MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wemapso2lem Unicode version

Theorem wemapso2lem 7267
Description: Lemma for wemapso 7268. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
wemapso2lem.1  |-  U  C_  ( B  ^m  A )
wemapso2lem.2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
wemapso2lem.3  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
wemapso2lem.4  |-  ( ph  ->  S  Or  B )
wemapso2lem.5  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  E. c  e.  dom  ( a  \ 
b ) A. d  e.  dom  ( a  \ 
b )  -.  d R c )
Assertion
Ref Expression
wemapso2lem  |-  ( ph  ->  T  Or  U )
Distinct variable groups:    a, b,
c, d, x, B    T, a, b, c, d    U, a, b, c, d   
w, a, y, z, b, c, x, A, d    R, a, b, c, d, w, x, y, z    S, a, b, c, d, w, x, y, z    ph, a, b, c, d
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)    B( y,
z, w)    T( x, y, z, w)    U( x, y, z, w)

Proof of Theorem wemapso2lem
StepHypRef Expression
1 wemapso2lem.1 . . 3  |-  U  C_  ( B  ^m  A )
2 wemapso2lem.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
3 wemapso2lem.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
4 wemapso2lem.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  Or  B )
5 sopo 4333 . . . . 5  |-  ( S  Or  B  ->  S  Po  B )
64, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  Po  B )
7 wemapso.t . . . . 5  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
87wemappo 7266 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  R  Or  A  /\  S  Po  B )  ->  T  Po  ( B  ^m  A ) )
92, 3, 6, 8syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  T  Po  ( B  ^m  A ) )
10 poss 4318 . . 3  |-  ( U 
C_  ( B  ^m  A )  ->  ( T  Po  ( B  ^m  A )  ->  T  Po  U ) )
111, 9, 10mpsyl 59 . 2  |-  ( ph  ->  T  Po  U )
12 df-ne 2450 . . . . 5  |-  ( a  =/=  b  <->  -.  a  =  b )
13 wemapso2lem.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  E. c  e.  dom  ( a  \ 
b ) A. d  e.  dom  ( a  \ 
b )  -.  d R c )
14 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  a  e.  U )
151, 14sseldi 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  a  e.  ( B  ^m  A
) )
16 elmapi 6794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( B  ^m  A )  ->  a : A --> B )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  a : A --> B )
18 ffn 5391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a : A --> B  -> 
a  Fn  A )
1917, 18syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  a  Fn  A )
20 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  b  e.  U )
211, 20sseldi 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  b  e.  ( B  ^m  A
) )
22 elmapi 6794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ( B  ^m  A )  ->  b : A --> B )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  b : A --> B )
24 ffn 5391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b : A --> B  -> 
b  Fn  A )
2523, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  b  Fn  A )
26 fndmdif 5631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  ->  dom  ( a  \ 
b )  =  {
x  e.  A  | 
( a `  x
)  =/=  ( b `
 x ) } )
2719, 25, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  dom  ( a  \  b
)  =  { x  e.  A  |  (
a `  x )  =/=  ( b `  x
) } )
2827eleq2d 2352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
c  e.  dom  (
a  \  b )  <->  c  e.  { x  e.  A  |  ( a `
 x )  =/=  ( b `  x
) } ) )
29 necom 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a `  x )  =/=  ( b `  x )  <->  ( b `  x )  =/=  (
a `  x )
)
30 df-ne 2450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b `  x )  =/=  ( a `  x )  <->  -.  (
b `  x )  =  ( a `  x ) )
3129, 30bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a `  x )  =/=  ( b `  x )  <->  -.  (
b `  x )  =  ( a `  x ) )
32 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  c  ->  (
b `  x )  =  ( b `  c ) )
33 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  c  ->  (
a `  x )  =  ( a `  c ) )
3432, 33eqeq12d 2299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  c  ->  (
( b `  x
)  =  ( a `
