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Theorem wemapso2lem 7511
Description: Lemma for wemapso 7512. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
wemapso2lem.1  |-  U  C_  ( B  ^m  A )
wemapso2lem.2  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
wemapso2lem.3  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
wemapso2lem.4  |-  ( ph  ->  S  Or  B )
wemapso2lem.5  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  E. c  e.  dom  ( a  \ 
b ) A. d  e.  dom  ( a  \ 
b )  -.  d R c )
Assertion
Ref Expression
wemapso2lem  |-  ( ph  ->  T  Or  U )
Distinct variable groups:    a, b,
c, d, x, B    T, a, b, c, d    U, a, b, c, d   
w, a, y, z, b, c, x, A, d    R, a, b, c, d, w, x, y, z    S, a, b, c, d, w, x, y, z    ph, a, b, c, d
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)    B( y,
z, w)    T( x, y, z, w)    U( x, y, z, w)

Proof of Theorem wemapso2lem
StepHypRef Expression
1 wemapso2lem.1 . . 3  |-  U  C_  ( B  ^m  A )
2 wemapso2lem.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
3 wemapso2lem.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
4 wemapso2lem.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  Or  B )
5 sopo 4512 . . . . 5  |-  ( S  Or  B  ->  S  Po  B )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  Po  B )
7 wemapso.t . . . . 5  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  ( (
x `  z ) S ( y `  z )  /\  A. w  e.  A  (
w R z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
87wemappo 7510 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  R  Or  A  /\  S  Po  B )  ->  T  Po  ( B  ^m  A ) )
92, 3, 6, 8syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  T  Po  ( B  ^m  A ) )
10 poss 4497 . . 3  |-  ( U 
C_  ( B  ^m  A )  ->  ( T  Po  ( B  ^m  A )  ->  T  Po  U ) )
111, 9, 10mpsyl 61 . 2  |-  ( ph  ->  T  Po  U )
12 df-ne 2600 . . . . 5  |-  ( a  =/=  b  <->  -.  a  =  b )
13 wemapso2lem.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  E. c  e.  dom  ( a  \ 
b ) A. d  e.  dom  ( a  \ 
b )  -.  d R c )
14 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  a  e.  U )
151, 14sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  a  e.  ( B  ^m  A
) )
16 elmapi 7030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( B  ^m  A )  ->  a : A --> B )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  a : A --> B )
18 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a : A --> B  -> 
a  Fn  A )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  a  Fn  A )
20 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  b  e.  U )
211, 20sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  b  e.  ( B  ^m  A
) )
22 elmapi 7030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ( B  ^m  A )  ->  b : A --> B )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  b : A --> B )
24 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b : A --> B  -> 
b  Fn  A )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  b  Fn  A )
26 fndmdif 5826 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  Fn  A  /\  b  Fn  A )  ->  dom  ( a  \ 
b )  =  {
x  e.  A  | 
( a `  x
)  =/=  ( b `
 x ) } )
2719, 25, 26syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  dom  ( a  \  b
)  =  { x  e.  A  |  (
a `  x )  =/=  ( b `  x
) } )
2827eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
c  e.  dom  (
a  \  b )  <->  c  e.  { x  e.  A  |  ( a `
 x )  =/=  ( b `  x
) } ) )
29 necom 2679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a `  x )  =/=  ( b `  x )  <->  ( b `  x )  =/=  (
a `  x )
)
30 df-ne 2600 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b `  x )  =/=  ( a `  x )  <->  -.  (
b `  x )  =  ( a `  x ) )
3129, 30bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a `  x )  =/=  ( b `  x )  <->  -.  (
b `  x )  =  ( a `  x ) )
32 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  c  ->  (
b `  x )  =  ( b `  c ) )
33 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  c  ->  (
a `  x )  =  ( a `  c ) )
3432, 33eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  c  ->  (
