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Theorem wallispi2 27833
Description: An alternative version of Wallis' formula for π ; this second formula uses factorials and it is later used to proof Stirling's approximation formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wallispi2.1  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
wallispi2  |-  V  ~~>  ( pi 
/  2 )

Proof of Theorem wallispi2
Dummy variables  k  m  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wallispi2.1 . . 3  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
2 wallispi2lem1 27831 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  n )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  n ) ) )
32mpteq2ia 4104 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  n ) ) )
4 ax-1cn 8797 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
54a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
6 2cn 9818 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
76a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
8 nncn 9756 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
97, 8mulcld 8857 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
109, 5addcld 8856 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  CC )
11 nnuz 10265 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1211eleq2i 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
1312biimpi 186 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
14 eqidd 2286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) )
15 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  ( 1 ... n )  /\  k  =  m )  ->  k  =  m )
1615oveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  ( 1 ... n )  /\  k  =  m )  ->  ( 2  x.  k
)  =  ( 2  x.  m ) )
1716oveq1d 5875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  ( 1 ... n )  /\  k  =  m )  ->  ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  =  ( ( 2  x.  m ) ^ 4 ) )
1816oveq1d 5875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  ( 1 ... n )  /\  k  =  m )  ->  ( ( 2  x.  k )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  m )  -  1 ) )
1916, 18oveq12d 5878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  ( 1 ... n )  /\  k  =  m )  ->  ( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  m )  x.  ( ( 2  x.  m )  - 
1 ) ) )
2019oveq1d 5875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  ( 1 ... n )  /\  k  =  m )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  m
)  x.  ( ( 2  x.  m )  -  1 ) ) ^ 2 ) )
2117, 20oveq12d 5878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ( 1 ... n )  /\  k  =  m )  ->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  m
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  m )  x.  ( ( 2  x.  m )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )
22 elfznn 10821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  m  e.  NN )
236a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  2  e.  CC )
2422nncnd 9764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  m  e.  CC )
2523, 24mulcld 8857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  m )  e.  CC )
26 4nn0 9986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  NN0
2726a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  4  e.  NN0 )
2825, 27expcld 11247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  m
) ^ 4 )  e.  CC )
294a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  1  e.  CC )
3025, 29subcld 9159 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  m
)  -  1 )  e.  CC )
3125, 30mulcld 8857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  m
)  x.  ( ( 2  x.  m )  -  1 ) )  e.  CC )
3231sqcld 11245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( 2  x.  m )  x.  (
( 2  x.  m
)  -  1 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
33 2ne0 9831 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  =/=  0
3433a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  2  =/=  0 )
3522nnne0d 9792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  m  =/=  0 )
3623, 24, 34, 35mulne0d 9422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  m )  =/=  0 )
37 1re 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
3837a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  1  e.  RR )
39 2re 9817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  RR
4039a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  2  e.  RR )
4140, 38remulcld 8865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  1 )  e.  RR )
4222nnred 9763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  m  e.  RR )
4340, 42remulcld 8865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  m )  e.  RR )
4438, 41, 433jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
1  e.  RR  /\  ( 2  x.  1 )  e.  RR  /\  ( 2  x.  m
)  e.  RR ) )
45 1lt2 9888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  <  2
4645a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  1  <  2 )
47 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  =  2
486mulid1i 8841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
4947, 48eqtr4i 2308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  =  ( 2  x.  1 )
5049a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  2  =  ( 2  x.  1 ) )
5146, 50breqtrd 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  1  <  ( 2  x.  1 ) )
52 2pos 9830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  <  2
53 0re 8840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  e.  RR
5453, 39pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0  e.  RR  /\  2  e.  RR )
55 ltle 8912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( 0  <  2  ->  0  <_  2 ) )
5654, 55ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 0  <  2  ->  0  <_  2 )
5752, 56ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <_  2
5857a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  2 )
59 elfzle1 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  1  <_  m )
6038, 42, 40, 58, 59lemul2ad 9699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  m ) )
6151, 60jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
1  <  ( 2  x.  1 )  /\  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  m ) ) )
