MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  volf Unicode version

Theorem volf 19382
Description: The domain and range of the Lebesgue measure function. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
volf  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] 
+oo )

Proof of Theorem volf
StepHypRef Expression
1 ovolf 19335 . . . . . 6  |-  vol * : ~P RR --> ( 0 [,]  +oo )
2 ffun 5556 . . . . . 6  |-  ( vol
* : ~P RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  Fun  vol * )
3 funres 5455 . . . . . 6  |-  ( Fun 
vol *  ->  Fun  ( vol *  |`  dom  vol )
)
41, 2, 3mp2b 10 . . . . 5  |-  Fun  ( vol *  |`  dom  vol )
5 volres 19381 . . . . . 6  |-  vol  =  ( vol *  |`  dom  vol )
65funeqi 5437 . . . . 5  |-  ( Fun 
vol 
<->  Fun  ( vol *  |` 
dom  vol ) )
74, 6mpbir 201 . . . 4  |-  Fun  vol
8 resss 5133 . . . . . 6  |-  ( vol
*  |`  dom  vol )  C_ 
vol *
95, 8eqsstri 3342 . . . . 5  |-  vol  C_  vol *
10 fssxp 5565 . . . . . 6  |-  ( vol
* : ~P RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  vol *  C_  ( ~P RR  X.  ( 0 [,]  +oo ) ) )
111, 10ax-mp 8 . . . . 5  |-  vol *  C_  ( ~P RR  X.  ( 0 [,]  +oo ) )
129, 11sstri 3321 . . . 4  |-  vol  C_  ( ~P RR  X.  ( 0 [,]  +oo ) )
137, 12pm3.2i 442 . . 3  |-  ( Fun 
vol  /\  vol  C_  ( ~P RR  X.  ( 0 [,]  +oo ) ) )
14 funssxp 5567 . . 3  |-  ( ( Fun  vol  /\  vol  C_  ( ~P RR  X.  ( 0 [,]  +oo ) ) )  <-> 
( vol : dom  vol --> ( 0 [,]  +oo )  /\  dom  vol  C_  ~P RR ) )
1513, 14mpbi 200 . 2  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,]  +oo )  /\  dom  vol  C_  ~P RR )
1615simpli 445 1  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] 
+oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    C_ wss 3284   ~Pcpw 3763    X. cxp 4839   dom cdm 4841    |` cres 4843   Fun wfun 5411   -->wf 5413  (class class class)co 6044   RRcr 8949   0cc0 8950    +oocpnf 9077   [,]cicc 10879   vol *covol 19316   volcvol 19317
This theorem is referenced by:  volsup  19407  volsup2  19454  volivth  19456  itg1climres  19563  itg2const2  19590  itg2gt0  19609  areambl  20754  voliune  24542  volfiniune  24543  volmeas  24544  volsupnfl  26154  areacirc  26191
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-rp 10573  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-seq 11283  df-exp 11342  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-ovol 19318  df-vol 19319
  Copyright terms: Public domain W3C validator