( b `  x
)  =  ( a `
 x )  <->  ( b `  c )  =  ( a `  c ) ) )
3534notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  c  ->  ( -.  ( b `  x
)  =  ( a `
 x )  <->  -.  (
b `  c )  =  ( a `  c ) ) )
3631, 35syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  c  ->  (
( a `  x
)  =/=  ( b `
 x )  <->  -.  (
b `  c )  =  ( a `  c ) ) )
3736elrab 3084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  { x  e.  A  |  ( a `
 x )  =/=  ( b `  x
) }  <->  ( c  e.  A  /\  -.  (
b `  c )  =  ( a `  c ) ) )
3828, 37syl6bb 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
c  e.  dom  (
a  \  b )  <->  ( c  e.  A  /\  -.  ( b `  c
)  =  ( a `
 c ) ) ) )
3927eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
d  e.  dom  (
a  \  b )  <->  d  e.  { x  e.  A  |  ( a `
 x )  =/=  ( b `  x
) } ) )
40 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  d  ->  (
b `  x )  =  ( b `  d ) )
41 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  d  ->  (
a `  x )  =  ( a `  d ) )
4240, 41eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  d  ->  (
( b `  x
)  =  ( a `
 x )  <->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) )
4342notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  d  ->  ( -.  ( b `  x
)  =  ( a `
 x )  <->  -.  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) )
4431, 43syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  d  ->  (
( a `  x
)  =/=  ( b `
 x )  <->  -.  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) )
4544elrab 3084 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  { x  e.  A  |  ( a `
 x )  =/=  ( b `  x
) }  <->  ( d  e.  A  /\  -.  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) )
4639, 45syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
d  e.  dom  (
a  \  b )  <->  ( d  e.  A  /\  -.  ( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) ) )
4746imbi1d 309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
( d  e.  dom  ( a  \  b
)  ->  -.  d R c )  <->  ( (
d  e.  A  /\  -.  ( b `  d
)  =  ( a `
 d ) )  ->  -.  d R
c ) ) )
48 impexp 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( d  e.  A  /\  -.  ( b `  d )  =  ( a `  d ) )  ->  -.  d R c )  <->  ( d  e.  A  ->  ( -.  ( b `  d
)  =  ( a `
 d )  ->  -.  d R c ) ) )
49 con34b 284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) )  <-> 
( -.  ( b `
 d )  =  ( a `  d
)  ->  -.  d R c ) )
5049imbi2i 304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( d  e.  A  -> 
( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  <->  ( d  e.  A  ->  ( -.  ( b `  d
)  =  ( a `
 d )  ->  -.  d R c ) ) )
5148, 50bitr4i 244 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  e.  A  /\  -.  ( b `  d )  =  ( a `  d ) )  ->  -.  d R c )  <->  ( d  e.  A  ->  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) )
5247, 51syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
( d  e.  dom  ( a  \  b
)  ->  -.  d R c )  <->  ( d  e.  A  ->  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) ) )
5352ralbidv2 2719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  ( A. d  e.  dom  ( a  \  b
)  -.  d R c  <->  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) )
5438, 53anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
( c  e.  dom  ( a  \  b
)  /\  A. d  e.  dom  ( a  \ 
b )  -.  d R c )  <->  ( (
c  e.  A  /\  -.  ( b `  c
)  =  ( a `
 c ) )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) ) )
55 anass 631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( c  e.  A  /\  -.  ( b `  c )  =  ( a `  c ) )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  <-> 
( c  e.  A  /\  ( -.  ( b `
 c )  =  ( a `  c
)  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) ) )
5654, 55syl6bb 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
( c  e.  dom  ( a  \  b
)  /\  A. d  e.  dom  ( a  \ 
b )  -.  d R c )  <->  ( c  e.  A  /\  ( -.  ( b `  c
)  =  ( a `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) ) ) ) )
5756rexbidv2 2720 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  ( E. c  e.  dom  ( a  \  b
) A. d  e. 
