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Theorem wallispi 27786
Description: Wallis' formula for π : Wallis' product converges to π / 2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispi.1  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
wallispi.2  |-  W  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n ) )
Assertion
Ref Expression
wallispi  |-  W  ~~>  ( pi 
/  2 )
Distinct variable groups:    k, n    n, F
Allowed substitution hints:    F( k)    W( k, n)

Proof of Theorem wallispi
Dummy variables  j  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10513 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10303 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 wallispi.1 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
5 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x )  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
6 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x ) `
 ( 2  x.  n ) )  / 
( ( n  e. 
NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x ) `  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x ) `  ( 2  x.  n
) )  /  (
( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x ) `
 ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
7 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) )
8 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( 2  x.  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  n
) ) )
94, 5, 6, 7, 8wallispilem5 27785 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) )  ~~>  1
109a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )  ~~>  1 )
11 2cn 10062 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
1211a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  2  e.  CC )
13 pire 20364 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
1413recni 9094 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  CC
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  pi  e.  CC )
16 pipos 20365 . . . . . . . . 9  |-  0  <  pi
1713, 16gt0ne0ii 9555 . . . . . . . 8  |-  pi  =/=  0
1817a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  pi  =/=  0 )
1912, 15, 18divcld 9782 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( 2  /  pi )  e.  CC )
20 nnex 9998 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
2120mptex 5958 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )  e.  _V
2221a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  e. 
_V )
2314a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
2423halfcld 10204 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
25 elnnuz 10514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2625biimpi 187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
274a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
28 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  j  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  j ) )
2928oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )
3028, 29oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  -  1 ) ) )
3128oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
3228, 31oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
3330, 32oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) ) ) )
3433adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  ( 1 ... n )  /\  k  =  j )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) )
35 elfznn 11072 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  NN )
3611a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  CC )
37 nncn 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
3836, 37mulcld 9100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  CC )
39 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  CC )
4138, 40subcld 9403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  CC )
42 1re 9082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  RR
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
44 1t1e1 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
4543, 43remulcld 9108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  e.  RR )
46 2re 10061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  e.  RR
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR )
4847, 43remulcld 9108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  RR )
49 nnre 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
5047, 49remulcld 9108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR )
51 1rp 10608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  RR+
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR+ )
53 1lt2 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  <  2
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  2 )
5543, 47, 52, 54ltmul1dd 10691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  <  ( 2  x.  1 ) )
56 0re 9083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  e.  RR
57 2pos 10074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  <  2
5856, 46, 57ltleii 9188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  <_  2
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <_  2 )
60 nnge1 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <_  j )
6143, 49, 47, 59, 60lemul2ad 9943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  j ) )
6245, 48, 50, 55, 61ltletrd 9222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  <  ( 2  x.  j ) )
6344, 62syl5eqbrr 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  ( 2  x.  j
) )
6443, 63gtned 9200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  =/=  1 )
6538, 40, 64subne0d 9412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  =/=  0 )
6638, 41, 65divcld 9782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  e.  CC )
6738, 40addcld 9099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  CC )
6856a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  0  e.  RR )
6950, 43readdcld 9107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR )
7052rpgt0d 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  1 )
71 2rp 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  2  e.  RR+
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
73 nnrp 10613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR+ )
7472, 73rpmulcld 10656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR+ )
7543, 74ltaddrp2d 10670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
7668, 43, 69, 70, 75lttrd 9223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
7768, 76gtned 9200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =/=  0 )
7838, 67, 77divcld 9782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  e.  CC )
7966, 78mulcld 9100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  CC )
8035, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  CC )
8127, 34, 35, 80fvmptd 5802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  ( F `  j )  =  ( ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) ) ) )
8271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  2  e.  RR+ )
8335nnrpd 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  RR+ )
8482, 83rpmulcld 10656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  j )  e.  RR+ )
8550, 43resubcld 9457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR )
86 1m1e0 10060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  -  1 )  =  0
8743, 50, 43, 63ltsub1dd 9630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  -  1 )  <  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )
8886, 87syl5eqbrr 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )
8985, 88elrpd 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR+ )
9035, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR+ )
9184, 90rpdivcld 10657 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  e.  RR+ )
9246a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  2  e.  RR )
9335nnred 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  RR )
9492, 93remulcld 9108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  j )  e.  RR )
9582rpge0d 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  2 )
