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Theorem vdwlem9 13362
 Description: Lemma for vdw 13367. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdw.r
vdwlem9.k
vdwlem9.s MonoAP
vdwlem9.m
vdwlem9.w
vdwlem9.g PolyAP MonoAP
vdwlem9.v
vdwlem9.a MonoAP
vdwlem9.h
vdwlem9.f
Assertion
Ref Expression
vdwlem9 PolyAP MonoAP
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,   ,,,   ,,,,   ,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,)   ()   (,,)   (,,)

Proof of Theorem vdwlem9
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwlem9.v . . . . 5
2 vdwlem9.w . . . . 5
3 vdw.r . . . . 5
4 vdwlem9.h . . . . 5
5 vdwlem9.f . . . . 5
61, 2, 3, 4, 5vdwlem4 13357 . . . 4
7 ovex 6109 . . . . 5
8 ovex 6109 . . . . 5
97, 8elmap 7045 . . . 4
106, 9sylibr 205 . . 3
11 vdwlem9.a . . 3 MonoAP
12 breq2 4219 . . . 4 MonoAP MonoAP
1312rspcv 3050 . . 3 MonoAP MonoAP
1410, 11, 13sylc 59 . 2 MonoAP
15 vdwlem9.k . . . . . 6
16 eluz2b2 10553 . . . . . . 7
1716simplbi 448 . . . . . 6
1815, 17syl 16 . . . . 5
1918nnnn0d 10279 . . . 4
208, 19, 6vdwmc 13351 . . 3 MonoAP AP
21 vdwlem9.g . . . . . . . . 9 PolyAP MonoAP
2221adantr 453 . . . . . . . 8 AP PolyAP MonoAP
23 simprr 735 . . . . . . . . . . . 12 AP AP
2418adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13 AP
25 simprll 740 . . . . . . . . . . . . 13 AP
26 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . 13 AP
27 vdwapid1 13348 . . . . . . . . . . . . 13 AP
2824, 25, 26, 27syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12 AP AP
2923, 28sseldd 3351 . . . . . . . . . . 11 AP
30 ffn 5594 . . . . . . . . . . . . . 14
316, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
3231adantr 453 . . . . . . . . . . . 12 AP
33 fniniseg 5854 . . . . . . . . . . . 12
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . 11 AP
3529, 34mpbid 203 . . . . . . . . . 10 AP
3635simprd 451 . . . . . . . . 9 AP
376adantr 453 . . . . . . . . . 10 AP
3835simpld 447 . . . . . . . . . 10 AP
3937, 38ffvelrnd 5874 . . . . . . . . 9 AP
4036, 39eqeltrrd 2513 . . . . . . . 8 AP
41 rsp 2768 . . . . . . . 8 PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
4222, 40, 41sylc 59 . . . . . . 7 AP PolyAP MonoAP
431adantr 453 . . . . . . . . . 10 AP
442adantr 453 . . . . . . . . . 10 AP
453adantr 453 . . . . . . . . . 10 AP
464adantr 453 . . . . . . . . . 10 AP
47 vdwlem9.m . . . . . . . . . . 11
4847adantr 453 . . . . . . . . . 10 AP
49 ovex 6109 . . . . . . . . . . . 12
50 elmapg 7034 . . . . . . . . . . . 12
5145, 49, 50sylancl 645 . . . . . . . . . . 11 AP
5240, 51mpbid 203 . . . . . . . . . 10 AP
5315adantr 453 . . . . . . . . . 10 AP
5443, 44, 45, 46, 5, 48, 52, 53, 25, 26, 23vdwlem7 13360 . . . . . . . . 9 AP PolyAP PolyAP MonoAP
55 olc 375 . . . . . . . . . 10 MonoAP PolyAP MonoAP
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 AP MonoAP PolyAP MonoAP
5754, 56jaod 371 . . . . . . . 8 AP PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
58 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5958oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6059oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6160oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6261fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15
6362mpteq2dv 4299 . . . . . . . . . . . . . 14
6449mptex 5969 . . . . . . . . . . . . . 14
6563, 5, 64fvmpt 5809 . . . . . . . . . . . . 13
6638, 65syl 16 . . . . . . . . . . . 12 AP
6766, 36eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . 11 AP
6867breq2d 4227 . . . . . . . . . 10 AP MonoAP MonoAP
6919adantr 453 . . . . . . . . . . . 12 AP
70 peano2nn0 10265 . . . . . . . . . . . 12
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . 11 AP
72 nnm1nn0 10266 . . . . . . . . . . . . . 14
7325, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 AP
74 nn0nnaddcl 10257 . . . . . . . . . . . . 13
7573, 43, 74syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12 AP
7644, 75nnmulcld 10052 . . . . . . . . . . 11 AP
7725, 43nnaddcld 10051 . . . . . . . . . . . . . . 15 AP
7844, 77nnmulcld 10052 . . . . . . . . . . . . . 14 AP