dom  ( a  \ 
b )  -.  d R c  <->  E. c  e.  A  ( -.  ( b `  c
)  =  ( a `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) ) ) )
5813, 57mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  E. c  e.  A  ( -.  ( b `  c
)  =  ( a `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) ) )
594ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  S  Or  B )
6023ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( b `  c
)  e.  B )
6117ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( a `  c
)  e.  B )
62 sotrieq 4522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  Or  B  /\  ( ( b `  c )  e.  B  /\  ( a `  c
)  e.  B ) )  ->  ( (
b `  c )  =  ( a `  c )  <->  -.  (
( b `  c
) S ( a `
 c )  \/  ( a `  c
) S ( b `
 c ) ) ) )
6362con2bid 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  Or  B  /\  ( ( b `  c )  e.  B  /\  ( a `  c
)  e.  B ) )  ->  ( (
( b `  c
) S ( a `
 c )  \/  ( a `  c
) S ( b `
 c ) )  <->  -.  ( b `  c
)  =  ( a `
 c ) ) )
6463biimprd 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  Or  B  /\  ( ( b `  c )  e.  B  /\  ( a `  c
)  e.  B ) )  ->  ( -.  ( b `  c
)  =  ( a `
 c )  -> 
( ( b `  c ) S ( a `  c )  \/  ( a `  c ) S ( b `  c ) ) ) )
6559, 60, 61, 64syl12anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( -.  ( b `
 c )  =  ( a `  c
)  ->  ( (
b `  c ) S ( a `  c )  \/  (
a `  c ) S ( b `  c ) ) ) )
6665anim1d 548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( a  e.  U  /\  b  e.  U
)  /\  a  =/=  b ) )  /\  c  e.  A )  ->  ( ( -.  (
b `  c )  =  ( a `  c )  /\  A. d  e.  A  (
d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) )  ->  ( (
( b `  c
) S ( a `
 c )  \/  ( a `  c
) S ( b `
 c ) )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) ) )
6766reximdva 2810 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  ( E. c  e.  A  ( -.  ( b `  c )  =  ( a `  c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  ->  E. c  e.  A  ( (
( b `  c
) S ( a `
 c )  \/  ( a `  c
) S ( b `
 c ) )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) ) )
6858, 67mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  E. c  e.  A  ( (
( b `  c
) S ( a `
 c )  \/  ( a `  c
) S ( b `
 c ) )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) )
69 vex 2951 . . . . . . . . . . 11  |-  b  e. 
_V
70 vex 2951 . . . . . . . . . . 11  |-  a  e. 
_V
717wemaplem1 7507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  _V  /\  a  e.  _V )  ->  ( b T a  <->  E. c  e.  A  ( ( b `  c ) S ( a `  c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) ) )
7269, 70, 71mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( b T a  <->  E. c  e.  A  ( (
b `  c ) S ( a `  c )  /\  A. d  e.  A  (
d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) ) )
737wemaplem1 7507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  _V  /\  b  e.  _V )  ->  ( a T b  <->  E. c  e.  A  ( ( a `  c ) S ( b `  c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) ) )
7470, 69, 73mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( a T b  <->  E. c  e.  A  ( (
a `  c ) S ( b `  c )  /\  A. d  e.  A  (
d R c  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) )
7572, 74orbi12i 508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b T a  \/  a T b )  <-> 
( E. c  e.  A  ( ( b `
 c ) S ( a `  c
)  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  \/  E. c  e.  A  ( ( a `
 c ) S ( b `  c
)  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) ) )
76 r19.43 2855 . . . . . . . . 9  |-  ( E. c  e.  A  ( ( ( b `  c ) S ( a `  c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  \/  (
( a `  c
) S ( b `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) )  <->  ( E. c  e.  A  (
( b `  c
) S ( a `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) )  \/  E. c  e.  A  ( (
a `  c ) S ( b `  c )  /\  A. d  e.  A  (
d R c  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) ) )
7775, 76bitr4i 244 . . . . . . . 8  |-  ( ( b T a  \/  a T b )  <->  E. c  e.  A  ( ( ( b `
 c ) S ( a `  c
)  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  \/  ( ( a `
 c ) S ( b `  c
