Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispi Unicode version

Theorem wallispi 27830
Description: Wallis' formula for π : Wallis' product converges to π / 2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispi.1  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
wallispi.2  |-  W  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n ) )
Assertion
Ref Expression
wallispi  |-  W  ~~>  ( pi 
/  2 )
Distinct variable groups:    k, n    n, F
Allowed substitution hints:    F( k)    W( k, n)

Proof of Theorem wallispi
Dummy variables  j  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10265 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10055 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 wallispi.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
5 eqid 2285 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x )  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
6 eqid 2285 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x ) `
 ( 2  x.  n ) )  / 
( ( n  e. 
NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x ) `  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x ) `  ( 2  x.  n
) )  /  (
( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x ) `
 ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
7 eqid 2285 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) )
8 eqid 2285 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( 2  x.  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  n
) ) )
94, 5, 6, 7, 8wallispilem5 27829 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) )  ~~>  1
109a1i 10 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )  ~~>  1 )
11 2cn 9818 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
1211a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  2  e.  CC )
13 pire 19834 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  RR
14 ax-resscn 8796 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
1514sseli 3178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  e.  RR  ->  pi  e.  CC )
1613, 15ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  CC
1716a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  pi  e.  CC )
18 pipos 19835 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
1913, 18gt0ne0ii 9311 . . . . . . . . . 10  |-  pi  =/=  0
2019a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  pi  =/=  0 )
2112, 17, 20divcld 9538 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( 2  /  pi )  e.  CC )
22 nnex 9754 . . . . . . . . . 10  |-  NN  e.  _V
2322mptex 5748 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )  e.  _V
2423a1i 10 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  e. 
_V )
2516a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
2625halfcld 9958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
271eleq2i 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2827biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
294a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
30 oveq2 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  j  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  j ) )
3130oveq1d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )
3230, 31oveq12d 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  -  1 ) ) )
3330oveq1d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
3430, 33oveq12d 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
3532, 34oveq12d 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) ) ) )
3635adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  e.  ( 1 ... n )  /\  k  =  j )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) )
37 elfznn 10821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  NN )
3811a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  CC )
39 nncn 9756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
4038, 39mulcld 8857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  CC )
41 ax-1cn 8797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  CC
4241a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  CC )
4340, 42subcld 9159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  CC )
44 1re 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  1  e.  RR
4544a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
46 1t1e1 9872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
4745, 45remulcld 8865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  e.  RR )
48 2re 9817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  2  e.  RR
4948a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR )
5049, 45remulcld 8865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  RR )
51 nnre 9755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
5249, 51remulcld 8865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR )
5347, 50, 523jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 1  x.  1 )  e.  RR  /\  ( 2  x.  1 )  e.  RR  /\  ( 2  x.  j
)  e.  RR ) )
54 1rp 10360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  1  e.  RR+
5554a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR+ )
56 1lt2 9888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  1  <  2
5756a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  2 )
5845, 49, 55, 57ltmul1dd 10443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  <  ( 2  x.  1 ) )
59 0re 8840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  0  e.  RR
6059, 48pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( 0  e.  RR  /\  2  e.  RR )
61 2pos 9830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  0  <  2
62 ltle 8912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( 0  <  2  ->  0  <_  2 ) )
6360, 61, 62mp2 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  0  <_  2
6463a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <_  2 )
65 nnge1 9774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <_  j )
6645, 51, 49, 64, 65lemul2ad 9699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  j ) )
6758, 66jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 1  x.  1 )  <  ( 2  x.  1 )  /\  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  j ) ) )
68 ltletr 8915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( 1  x.  1 )  e.  RR  /\  ( 2  x.  1 )  e.  RR  /\  ( 2  x.  j
)  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  x.  1 )  <  ( 2  x.  1 )  /\  (
2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  j ) )  -> 
( 1  x.  1 )  <  ( 2  x.  j ) ) )
6953, 67, 68sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  <  ( 2  x.  j ) )
7046, 69syl5eqbrr 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  ( 2  x.  j
) )
7145, 70ltned 8957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  1  =/=  ( 2  x.  j
) )
7271necomd 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  =/=  1 )
7340, 42, 72subne0d 9168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  =/=  0 )
7440, 43, 73divcld 9538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  e.  CC )
7540, 42addcld 8856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  CC )
7659a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  0  e.  RR )
