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Theorem vdwnnlem3 13357
Description: Lemma for vdwnn 13358. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwnn.1  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwnn.2  |-  ( ph  ->  F : NN --> R )
vdwnn.3  |-  S  =  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }
vdwnn.4  |-  ( ph  ->  A. c  e.  R  S  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
vdwnnlem3  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    a, d,
k, m, c    ph, a,
c, d    R, a,
c, d    F, a    k, c, F, d, m    S, a, d, k, m
Allowed substitution hints:    ph( k, m)    R( k, m)    S( c)

Proof of Theorem vdwnnlem3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwnn.1 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
2 vdwnn.3 . . . . . . 7  |-  S  =  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }
3 ssrab2 3420 . . . . . . 7  |-  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }  C_  NN
42, 3eqsstri 3370 . . . . . 6  |-  S  C_  NN
5 nnuz 10513 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
64, 5sseqtri 3372 . . . . . . 7  |-  S  C_  ( ZZ>= `  1 )
7 vdwnn.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. c  e.  R  S  =/=  (/) )
87r19.21bi 2796 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  R )  ->  S  =/=  (/) )
9 infmssuzcl 10551 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  S  =/=  (/) )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S
)
106, 8, 9sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S
)
114, 10sseldi 3338 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )
1211nnred 10007 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
1312ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( ph  ->  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
14 fimaxre3 9949 . . 3  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)
151, 13, 14syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)
16 vdwnn.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> R )
17 1nn 10003 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
18 ffvelrn 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> R  /\  1  e.  NN )  ->  ( F `  1
)  e.  R )
1916, 17, 18sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  R )
20 ne0i 3626 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  1 )  e.  R  ->  R  =/=  (/) )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
2221adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  R  =/=  (/) )
23 r19.2z 3709 . . . . . . 7  |-  ( ( R  =/=  (/)  /\  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)  ->  E. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)
2423ex 424 . . . . . 6  |-  ( R  =/=  (/)  ->  ( A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  E. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x ) )
2522, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  E. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x ) )
26 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  x  e.  RR )
27 fllep1 11202 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
2912adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
3026flcld 11199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
3130peano2zd 10370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ZZ )
3231zred 10367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
33 letr 9159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR )  ->  (
( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  /\  x  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
3429, 26, 32, 33syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  /\  x  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
3528, 34mpan2d 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
3611adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )
3736nnzd 10366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  ZZ )
38 eluz 10491 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  ZZ  /\  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )  <->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )
3937, 31, 38syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )  <->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
40 simpll 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ph )
4110adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S
)
421, 16, 2vdwnnlem2 13356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) ) )  -> 
( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S  -> 
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  S ) )
4342impancom 428 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S
)  ->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )  -> 
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  S ) )
4440, 41, 43syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  S
) )
4539, 44sylbird 227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  S
) )
4635, 45syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  S
) )
474sseli 3336 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN )
4847nnnn0d 10266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN0 )
4946, 48syl6 31 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  NN0 ) )
5049rexlimdva 2822 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )
)
511adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  R  e.  Fin )
5216adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  F : NN --> R )
53 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  NN0 )
54 vdwnnlem1 13355 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) )
5551, 52, 53, 54syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) )
5655ex 424 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  NN0  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
5756adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN0  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
5825, 50, 573syld 53 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
59 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
k  -  1 )  =  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) )
6059oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )
6160raleqdv 2902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  ( A. m  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  A. m  e.  (
0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
62612rexbidv 2740 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
6362notbid 286 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  ( -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
6463, 2elrab2 3086 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S  <->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN  /\  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
6564simprbi 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S  ->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
6646, 65syl6 31 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
6766ralimdva 2776 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  A. c  e.  R  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
68 ralnex 2707 . . . . 5  |-  ( A. c  e.  R  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  -.  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
6967, 68syl6ib 218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  -.  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
7058, 69pm2.65d 168 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -.  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)
7170nrexdv 2801 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. x  e.  RR  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x )
7215, 71pm2.65i 167 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   class class class wbr 4204   `'ccnv 4869   "cima 4873   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   supcsup 7437   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283   NNcn 9992   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   ...cfz 11035   |_cfl 11193
This theorem is referenced by:  vdwnn  13358
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fl 11194  df-hash 11611  df-vdwap 13328  df-vdwmc 13329  df-vdwpc 13330
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