)  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) ) )
78 andir 839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b `  c ) S ( a `  c )  \/  ( a `  c ) S ( b `  c ) )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  <-> 
( ( ( b `
 c ) S ( a `  c
)  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  \/  ( ( a `
 c ) S ( b `  c
)  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) ) )
79 eqcom 2437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b `  d )  =  ( a `  d )  <->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) )
8079imbi2i 304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) )  <-> 
( d R c  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) )
8180ralbii 2721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. d  e.  A  (
d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) )  <->  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( a `  d )  =  ( b `  d ) ) )
8281anbi2i 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a `  c
) S ( b `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) )  <->  ( ( a `
 c ) S ( b `  c
)  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  (
a `  d )  =  ( b `  d ) ) ) )
8382orbi2i 506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b `  c ) S ( a `  c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  \/  (
( a `  c
) S ( b `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) ) )  <->  ( (
( b `  c
) S ( a `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) )  \/  ( ( a `  c ) S ( b `  c )  /\  A. d  e.  A  (
d R c  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) ) )
8478, 83bitr2i 242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( b `  c ) S ( a `  c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  \/  (
( a `  c
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 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) )  <->  ( (
( b `  c
) S ( a `
 c )  \/  ( a `  c
) S ( b `
 c ) )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) )
8584rexbii 2722 . . . . . . . 8  |-  ( E. c  e.  A  ( ( ( b `  c ) S ( a `  c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) )  \/  (
( a `  c
) S ( b `
 c )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  -> 
( a `  d
)  =  ( b `
 d ) ) ) )  <->  E. c  e.  A  ( (
( b `  c
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 c )  \/  ( a `  c
) S ( b `
 c ) )  /\  A. d  e.  A  ( d R c  ->  ( b `  d )  =  ( a `  d ) ) ) )
8677, 85bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( ( b T a  \/  a T b )  <->  E. c  e.  A  ( ( ( b `
 c ) S ( a `  c
)  \/  ( a `
 c ) S ( b `  c
) )  /\  A. d  e.  A  (
d R c  -> 
( b `  d
)  =  ( a `
 d ) ) ) )
8768, 86sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  U  /\  b  e.  U )  /\  a  =/=  b
) )  ->  (
b T a  \/  a T b ) )
8887expr 599 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  U  /\  b  e.  U ) )  -> 
( a  =/=  b  ->  ( b T a  \/  a T b ) ) )
8912, 88syl5bir 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  U  /\  b  e.  U ) )  -> 
( -.  a  =  b  ->  ( b T a  \/  a T b ) ) )
9089orrd 368 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  U  /\  b  e.  U ) )  -> 
( a  =  b  \/  ( b T a  \/  a T b ) ) )
91 3orrot 942 . . . 4  |-  ( ( a T b  \/  a  =  b  \/  b T a )  <-> 
( a  =  b  \/  b T a  \/  a T b ) )
92 3orass 939 . . . 4  |-  ( ( a  =  b  \/  b T a  \/  a T b )  <-> 
( a  =  b  \/  ( b T a  \/  a T b ) ) )
9391, 92bitr2i 242 . . 3  |-  ( ( a  =  b  \/  ( b T a  \/  a T b ) )  <->  ( a T b  \/  a  =  b  \/  b T a ) )
9490, 93sylib 189 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  U  /\  b  e.  U ) )  -> 
( a T b  \/  a  =  b  \/  b T a ) )
9511, 94issod 4525 1  |-  ( ph  ->  T  Or  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    \/ w3o 935    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   {copab 4257    Po wpo 4493    Or wor 4494   dom cdm 4870    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010
This theorem is referenced by:  wemapso  7512  wemapso2  7513
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-map 7012
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