7752, 45readdcld 8864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR )
7876, 45, 773jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( j  e.  NN  ->  (
0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR ) )
7955rpgt0d 10395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  1 )
80 2rp 10361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  2  e.  RR+
8180a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
82 nnrp 10365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR+ )
8381, 82rpmulcld 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR+ )
8445, 83ltaddrp2d 10422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
8579, 84jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( j  e.  NN  ->  (
0  <  1  /\  1  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
86 lttr 8901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( 0  <  1  /\  1  < 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
8778, 85, 86sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
8876, 87ltned 8957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  0  =/=  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
8988necomd 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =/=  0 )
9040, 75, 89divcld 9538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  e.  CC )
9174, 90mulcld 8857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  CC )
9237, 91syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  CC )
9329, 36, 37, 92fvmptd 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  ( F `  j )  =  ( ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) ) ) )
9480a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  2  e.  RR+ )
9537nnrpd 10391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  RR+ )
9694, 95rpmulcld 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  j )  e.  RR+ )
9752, 45resubcld 9213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR )
9841subidi 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 1  -  1 )  =  0
9998eqcomi 2289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  =  ( 1  -  1 )
10045, 52, 45ltsub1d 9383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  <  ( 2  x.  j )  <->  ( 1  -  1 )  < 
( ( 2  x.  j )  -  1 ) ) )
10170, 100mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  -  1 )  <  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )
10299, 101syl5eqbr 4058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )
10397, 102jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  j )  -  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) ) )
104 elrp 10358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR+  <->  ( ( ( 2  x.  j )  -  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( 2  x.  j )  -  1 ) ) )
105103, 104sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR+ )
10637, 105syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR+ )
10796, 106rpdivcld 10409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  e.  RR+ )
10848a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  2  e.  RR )
10937nnred 9763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  RR )
110108, 109remulcld 8865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  j )  e.  RR )
11194rpge0d 10396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  2 )
11295rpge0d 10396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  j )
113108, 109, 111, 112mulge0d 9351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  ( 2  x.  j
) )
114110, 113ge0p1rpd 10418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR+ )
11596, 114rpdivcld 10409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  e.  RR+ )
116107, 115rpmulcld 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
11793, 116eqeltrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  ( F `  j )  e.  RR+ )
118117adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( F `  j )  e.  RR+ )
119 rpmulcl 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
j  x.  w )  e.  RR+ )
120119adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( j  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )
)  ->  ( j  x.  w )  e.  RR+ )
12128, 118, 120seqcl 11068 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
)  e.  RR+ )
122121rpcnd 10394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
)  e.  CC )
123121rpne0d 10397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
)  =/=  0 )
124122, 123reccld 9531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  e.  CC )
12526, 124mulcld 8857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )  e.  CC )
126125rgen 2610 . . . . . . . . . . 11  |-  A. n  e.  NN  ( ( pi 
/  2 )  x.  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  e.  CC
1277fmpt 5683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  NN  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )  e.  CC  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) : NN --> CC )
128126, 127mpbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) ) : NN --> CC
129128a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) : NN --> CC )
130129ffvelrnda 5667 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) `
 j )  e.  CC )
131 eqidd 2286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )
132 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )
133132oveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  =  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
134133adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  =  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
135 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN )
136 nfcv 2421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
j
137 nfv 1607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 j )  e.  RR+
138132eleq1d 2351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n )  e.  RR+ 
<->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 j )  e.  RR+ ) )
139136, 137, 138, 121vtoclgaf 2850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
)  e.  RR+ )
140139rpreccld 10402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  e.  RR+ )
141131, 134, 135, 140fvmptd 5608 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
142139rpcnd 10394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
)  e.  CC )
143139rpne0d 10397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
)  =/=  0 )
14442, 142, 143divrecd 9541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =  ( 1  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) )
14516a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
14681rpne0d 10397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
14719a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  pi  =/=  0 )
14838, 145, 146, 147divcan6d 9557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  /  pi )  x.  ( pi  /  2 ) )  =  1 )
149148eqcomd 2290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  1  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( pi  /  2
) ) )
150149oveq1d 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  ( ( ( 2  /  pi )  x.  (
pi  /  2 ) )  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) )
