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Theorem volinun 19397
Description: Addition of non-disjoint sets. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
volinun  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( vol `  A
)  +  ( vol `  B ) )  =  ( ( vol `  ( A  i^i  B ) )  +  ( vol `  ( A  u.  B )
) ) )

Proof of Theorem volinun
StepHypRef Expression
1 inundif 3670 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \  B ) )  =  A
21fveq2i 5694 . . . 4  |-  ( vol `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A 
\  B ) ) )  =  ( vol `  A )
3 inmbl 19393 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  B )  e.  dom  vol )
43adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( A  i^i  B
)  e.  dom  vol )
5 difmbl 19394 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  \  B )  e.  dom  vol )
65adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( A  \  B
)  e.  dom  vol )
7 indifcom 3550 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A  \  B ) )  =  ( A  i^i  (
( A  i^i  B
)  \  B )
)
8 difin0 3665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  B ) 
\  B )  =  (/)
98ineq2i 3503 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( ( A  i^i  B )  \  B ) )  =  ( A  i^i  (/) )
10 in0 3617 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  (/) )  =  (/)
119, 10eqtri 2428 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  ( ( A  i^i  B )  \  B ) )  =  (/)
127, 11eqtri 2428 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( A  i^i  B )  i^i  ( A 
\  B ) )  =  (/) )
14 mblvol 19383 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A  i^i  B ) )  =  ( vol * `  ( A  i^i  B
) ) )
154, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  ( A  i^i  B ) )  =  ( vol * `  ( A  i^i  B
) ) )
16 inss1 3525 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( A  i^i  B
)  C_  A )
18 mblss 19384 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
1918ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
20 mblvol 19383 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol * `  A ) )
2120ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  A
)  =  ( vol
* `  A )
)
22 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  A
)  e.  RR )
2321, 22eqeltrrd 2483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol * `  A )  e.  RR )
24 ovolsscl 19339 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  C_  A  /\  A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( A  i^i  B ) )  e.  RR )
2517, 19, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol * `  ( A  i^i  B ) )  e.  RR )
2615, 25eqeltrd 2482 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  ( A  i^i  B ) )  e.  RR )
27 mblvol 19383 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  B )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A 
\  B ) )  =  ( vol * `  ( A  \  B
) ) )
286, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  ( A  \  B ) )  =  ( vol * `  ( A  \  B
) ) )
29 difssd 3439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( A  \  B
)  C_  A )
30 ovolsscl 19339 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  B
)  C_  A  /\  A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( A  \  B ) )  e.  RR )
3129, 19, 23, 30syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol * `  ( A  \  B ) )  e.  RR )
3228, 31eqeltrd 2482 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  ( A  \  B ) )  e.  RR )
33 volun 19396 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  e.  dom  vol  /\  ( A  \  B
)  e.  dom  vol  /\  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A 
\  B ) )  =  (/) )  /\  (
( vol `  ( A  i^i  B ) )  e.  RR  /\  ( vol `  ( A  \  B ) )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  (
( A  i^i  B
)  u.  ( A 
\  B ) ) )  =  ( ( vol `  ( A  i^i  B ) )  +  ( vol `  ( A  \  B ) ) ) )
344, 6, 13, 26, 32, 33syl32anc 1192 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  (
( A  i^i  B
)  u.  ( A 
\  B ) ) )  =  ( ( vol `  ( A  i^i  B ) )  +  ( vol `  ( A  \  B ) ) ) )
352, 34syl5eqr 2454 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  A
)  =  ( ( vol `  ( A  i^i  B ) )  +  ( vol `  ( A  \  B ) ) ) )
3635oveq1d 6059 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( vol `  A
)  +  ( vol `  B ) )  =  ( ( ( vol `  ( A  i^i  B
) )  +  ( vol `  ( A 
\  B ) ) )  +  ( vol `  B ) ) )
3726recnd 9074 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  ( A  i^i  B ) )  e.  CC )
3832recnd 9074 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  ( A  \  B ) )  e.  CC )
39 simprr 734 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  B
)  e.  RR )
4039recnd 9074 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  B
)  e.  CC )
4137, 38, 40addassd 9070 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( vol `  ( A  i^i  B
) )  +  ( vol `  ( A 
\  B ) ) )  +  ( vol `  B ) )  =  ( ( vol `  ( A  i^i  B ) )  +  ( ( vol `  ( A  \  B
) )  +  ( vol `  B ) ) ) )
42 undif1 3667 . . . . 5  |-  ( ( A  \  B )  u.  B )  =  ( A  u.  B
)
4342fveq2i 5694 . . . 4  |-  ( vol `  ( ( A  \  B )  u.  B
) )  =  ( vol `  ( A  u.  B ) )
44 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  ->  B  e.  dom  vol )
45 incom 3497 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  B )  i^i  B )  =  ( B  i^i  ( A  \  B ) )
46 disjdif 3664 . . . . . . 7  |-  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)
4745, 46eqtri 2428 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  B )  i^i  B )  =  (/)
4847a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( A  \  B )  i^i  B
)  =  (/) )
49 volun 19396 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  \  B )  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( ( A 
\  B )  i^i 
B )  =  (/) )  /\  ( ( vol `  ( A  \  B
) )  e.  RR  /\  ( vol `  B
)  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( ( A  \  B )  u.  B
) )  =  ( ( vol `  ( A  \  B ) )  +  ( vol `  B
) ) )
506, 44, 48, 32, 39, 49syl32anc 1192 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  (
( A  \  B
)  u.  B ) )  =  ( ( vol `  ( A 
\  B ) )  +  ( vol `  B
) ) )
5143, 50syl5reqr 2455 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( vol `  ( A  \  B ) )  +  ( vol `  B
) )  =  ( vol `  ( A  u.  B ) ) )
5251oveq2d 6060 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( vol `  ( A  i^i  B ) )  +  ( ( vol `  ( A  \  B
) )  +  ( vol `  B ) ) )  =  ( ( vol `  ( A  i^i  B ) )  +  ( vol `  ( A  u.  B )
) ) )
5336, 41, 523eqtrd 2444 1  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( vol `  A
)  +  ( vol `  B ) )  =  ( ( vol `  ( A  i^i  B ) )  +  ( vol `  ( A  u.  B )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    \ cdif 3281    u. cun 3282    i^i cin 3283    C_ wss 3284   (/)c0 3592   dom cdm 4841   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   RRcr 8949    + caddc 8953   vol *covol 19316   volcvol 19317
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-ioo 10880  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fl 11161  df-seq 11283  df-exp 11342  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-ovol 19318  df-vol 19319
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