9683rpge0d 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  j )
9792, 93, 95, 96mulge0d 9595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  ( 2  x.  j
) )
9894, 97ge0p1rpd 10666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR+ )
9984, 98rpdivcld 10657 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  e.  RR+ )
10091, 99rpmulcld 10656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
10181, 100eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  ( F `  j )  e.  RR+ )
102101adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( F `  j )  e.  RR+ )
103 rpmulcl 10625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
j  x.  w )  e.  RR+ )
104103adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( j  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )
)  ->  ( j  x.  w )  e.  RR+ )
10526, 102, 104seqcl 11335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
)  e.  RR+ )
106105rpcnd 10642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
)  e.  CC )
107105rpne0d 10645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
)  =/=  0 )
108106, 107reccld 9775 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  e.  CC )
10924, 108mulcld 9100 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )  e.  CC )
1107, 109fmpti 5884 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) ) : NN --> CC
111110a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) : NN --> CC )
112111ffvelrnda 5862 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) `
 j )  e.  CC )
113 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )
114113eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n )  e.  RR+ 
<->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 j )  e.  RR+ ) )
115114, 105vtoclga 3009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
)  e.  RR+ )
116115rpcnd 10642 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
)  e.  CC )
117115rpne0d 10645 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
)  =/=  0 )
11840, 116, 117divrecd 9785 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =  ( 1  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) )
11914a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
12072rpne0d 10645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
12117a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  pi  =/=  0 )
12236, 119, 120, 121divcan6d 9801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  /  pi )  x.  ( pi  /  2 ) )  =  1 )
123122eqcomd 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  1  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( pi  /  2
) ) )
124123oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  ( ( ( 2  /  pi )  x.  (
pi  /  2 ) )  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) )
12536, 119, 121divcld 9782 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  /  pi )  e.  CC )
126119halfcld 10204 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
127116, 117reccld 9775 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  e.  CC )
128125, 126, 127mulassd 9103 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( 2  /  pi )  x.  (
pi  /  2 ) )  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 j ) ) ) ) )
129118, 124, 1283eqtrd 2471 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 j ) ) ) ) )
130 eqidd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )
131113oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  =  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
132131adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  =  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
133 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN )
134115rpreccld 10650 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  e.  RR+ )
135130, 132, 133, 134fvmptd 5802 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
136 eqidd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
137132oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
138126, 127mulcld 9100 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  e.  CC )
139136, 137, 133, 138fvmptd 5802 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) `
 j )  =  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
140139oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) ) )
141129, 135, 1403eqtr4d 2477 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) ) )
142141adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) ) )
1431, 3, 10, 19, 22, 112, 142climmulc2 12422 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  ~~>  ( ( 2  /  pi )  x.  1 ) )
14411, 14, 17divcli 9748 . . . . . 6  |-  ( 2  /  pi )  e.  CC
145144mulid1i 9084 . . . . 5  |-  ( ( 2  /  pi )  x.  1 )  =  ( 2  /  pi )
146143, 145syl6breq 4243 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  ~~>  ( 2  /  pi ) )
147 2ne0 10075 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
14811, 14, 147, 17divne0i 9754 . . . . 5  |-  ( 2  /  pi )  =/=  0
149148a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 2  /  pi )  =/=  0 )
150135, 127eqeltrd 2509 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  CC )
151116, 117recne0d 9776 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =/=  0
)
152135, 151eqnetrd 2616 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =/=  0
)
153 elsni 3830 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  {
0 }  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  0 )
154153necon3ai 2638 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =/=  0  ->  -.  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) `  j
)  e.  { 0 } )
155152, 154syl 16 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  -.  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) `  j )  e.  { 0 } )
156150, 155eldifd 3323 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
157156adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
158116, 117recrecd 9779 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j ) )
159130, 132, 133, 127fvmptd 5802 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
160159oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j ) )  =  ( 1  /  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
161 wallispi.2 . . . . . . 7  |-  W  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n ) )
162113, 161, 105fvmpt3 5800 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( W `  j )  =  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
)
163158, 160, 1623eqtr4rd 2478 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  ( W `  j )  =  ( 1  / 
( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) `  j ) ) )
164163adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( W `  j )  =  ( 1  / 
( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) `  j ) ) )
16520mptex 5958 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  e.  _V
166161, 165eqeltri 2505 . . . . 5  |-  W  e. 
_V
167166a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  W  e.  _V )
1681, 3, 146, 149, 157, 164, 167climrec 27696 . . 3  |-  (  T. 
->  W  ~~>  ( 1  /  ( 2  /  pi ) ) )
169168trud 1332 . 2  |-  W  ~~>  ( 1  /  ( 2  /  pi ) )
170 recdiv 9712 . . 3  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0
) )  ->  (
1  /  ( 2  /  pi ) )  =  ( pi  / 
2 ) )
17111, 147, 14, 17, 170mp4an 655 . 2  |-  ( 1  /  ( 2  /  pi ) )  =  ( pi  /  2 )
172169, 171breqtri 4227 1  |-  W  ~~>  ( pi 
/  2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 359    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   _Vcvv 2948    \ cdif 3309   {csn 3806   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   RR+crp 10604   (,)cioo 10908   ...cfz 11035    seq cseq 11315   ^cexp 11374    ~~> cli 12270   sincsin 12658   picpi 12661   S.citg 19502
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cc 8307  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-cmp 17442  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504  df-itg1 19505  df-itg2 19506  df-ibl 19507  df-itg 19508  df-0p 19554  df-limc 19745  df-dv 19746
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