 x )  <->  ( b `  c )  =  ( a `  c ) ) )
3534notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  c  ->  ( -.  ( b `  x
)  =  ( a `
 x )  <->  -.  (
b `  c )  =  ( a `  c ) ) )
3631, 35syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  c  ->  (
( a `  x
)  =/=  ( b `
 x )  <->  -.  (
b `  c )  =  ( a `  c ) ) )
3736elrab 2925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  { x  e.  A  |  ( a `
 x )  =/=  ( b `  x
) }  <->  ( c  e.  A  /\  -.  (
b `  c )  =  ( a `  c ) ) )
3828, 37syl6bb 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
c  e.  dom  (
a  \  b )  <->  ( c  e.  A  /\  -.  ( b `  c
)  =  ( a `
 c ) ) ) )
3927eleq2d 2352 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
d  e.  dom  (
a  \  b )  <->  d  e.  { x  e.  A  |  ( a `
 x )  =/=  ( b `  x
) } ) )
40 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  d  ->  (
b `  x )  =  ( b `  d ) )
41 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  d  ->  (
a `  x )  =  ( a `  d ) )
4240, 41eqeq12d 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  d  ->  (
( b `  x
)  =  ( a `
 x )  <->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) )
4342notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  d  ->  ( -.  ( b `  x
)  =  ( a `
 x )  <->  -.  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) )
4431, 43syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  d  ->  (
( a `  x
)  =/=  ( b `
 x )  <->  -.  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) )
4544elrab 2925 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  { x  e.  A  |  ( a `
 x )  =/=  ( b `  x
) }  <->  ( d  e.  A  /\  -.  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) )
4639, 45syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
d  e.  dom  (
a  \  b )  <->  ( d  e.  A  /\  -.  ( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) ) )
4746imbi1d 308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
( d  e.  dom  ( a  \  b
)  ->  -.  d R c )  <->  ( (
d  e.  A  /\  -.  ( b `  d
)  =  ( a `
 d ) )  ->  -.  d R
c ) ) )
48 impexp 433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( d  e.  A  /\  -.  ( b `  d )  =  ( a `  d ) )  ->  -.  d R c )  <->  ( d  e.  A  ->  ( -.  ( b `  d
)  =  ( a `
 d )  ->  -.  d R c ) ) )
49 con34b 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) )  <-> 
( -.  ( b `
 d )  =  ( a `  d
)  ->  -.  d R c ) )
5049imbi2i 303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( d  e.  A  -> 
( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  <->  ( d  e.  A  ->  ( -.  ( b `  d
)  =  ( a `
 d )  ->  -.  d R c ) ) )
5148, 50bitr4i 243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  e.  A  /\  -.  ( b `  d )  =  ( a `  d ) )  ->  -.  d R c )  <->  ( d  e.  A  ->  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) )
5247, 51syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
( d  e.  dom  ( a  \  b
)  ->  -.  d R c )  <->  ( d  e.  A  ->  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) ) )
5352ralbidv2 2567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  ( A. d  e.  dom  ( a  \  b
)  -.  d R c  <->  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) )
5438, 53anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
( c  e.  dom  ( a  \  b
)  /\  A. d  e.  dom  ( a  \ 
b )  -.  d R c )  <->  ( (
c  e.  A  /\  -.  ( b `  c
)  =  ( a `
 c ) )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) ) )
55 anass 630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( c  e.  A  /\  -.  ( b `  c )  =  ( a `  c ) )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  <-> 
( c  e.  A  /\  ( -.  ( b `
 c )  =  ( a `  c
)  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) ) )
5654, 55syl6bb 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
( c  e.  dom  ( a  \  b
)  /\  A. d  e.  dom  ( a  \ 
b )  -.  d R c )  <->  ( c  e.  A  /\  ( -.  ( b `  c
)  =  ( a `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) ) ) ) )
5756rexbidv2 2568 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  ( E. c  e.  dom  ( a  \  b
) A. d  e. 
