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Theorem weniso 6067
Description: A set-like well-ordering has no nontrivial automorphisms. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
weniso  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  F  =  (  _I  |`  A )
)

Proof of Theorem weniso
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabn0 3639 . . . . . 6  |-  ( { a  e.  A  |  -.  ( F `  a
)  =  a }  =/=  (/)  <->  E. a  e.  A  -.  ( F `  a
)  =  a )
2 rexnal 2708 . . . . . 6  |-  ( E. a  e.  A  -.  ( F `  a )  =  a  <->  -.  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a )
31, 2bitri 241 . . . . 5  |-  ( { a  e.  A  |  -.  ( F `  a
)  =  a }  =/=  (/)  <->  -.  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a )
4 simpl1 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )  ->  R  We  A )
5 simpl2 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )  ->  R Se  A
)
6 ssrab2 3420 . . . . . . . . . 10  |-  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  C_  A
76a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )  ->  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  C_  A )
8 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )  ->  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )
9 wereu2 4571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  C_  A  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) ) )  ->  E! b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a } A. c  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b )
104, 5, 7, 8, 9syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )  ->  E! b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a } A. c  e. 
{ a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b )
11 reurex 2914 . . . . . . . 8  |-  ( E! b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a } A. c  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  ->  E. b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a } A. c  e. 
{ a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b )
1210, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a } A. c  e. 
{ a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b )
1312ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) 
->  E. b  e.  {
a  e.  A  |  -.  ( F `  a
)  =  a } A. c  e.  {
a  e.  A  |  -.  ( F `  a
)  =  a }  -.  c R b ) )
14 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )
15 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  a  =  b )
1614, 15eqeq12d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  (
( F `  a
)  =  a  <->  ( F `  b )  =  b ) )
1716notbid 286 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  ( -.  ( F `  a
)  =  a  <->  -.  ( F `  b )  =  b ) )
1817elrab 3084 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  <->  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )
19 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  c  ->  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )
20 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  c  ->  a  =  c )
2119, 20eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  c  ->  (
( F `  a
)  =  a  <->  ( F `  c )  =  c ) )
2221notbid 286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  c  ->  ( -.  ( F `  a
)  =  a  <->  -.  ( F `  c )  =  c ) )
2322ralrab 3088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. c  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  <->  A. c  e.  A  ( -.  ( F `  c )  =  c  ->  -.  c R b ) )
24 con34b 284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c R b  -> 
( F `  c
)  =  c )  <-> 
( -.  ( F `
 c )  =  c  ->  -.  c R b ) )
2524bicomi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  ( F `  c )  =  c  ->  -.  c R
b )  <->  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c ) )
2625ralbii 2721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. c  e.  A  ( -.  ( F `  c
)  =  c  ->  -.  c R b )  <->  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c ) )
2723, 26bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. c  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  <->  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c ) )
28 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )
29 isof1o 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F 
Isom  R ,  R  ( A ,  A )  ->  F : A -1-1-onto-> A
)
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  F : A -1-1-onto-> A
)
31 f1of 5666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  F : A
--> A )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  F : A --> A )
33 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  b  e.  A
)
3432, 33ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( F `  b )  e.  A
)
35 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ( F `  b )  ->  (
c R b  <->  ( F `  b ) R b ) )
36 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  ( F `  b )  ->  ( F `  c )  =  ( F `  ( F `  b ) ) )
37 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  ( F `  b )  ->  c  =  ( F `  b ) )
3836, 37eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  c
)  =  c  <->  ( F `  ( F `  b
) )  =  ( F `  b ) ) )
