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Theorem wallispi 27488
Description: Wallis' formula for π : Wallis' product converges to π / 2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispi.1  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
wallispi.2  |-  W  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n ) )
Assertion
Ref Expression
wallispi  |-  W  ~~>  ( pi 
/  2 )
Distinct variable groups:    k, n    n, F
Allowed substitution hints:    F( k)    W( k, n)

Proof of Theorem wallispi
Dummy variables  j  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10454 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10244 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 wallispi.1 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
5 eqid 2388 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x )  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
6 eqid 2388 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x ) `
 ( 2  x.  n ) )  / 
( ( n  e. 
NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x ) `  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x ) `  ( 2  x.  n
) )  /  (
( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x ) `
 ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
7 eqid 2388 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) )
8 eqid 2388 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( 2  x.  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  n
) ) )
94, 5, 6, 7, 8wallispilem5 27487 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) )  ~~>  1
109a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )  ~~>  1 )
11 2cn 10003 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
1211a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  2  e.  CC )
13 pire 20240 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
1413recni 9036 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  CC
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  pi  e.  CC )
16 pipos 20241 . . . . . . . . 9  |-  0  <  pi
1713, 16gt0ne0ii 9496 . . . . . . . 8  |-  pi  =/=  0
1817a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  pi  =/=  0 )
1912, 15, 18divcld 9723 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( 2  /  pi )  e.  CC )
20 nnex 9939 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
2120mptex 5906 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )  e.  _V
2221a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  e. 
_V )
2314a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
2423halfcld 10145 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
25 elnnuz 10455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2625biimpi 187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
274a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
28 oveq2 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  j  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  j ) )
2928oveq1d 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )
3028, 29oveq12d 6039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  -  1 ) ) )
3128oveq1d 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
3228, 31oveq12d 6039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
3330, 32oveq12d 6039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) ) ) )
3433adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  ( 1 ... n )  /\  k  =  j )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) )
35 elfznn 11013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  NN )
3611a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  CC )
37 nncn 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
3836, 37mulcld 9042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  CC )
39 ax-1cn 8982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  CC )
4138, 40subcld 9344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  CC )
42 1re 9024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  RR
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
44 1t1e1 10059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
4543, 43remulcld 9050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  e.  RR )
46 2re 10002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  e.  RR
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR )
4847, 43remulcld 9050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  RR )
49 nnre 9940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
5047, 49remulcld 9050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR )
51 1rp 10549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  RR+
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR+ )
53 1lt2 10075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  <  2
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  2 )
5543, 47, 52, 54ltmul1dd 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  <  ( 2  x.  1 ) )
56 0re 9025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  e.  RR
57 2pos 10015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  <  2
5856, 46, 57ltleii 9128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  <_  2
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <_  2 )
60 nnge1 9959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <_  j )
6143, 49, 47, 59, 60lemul2ad 9884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  j ) )
6245, 48, 50, 55, 61ltletrd 9163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  <  ( 2  x.  j ) )
6344, 62syl5eqbrr 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  ( 2  x.  j
) )
6443, 63gtned 9141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  =/=  1 )
6538, 40, 64subne0d 9353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  =/=  0 )
6638, 41, 65divcld 9723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  e.  CC )
6738, 40addcld 9041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  CC )
6856a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  0  e.  RR )
6950, 43readdcld 9049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR )
7052rpgt0d 10584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  1 )
71 2rp 10550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  2  e.  RR+
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
73 nnrp 10554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR+ )
7472, 73rpmulcld 10597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR+ )
7543, 74ltaddrp2d 10611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
7668, 43, 69, 70, 75lttrd 9164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
7768, 76gtned 9141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =/=  0 )
7838, 67, 77divcld 9723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  e.  CC )
7966, 78mulcld 9042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  CC )
8035, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  CC )
8127, 34, 35, 80fvmptd 5750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  ( F `  j )  =  ( ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) ) ) )
8271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  2  e.  RR+ )
8335nnrpd 10580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  RR+ )
8482, 83rpmulcld 10597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  j )  e.  RR+ )
8550, 43resubcld 9398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR )
86 1m1e0 10001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  -  1 )  =  0
8743, 50, 43, 63ltsub1dd 9571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  -  1 )  <  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )
8886, 87syl5eqbrr 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )
8985, 88elrpd 10579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR+ )
9035, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR+ )
9184, 90rpdivcld 10598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  e.  RR+ )
9246a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  2  e.  RR )
9335nnred 9948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  RR )
9492, 93remulcld 9050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  j )  e.  RR )
9582rpge0d 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  2 )
9683rpge0d 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  j )
9792, 93, 95, 96mulge0d 9536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  ( 2  x.  j
) )
9894, 97ge0p1rpd 10607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR+ )
9984, 98rpdivcld 10598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  e.  RR+ )
10091, 99rpmulcld 10597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