7978nnzd 10379 . . . . . . . . . . . . 13 AP
80 2nn 10138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
81 nnmulcl 10028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8280, 1, 81sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16
832, 82nnmulcld 10052 . . . . . . . . . . . . . . 15
8483nnzd 10379 . . . . . . . . . . . . . 14
8584adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13 AP
8625nnred 10020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 AP
8743nnred 10020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 AP
88 elfzle2 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8938, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 AP
9086, 87, 87, 89leadd1dd 9645 . . . . . . . . . . . . . . 15 AP
9143nncnd 10021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 AP
92912timesd 10215 . . . . . . . . . . . . . . 15 AP
9390, 92breqtrrd 4241 . . . . . . . . . . . . . 14 AP
9477nnred 10020 . . . . . . . . . . . . . . 15 AP
9582nnred 10020 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9695adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 AP
9744nnred 10020 . . . . . . . . . . . . . . 15 AP
9844nngt0d 10048 . . . . . . . . . . . . . . 15 AP
99 lemul2 9868 . . . . . . . . . . . . . . 15
10094, 96, 97, 98, 99syl112anc 1189 . . . . . . . . . . . . . 14 AP
10193, 100mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13 AP
102 eluz2 10499 . . . . . . . . . . . . 13
10379, 85, 101, 102syl3anbrc 1139 . . . . . . . . . . . 12 AP
10444nncnd 10021 . . . . . . . . . . . . . . 15 AP
105 ax-1cn 9053 . . . . . . . . . . . . . . . 16
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 AP
10773nn0cnd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 AP
108107, 91addcld 9112 . . . . . . . . . . . . . . 15 AP
109104, 106, 108adddid 9117 . . . . . . . . . . . . . 14 AP
110106, 107, 91addassd 9115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 AP
11125nncnd 10021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 AP
112 pncan3 9318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
113105, 111, 112sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 AP
114113oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16 AP
115110, 114eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15 AP
116115oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . 14 AP
117104mulid1d 9110 . . . . . . . . . . . . . . 15 AP
118117oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14 AP
119109, 116, 1183eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . 13 AP
120119fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . 12 AP
121103, 120eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . 11 AP
122 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . 13
123122fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . 12
124123cbvmptv 4303 . . . . . . . . . . 11
12545, 71, 44, 76, 46, 121, 124vdwlem2 13355 . . . . . . . . . 10 AP MonoAP MonoAP
12668, 125sylbird 228 . . . . . . . . 9 AP MonoAP MonoAP
127126orim2d 815 . . . . . . . 8 AP PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
12857, 127syld 43 . . . . . . 7 AP PolyAP MonoAP PolyAP MonoAP
12942, 128mpd 15 . . . . . 6 AP PolyAP MonoAP
130129expr 600 . . . . 5 AP PolyAP MonoAP
131130rexlimdvva 2839 . . . 4 AP PolyAP MonoAP
132131exlimdv 1647 . . 3 AP PolyAP MonoAP
13320, 132sylbid 208 . 2 MonoAP PolyAP MonoAP
13414, 133mpd 15 1 PolyAP MonoAP
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   wss 3322  csn 3816  cop 3819   class class class wbr 4215   cmpt 4269  ccnv 4880  cima 4884   wfn 5452  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmap 7021  cfn 7112  cc 8993  cr 8994  cc0 8995  c1 8996   caddc 8998   cmul 9000   clt 9125   cle 9126   cmin 9296  cn 10005  c2 10054  cn0 10226  cz 10287  cuz 10493  cfz 11048  APcvdwa 13338   MonoAP cvdwm 13339   PolyAP cvdwp 13340 This theorem is referenced by:  vdwlem10  13363 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-hash 11624  df-vdwap 13341  df-vdwmc 13342  df-vdwpc 13343
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