3935, 38imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ( F `  b )  ->  (
( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  <->  ( ( F `
 b ) R b  ->  ( F `  ( F `  b
) )  =  ( F `  b ) ) ) )
4039rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  b )  e.  A  ->  ( A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  ->  ( ( F `  b ) R b  ->  ( F `  ( F `  b ) )  =  ( F `  b
) ) ) )
4134, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  -> 
( ( F `  b ) R b  ->  ( F `  ( F `  b ) )  =  ( F `
 b ) ) ) )
4241com23 74 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 b ) R b  ->  ( A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( F `  c
)  =  c )  ->  ( F `  ( F `  b ) )  =  ( F `
 b ) ) ) )
4342imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  b ) R b )  ->  ( A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( F `  c
)  =  c )  ->  ( F `  ( F `  b ) )  =  ( F `
 b ) ) )
44 f1of1 5665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  F : A -1-1-> A )
4530, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  F : A -1-1-> A )
46 f1fveq 6000 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A -1-1-> A  /\  ( ( F `  b )  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
( F `  ( F `  b )
)  =  ( F `
 b )  <->  ( F `  b )  =  b ) )
4745, 34, 33, 46syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 ( F `  b ) )  =  ( F `  b
)  <->  ( F `  b )  =  b ) )
48 pm2.21 102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( F `  b
)  =  b  -> 
( ( F `  b )  =  b  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
4948ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 b )  =  b  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
5047, 49sylbid 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 ( F `  b ) )  =  ( F `  b
)  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
5150adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  b ) R b )  ->  ( ( F `  ( F `  b ) )  =  ( F `  b
)  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
5243, 51syld 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  b ) R b )  ->  ( A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( F `  c
)  =  c )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
53 f1ocnv 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  `' F : A -1-1-onto-> A )
54 f1of 5666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' F : A -1-1-onto-> A  ->  `' F : A --> A )
5530, 53, 543syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  `' F : A
--> A )
5655, 33ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( `' F `  b )  e.  A
)
5756adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  b R ( F `  b ) )  ->  ( `' F `  b )  e.  A )
58 isorel 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  Isom  R ,  R  ( A ,  A )  /\  (
( `' F `  b )  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
( `' F `  b ) R b  <-> 
( F `  ( `' F `  b ) ) R ( F `
 b ) ) )
5928, 56, 33, 58syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( `' F `  b ) R b  <->  ( F `  ( `' F `  b ) ) R ( F `  b
) ) )
60 f1ocnvfv2 6007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  b  e.  A )  ->  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  b )
6130, 33, 60syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  b )
6261breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 ( `' F `  b ) ) R ( F `  b
)  <->  b R ( F `  b ) ) )
6359, 62bitr2d 246 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( b R ( F `  b
)  <->  ( `' F `  b ) R b ) )
6463biimpa 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  b R ( F `  b ) )  ->  ( `' F `  b ) R b )
65 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ( `' F `  b )  ->  (
c R b  <->  ( `' F `  b ) R b ) )
66 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ( `' F `  b )  ->  ( F `  c )  =  ( F `  ( `' F `  b ) ) )
67 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ( `' F `  b )  ->  c  =  ( `' F `  b ) )
6866, 67eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ( `' F `  b )  ->  (
( F `  c
)  =  c  <->  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) ) )
6965, 68imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  ( `' F `  b )  ->  (
( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  <->  ( ( `' F `  b ) R b  ->  ( F `  ( `' F `  b )
)  =  ( `' F `  b ) ) ) )
7069rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F `  b )  e.  A  ->  ( A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  ->  ( ( `' F `  b ) R b  ->  ( F `  ( `' F `  b )
)  =  ( `' F `  b ) ) ) )
7170com23 74 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F `  b )  e.  A  ->  (
( `' F `  b ) R b  ->  ( A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  -> 
( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) ) ) )
7257, 64, 71sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  b R ( F `  b ) )  ->  ( A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( F `  c
)  =  c )  ->  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) ) )
73 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) )  ->  -.  ( F `  b )  =  b )