10181, 100eqeltrd 2462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  ( F `  j )  e.  RR+ )
102101adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( F `  j )  e.  RR+ )
103 rpmulcl 10566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
j  x.  w )  e.  RR+ )
104103adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( j  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )
)  ->  ( j  x.  w )  e.  RR+ )
10526, 102, 104seqcl 11271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
)  e.  RR+ )
106105rpcnd 10583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
)  e.  CC )
107105rpne0d 10586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
)  =/=  0 )
108106, 107reccld 9716 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  e.  CC )
10924, 108mulcld 9042 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )  e.  CC )
1107, 109fmpti 5832 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) ) : NN --> CC
111110a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) : NN --> CC )
112111ffvelrnda 5810 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) `
 j )  e.  CC )
113 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )
114113eleq1d 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n )  e.  RR+ 
<->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 j )  e.  RR+ ) )
115114, 105vtoclga 2961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
)  e.  RR+ )
116115rpcnd 10583 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
)  e.  CC )
117115rpne0d 10586 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
)  =/=  0 )
11840, 116, 117divrecd 9726 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =  ( 1  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) )
11914a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
12072rpne0d 10586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
12117a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  pi  =/=  0 )
12236, 119, 120, 121divcan6d 9742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  /  pi )  x.  ( pi  /  2 ) )  =  1 )
123122eqcomd 2393 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  1  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( pi  /  2
) ) )
124123oveq1d 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  ( ( ( 2  /  pi )  x.  (
pi  /  2 ) )  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) )
12536, 119, 121divcld 9723 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  /  pi )  e.  CC )
126119halfcld 10145 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
127116, 117reccld 9716 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  e.  CC )
128125, 126, 127mulassd 9045 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( 2  /  pi )  x.  (
pi  /  2 ) )  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 j ) ) ) ) )
129118, 124, 1283eqtrd 2424 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 j ) ) ) ) )
130 eqidd 2389 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )
131113oveq2d 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  =  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
132131adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  =  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
133 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN )
134115rpreccld 10591 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  e.  RR+ )
135130, 132, 133, 134fvmptd 5750 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
136 eqidd 2389 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
137132oveq2d 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
138126, 127mulcld 9042 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  e.  CC )
139136, 137, 133, 138fvmptd 5750 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) `
 j )  =  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
140139oveq2d 6037 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) ) )
141129, 135, 1403eqtr4d 2430 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) ) )
142141adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) ) )
1431, 3, 10, 19, 22, 112, 142climmulc2 12358 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  ~~>  ( ( 2  /  pi )  x.  1 ) )
14411, 14, 17divcli 9689 . . . . . 6  |-  ( 2  /  pi )  e.  CC
145144mulid1i 9026 . . . . 5  |-  ( ( 2  /  pi )  x.  1 )  =  ( 2  /  pi )
146143, 145syl6breq 4193 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  ~~>  ( 2  /  pi ) )
147 2ne0 10016 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
14811, 14, 147, 17divne0i 9695 . . . . 5  |-  ( 2  /  pi )  =/=  0
149148a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 2  /  pi )  =/=  0 )
150135, 127eqeltrd 2462 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  CC )
151116, 117recne0d 9717 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =/=  0
)
152135, 151eqnetrd 2569 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =/=  0
)
153 elsni 3782 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  {
0 }  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  0 )
154153necon3ai 2591 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =/=  0  ->  -.  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) `  j
)  e.  { 0 } )
155152, 154syl 16 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  -.  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) `  j )  e.  { 0 } )
156150, 155eldifd 3275 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
157156adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
158116, 117recrecd 9720 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j ) )
159130, 132, 133, 127fvmptd 5750 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
160159oveq2d 6037 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j ) )  =  ( 1  /  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
161 wallispi.2 . . . . . . 7  |-  W  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n ) )
162113, 161, 105fvmpt3 5748 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( W `  j )  =  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
)
163158, 160, 1623eqtr4rd 2431 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  ( W `  j )  =  ( 1  / 
( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) `  j ) ) )
164163adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( W `  j )  =  ( 1  / 
( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) `  j ) ) )
16520mptex 5906 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  e.  _V
166161, 165eqeltri 2458 . . . . 5  |-  W  e. 
_V
167166a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  W  e.  _V )
1681, 3, 146, 149, 157, 164, 167climrec 27398 . . 3  |-  (  T. 
->  W  ~~>  ( 1  /  ( 2  /  pi ) ) )
169168trud 1329 . 2  |-  W  ~~>  ( 1  /  ( 2  /  pi ) )
170 recdiv 9653 . . 3  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0
) )  ->  (
1  /  ( 2  /  pi ) )  =  ( pi  / 
2 ) )
17111, 147, 14, 17, 170mp4an 655 . 2  |-  ( 1  /  ( 2  /  pi ) )  =  ( pi  /  2 )
172169, 171breqtri 4177 1  |-  W  ~~>  ( pi 
/  2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   _Vcvv 2900    \ cdif 3261   {csn 3758   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929    < clt 9054    <_ cle 9055    - cmin 9224    / cdiv 9610   NNcn 9933   2c2 9982   NN0cn0 10154   ZZcz 10215   ZZ>=cuz 10421   RR+crp 10545   (,)cioo 10849   ...cfz 10976    seq cseq 11251   ^cexp 11310    ~~> cli 12206   sincsin 12594   picpi 12597   S.citg 19378
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cc 8249  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-disj 4125  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-ofr 6246  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-acn 7763  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ioc 10854  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-mod 11179  df-seq 11252  df-exp 11311  df-fac 11495  df-bc 11522  df-hash 11547  df-shft 11810  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-limsup 12193  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-ef 12598  df-sin 12600  df-cos 12601  df-pi 12603  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-lp 17124  df-perf 17125  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-haus 17302  df-cmp 17373  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cncf 18780  df-ovol 19229  df-vol 19230  df-mbf 19380  df-itg1 19381  df-itg2 19382  df-ibl 19383  df-itg 19384  df-0p 19430  df-limc 19621  df-dv 19622
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