15138, 145, 147divcld 9538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  /  pi )  e.  CC )
152145halfcld 9958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
153142, 143reccld 9531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  e.  CC )
154151, 152, 153mulassd 8860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( 2  /  pi )  x.  (
pi  /  2 ) )  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 j ) ) ) ) )
155144, 150, 1543eqtrd 2321 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 j ) ) ) ) )
156 eqidd 2286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
157134oveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
158152, 153mulcld 8857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  e.  CC )
159156, 157, 135, 158fvmptd 5608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) `
 j )  =  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
160159oveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) ) )
161160eqcomd 2290 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  /  pi )  x.  ( (
pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 j ) ) ) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) ) )
162141, 155, 1613eqtrd 2321 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) ) )
163162adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) ) )
1641, 3, 10, 21, 24, 130, 163climmulc2 12112 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  ~~>  ( ( 2  /  pi )  x.  1 ) )
165164trud 1314 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )  ~~>  ( ( 2  /  pi )  x.  1 )
16611, 16, 193pm3.2i 1130 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )
167 divcl 9432 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
2  /  pi )  e.  CC )
168166, 167ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( 2  /  pi )  e.  CC
169168mulid1i 8841 . . . . . 6  |-  ( ( 2  /  pi )  x.  1 )  =  ( 2  /  pi )
170165, 169breqtri 4048 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )  ~~>  ( 2  /  pi )
171170a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  ~~>  ( 2  /  pi ) )
172 2ne0 9831 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
17311, 16, 172, 19divne0i 9510 . . . . 5  |-  ( 2  /  pi )  =/=  0
174173a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 2  /  pi )  =/=  0 )
175141, 153eqeltrd 2359 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  CC )
176142, 143recne0d 9532 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =/=  0
)
177141, 176eqnetrd 2466 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =/=  0
)
178 elsni 3666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  {
0 }  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  0 )
179178necon3ai 2488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =/=  0  ->  -.  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) `  j
)  e.  { 0 } )
180177, 179syl 15 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  -.  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) `  j )  e.  { 0 } )
181175, 180eldifd 3165 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
182181adantl 452 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
183 wallispi.2 . . . . . . . 8  |-  W  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n ) )
184183a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  W  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )
185132adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 j ) )
186184, 185, 135, 139fvmptd 5608 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( W `  j )  =  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
)
187142, 143recrecd 9535 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j ) )
188187eqcomd 2290 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
)  =  ( 1  /  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 j ) ) ) )
189131, 134, 135, 153fvmptd 5608 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
190189oveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j ) )  =  ( 1  /  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
191190eqcomd 2290 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  ( 1  /  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j ) ) )
192186, 188, 1913eqtrd 2321 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  ( W `  j )  =  ( 1  / 
( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) `  j ) ) )
193192adantl 452 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( W `  j )  =  ( 1  / 
( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) `  j ) ) )
19422mptex 5748 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  e.  _V
195183, 194eqeltri 2355 . . . . 5  |-  W  e. 
_V
196195a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  W  e.  _V )
1971, 3, 171, 174, 182, 193, 196climrec 27740 . . 3  |-  (  T. 
->  W  ~~>  ( 1  /  ( 2  /  pi ) ) )
198197trud 1314 . 2  |-  W  ~~>  ( 1  /  ( 2  /  pi ) )
19911, 172pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
20016, 19pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )
201199, 200pm3.2i 441 . . 3  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 ) )
202 recdiv 9468 . . 3  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0
) )  ->  (
1  /  ( 2  /  pi ) )  =  ( pi  / 
2 ) )
203201, 202ax-mp 8 . 2  |-  ( 1  /  ( 2  /  pi ) )  =  ( pi  /  2 )
204198, 203breqtri 4048 1  |-  W  ~~>  ( pi 
/  2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   A.wral 2545   _Vcvv 2790    \ cdif 3151   {csn 3642   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   -->wf 5253   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CCcc 8737   RRcr 8738   0cc0 8739   1c1 8740    + caddc 8742    x. cmul 8744    < clt 8869    <_ cle 8870    - cmin 9039    / cdiv 9425   NNcn 9748   2c2 9797   NN0cn0 9967   ZZcz 10026   ZZ>=cuz 10232   RR+crp 10356   (,)cioo 10658   ...cfz 10784    seq cseq 11048   ^cexp 11106    ~~> cli 11960   sincsin 12347   picpi 12350   S.citg 18975
This theorem is referenced by:  wallispi2  27833
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cc 8063  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-disj 3996  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-ofr 6081  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-omul 6486  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-acn 7577  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-mod 10976  df-seq 11049  df-exp 11107  df-fac 11291  df-bc 11318  df-hash 11340  df-shft 11564  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-limsup 11947  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-ef 12351  df-sin 12353  df-cos 12354  df-pi 12356  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-mulg 14494  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-lp 16870  df-perf 16871  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-haus 17045  df-cmp 17116  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-cncf 18384  df-ovol 18826  df-vol 18827  df-mbf 18977  df-itg1 18978  df-itg2 18979  df-ibl 18980  df-itg 18981  df-0p 19027  df-limc 19218  df-dv 19219
  Copyright terms: Public domain W3C validator