74 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b )  ->  ( F `  ( F `  ( `' F `  b ) ) )  =  ( F `  ( `' F `  b ) ) )
7574adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) )  ->  ( F `  ( F `  ( `' F `  b ) ) )  =  ( F `  ( `' F `  b ) ) )
7661fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( F `  ( F `  ( `' F `  b ) ) )  =  ( F `  b ) )
7776adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) )  ->  ( F `  ( F `  ( `' F `  b ) ) )  =  ( F `  b ) )
7861adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) )  ->  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  b )
7975, 77, 783eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) )  ->  ( F `  b )  =  b )
8073, 79, 48sylc 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a )
8180ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
8281adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  b R ( F `  b ) )  ->  ( ( F `  ( `' F `  b )
)  =  ( `' F `  b )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
8372, 82syld 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  b R ( F `  b ) )  ->  ( A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( F `  c
)  =  c )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
84 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  -.  ( F `  b )  =  b )
85 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  R  We  A
)
86 weso 4565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  We  A  ->  R  Or  A )
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  R  Or  A
)
88 sotrieq 4522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( ( F `  b )  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
( F `  b
)  =  b  <->  -.  (
( F `  b
) R b  \/  b R ( F `
 b ) ) ) )
8987, 34, 33, 88syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 b )  =  b  <->  -.  ( ( F `  b ) R b  \/  b R ( F `  b ) ) ) )
9089con2bid 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( ( F `  b ) R b  \/  b R ( F `  b ) )  <->  -.  ( F `  b )  =  b ) )
9184, 90mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 b ) R b  \/  b R ( F `  b
) ) )
9252, 83, 91mpjaodan 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
9327, 92syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( A. c  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
9493ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b )  -> 
( A. c  e. 
{ a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) ) )
9518, 94syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( b  e. 
{ a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  ->  ( A. c  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) ) )
9695rexlimdv 2821 . . . . . 6  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( E. b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a } A. c  e. 
{ a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
9713, 96syld 42 . . . . 5  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) 
->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
983, 97syl5bir 210 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( -.  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
9998pm2.18d 105 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a )
100 fvresi 5916 . . . . . 6  |-  ( a  e.  A  ->  (
(  _I  |`  A ) `
 a )  =  a )
101100eqeq2d 2446 . . . . 5  |-  ( a  e.  A  ->  (
( F `  a
)  =  ( (  _I  |`  A ) `  a )  <->  ( F `  a )  =  a ) )
102101biimprd 215 . . . 4  |-  ( a  e.  A  ->  (
( F `  a
)  =  a  -> 
( F `  a
)  =  ( (  _I  |`  A ) `  a ) ) )
103102ralimia 2771 . . 3  |-  ( A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  ( (  _I  |`  A ) `
 a ) )
10499, 103syl 16 . 2  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  ( (  _I  |`  A ) `  a
) )
105293ad2ant3 980 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  F : A -1-1-onto-> A
)
106 f1ofn 5667 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  F  Fn  A )
107105, 106syl 16 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  F  Fn  A
)
108 fnresi 5554 . . . 4  |-  (  _I  |`  A )  Fn  A
109108a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  (  _I  |`  A )  Fn  A )
110 eqfnfv 5819 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  (  _I  |`  A )  Fn  A )  -> 
( F  =  (  _I  |`  A )  <->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  ( (  _I  |`  A ) `  a
) ) )
111107, 109, 110syl2anc 643 . 2  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( F  =  (  _I  |`  A )  <->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  ( (  _I  |`  A ) `  a
) ) )
112104, 111mpbird 224 1  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  F  =  (  _I  |`  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   E!wreu 2699   {crab 2701    C_ wss 3312   (/)c0 3620   class class class wbr 4204    _I cid 4485    Or wor 4494   Se wse 4531    We wwe 4532   `'ccnv 4869    |` cres 4872    Fn wfn 5441   -->wf 5442   -1-1->wf1 5443   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446    Isom wiso 5447
This theorem is referenced by:  weisoeq  6068  oiid  7502
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455
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