dom  ( a  \ 
b )  -.  d R c  <->  E. c  e.  A  ( -.  ( b `  c
)  =  ( a `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) ) ) )
5813, 57mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  E. c  e.  A  ( -.  ( b `  c
)  =  ( a `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) ) )
594ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  S  Or  B )
60 ffvelrn 5665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b : A --> B  /\  c  e.  A )  ->  ( b `  c
)  e.  B )
6123, 60sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( b `  c
)  e.  B )
62 ffvelrn 5665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a : A --> B  /\  c  e.  A )  ->  ( a `  c
)  e.  B )
6317, 62sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( a `  c
)  e.  B )
64 sotrieq 4343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  Or  B  /\  ( ( b `  c )  e.  B  /\  ( a `  c
)  e.  B ) )  ->  ( (
b `  c )  =  ( a `  c )  <->  -.  (
( b `  c
) S ( a `
 c )  \/  ( a `  c
) S ( b `
 c ) ) ) )
6564con2bid 319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  Or  B  /\  ( ( b `  c )  e.  B  /\  ( a `  c
)  e.  B ) )  ->  ( (
( b `  c
) S ( a `
 c )  \/  ( a `  c
) S ( b `
 c ) )  <->  -.  ( b `  c
)  =  ( a `
 c ) ) )
6665biimprd 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  Or  B  /\  ( ( b `  c )  e.  B  /\  ( a `  c
)  e.  B ) )  ->  ( -.  ( b `  c
)  =  ( a `
 c )  -> 
( ( b `  c ) S ( a `  c )  \/  ( a `  c ) S ( b `  c ) ) ) )
6759, 61, 63, 66syl12anc 1180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( -.  ( b `
 c )  =  ( a `  c
)  ->  ( (
b `  c ) S ( a `  c )  \/  (
a `  c ) S ( b `  c ) ) ) )
6867anim1d 547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( -.  (
b `  c )  =  ( a `  c )  /\  A. d  e.  A  (
d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) )  ->  ( (
( b `  c
) S ( a `
 c )  \/  ( a `  c
) S ( b `
 c ) )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) ) )
6968reximdva 2657 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  ( E. c  e.  A  ( -.  ( b `  c )  =  ( a `  c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  ->  E. c  e.  A  ( (
( b `  c
) S ( a `
 c )  \/  ( a `  c
) S ( b `
 c ) )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) ) )
7058, 69mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  E. c  e.  A  ( (
( b `  c
) S ( a `
 c )  \/  ( a `  c
) S ( b `
 c ) )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) )
71 vex 2793 . . . . . . . . . . 11  |-  b  e. 
_V
72 vex 2793 . . . . . . . . . . 11  |-  a  e. 
_V
737wemaplem1 7263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  _V  /\  a  e.  _V )  ->  ( b T a  <->  E. c  e.  A  ( ( b `  c ) S ( a `  c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) ) )
7471, 72, 73mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( b T a  <->  E. c  e.  A  ( (
b `  c ) S ( a `  c )  /\  A. d  e.  A  (
d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) ) )
757wemaplem1 7263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  _V  /\  b  e.  _V )  ->  ( a T b  <->  E. c  e.  A  ( ( a `  c ) S ( b `  c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) ) )
7672, 71, 75mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( a T b  <->  E. c  e.  A  ( (
a `  c ) S ( b `  c )  /\  A. d  e.  A  (
d R c  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) )
7774, 76orbi12i 507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b T a  \/  a T b )  <-> 
( E. c  e.  A  ( ( b `
 c ) S ( a `  c
)  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  \/  E. c  e.  A  ( ( a `
 c ) S ( b `  c
)  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) ) )
78 r19.43 2697 . . . . . . . . 9  |-  ( E. c  e.  A  ( ( ( b `  c ) S ( a `  c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  \/  (
( a `  c
) S ( b `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) )  <->  ( E. c  e.  A  (
( b `  c
) S ( a `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) )  \/  E. c  e.  A  ( (
a `  c ) S ( b `  c )  /\  A. d  e.  A  (
d R c  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) ) )
7977, 78bitr4i 243 . . . . . . . 8  |-  ( ( b T a  \/  a T b )  <->  E. c  e.  A  ( ( ( b `