62 ltletr 8915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 2  x.  1 )  e.  RR  /\  ( 2  x.  m
)  e.  RR )  ->  ( ( 1  <  ( 2  x.  1 )  /\  (
2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  m ) )  -> 
1  <  ( 2  x.  m ) ) )
6344, 61, 62sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  1  <  ( 2  x.  m
) )
6438, 63jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
1  e.  RR  /\  1  <  ( 2  x.  m ) ) )
65 ltne 8919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  1  <  ( 2  x.  m ) )  -> 
( 2  x.  m
)  =/=  1 )
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  m )  =/=  1 )
6725, 29, 66subne0d 9168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  m
)  -  1 )  =/=  0 )
6825, 30, 36, 67mulne0d 9422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  m
)  x.  ( ( 2  x.  m )  -  1 ) )  =/=  0 )
69 2z 10056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ZZ
7069a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  2  e.  ZZ )
7131, 68, 70expne0d 11253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( 2  x.  m )  x.  (
( 2  x.  m
)  -  1 ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
7228, 32, 71divcld 9538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( 2  x.  m ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  m
)  x.  ( ( 2  x.  m )  -  1 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
7314, 21, 22, 72fvmptd 5608 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  m
)  =  ( ( ( 2  x.  m
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  m )  x.  ( ( 2  x.  m )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )
7473, 72eqeltrd 2359 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  m
)  e.  CC )
7574adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) `
 m )  e.  CC )
76 mulcl 8823 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( m  x.  w
)  e.  CC )
7776adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( m  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )  ->  ( m  x.  w )  e.  CC )
7813, 75, 77seqcl 11068 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  n )  e.  CC )
7953a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  0  e.  RR )
80 2nn 9879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
8180a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  NN )
82 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN )
8381, 82nnmulcld 9795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
8483peano2nnd 9765 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN )
85 nngt0 9777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
8684, 85syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
8779, 86jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
0  e.  RR  /\  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
88 ltne 8919 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  -> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =/=  0 )
8987, 88syl 15 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =/=  0 )
905, 10, 78, 89div32d 9561 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  n ) )  =  ( 1  x.  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  n )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
9178, 10, 89divcld 9538 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  n )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
9291mulid2d 8855 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  x.  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 n )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  1
(  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  n
)  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
93 wallispi2lem2 27832 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  n )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
( ! `  n
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )
9493oveq1d 5875 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  n )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
9590, 92, 943eqtrd 2321 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  n ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
9695mpteq2ia 4104 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (  seq  1
(  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
973, 96eqtri 2305 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
981, 97eqtr4i 2308 . 2  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 n ) )
99 eqid 2285 . . 3  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
100 eqid 2285 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 n ) )
10199, 100wallispi 27830 . 2  |-  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  n ) )  ~~>  ( pi 
/  2 )
10298, 101eqbrtri 4044 1  |-  V  ~~>  ( pi 
/  2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CCcc 8737   RRcr 8738   0cc0 8739   1c1 8740    + caddc 8742    x. cmul 8744    < clt 8869    <_ cle 8870    - cmin 9039    / cdiv 9425   NNcn 9748   2c2 9797   4c4 9799   NN0cn0 9967   ZZcz 10026   ZZ>=cuz 10232   ...cfz 10784    seq cseq 11048   ^cexp 11106   !cfa 11290    ~~> cli 11960   picpi 12350
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  27848
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cc 8063  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-disj 3996  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-ofr 6081  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-omul 6486  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-acn 7577  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-mod 10976  df-seq 11049  df-exp 11107  df-fac 11291  df-bc 11318  df-hash 11340  df-shft 11564  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-limsup 11947  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-ef 12351  df-sin 12353  df-cos 12354  df-pi 12356  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-mulg 14494  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-lp 16870  df-perf 16871  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-haus 17045  df-cmp 17116  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-cncf 18384  df-ovol 18826  df-vol 18827  df-mbf 18977  df-itg1 18978  df-itg2 18979  df-ibl 18980  df-itg 18981  df-0p 19027  df-limc 19218  df-dv 19219
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