 c ) S ( a `  c
)  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  \/  ( ( a `
 c ) S ( b `  c
)  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) ) )
80 andir 838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b `  c ) S ( a `  c )  \/  ( a `  c ) S ( b `  c ) )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  <-> 
( ( ( b `
 c ) S ( a `  c
)  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  \/  ( ( a `
 c ) S ( b `  c
)  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) ) )
81 eqcom 2287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b `  d )  =  ( a `  d )  <->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) )
8281imbi2i 303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) )  <-> 
( d R c  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) )
8382ralbii 2569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. d  e.  A  (
d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) )  <->  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) )
8483anbi2i 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a `  c
) S ( b `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) )  <->  ( ( a `
 c ) S ( b `  c
)  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) )
8584orbi2i 505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b `  c ) S ( a `  c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  \/  (
( a `  c
) S ( b `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) ) )  <->  ( (
( b `  c
) S ( a `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) )  \/  ( ( a `  c ) S ( b `  c )  /\  A. d  e.  A  (
d R c  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) ) )
8680, 85bitr2i 241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b `  c ) S ( a `  c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  \/  (
( a `  c
) S ( b `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) )  <->  ( (
( b `  c
) S ( a `
 c )  \/  ( a `  c
) S ( b `
 c ) )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) )
8786rexbii 2570 . . . . . . . 8  |-  ( E. c  e.  A  ( ( ( b `  c ) S ( a `  c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  \/  (
( a `  c
) S ( b `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) )  <->  E. c  e.  A  ( (
( b `  c
) S ( a `
 c )  \/  ( a `  c
) S ( b `
 c ) )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) )
8879, 87bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( ( b T a  \/  a T b )  <->  E. c  e.  A  ( ( ( b `
 c ) S ( a `  c
)  \/  ( a `
 c ) S ( b `  c
) )  /\  A. d  e.  A  (
d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) ) )
8970, 88sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
b T a  \/  a T b ) )
9089expr 598 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  U  /\  b  e.  U ) )  -> 
( a  =/=  b  ->  ( b T a  \/  a T b ) ) )
9112, 90syl5bir 209 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  U  /\  b  e.  U ) )  -> 
( -.  a  =  b  ->  ( b T a  \/  a T b ) ) )
9291orrd 367 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  U  /\  b  e.  U ) )  -> 
( a  =  b  \/  ( b T a  \/  a T b ) ) )
93 3orrot 940 . . . 4  |-  ( ( a T b  \/  a  =  b  \/  b T a )  <-> 
( a  =  b  \/  b T a  \/  a T b ) )
94 3orass 937 . . . 4  |-  ( ( a  =  b  \/  b T a  \/  a T b )  <-> 
( a  =  b  \/  ( b T a  \/  a T b ) ) )
9593, 94bitr2i 241 . . 3  |-  ( ( a  =  b  \/  ( b T a  \/  a T b ) )  <->  ( a T b  \/  a  =  b  \/  b T a ) )
9692, 95sylib 188 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  U  /\  b  e.  U ) )  -> 
( a T b  \/  a  =  b  \/  b T a ) )
9711, 96issod 4346 1  |-  ( ph  ->  T  Or  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    \/ w3o 933    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   A.wral 2545   E.wrex 2546   {crab 2549   _Vcvv 2790    \ cdif 3151    C_ wss 3154   class class class wbr 4025   {copab 4078    Po wpo 4314    Or wor 4315   dom cdm 4691    Fn wfn 5252   -->wf 5253   ` cfv 5257  (class class class)co 5860    ^m cmap 6774
This theorem is referenced by:  wemapso  7268  wemapso2  7269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-map 6776
  Copyright terms: Public domain W3C validator