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Theorem weniso 6015
Description: A set-like well-ordering has no nontrivial automorphisms. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
weniso  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  F  =  (  _I  |`  A )
)

Proof of Theorem weniso
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabn0 3591 . . . . . 6  |-  ( { a  e.  A  |  -.  ( F `  a
)  =  a }  =/=  (/)  <->  E. a  e.  A  -.  ( F `  a
)  =  a )
2 rexnal 2661 . . . . . 6  |-  ( E. a  e.  A  -.  ( F `  a )  =  a  <->  -.  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a )
31, 2bitri 241 . . . . 5  |-  ( { a  e.  A  |  -.  ( F `  a
)  =  a }  =/=  (/)  <->  -.  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a )
4 simpl1 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )  ->  R  We  A )
5 simpl2 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )  ->  R Se  A
)
6 ssrab2 3372 . . . . . . . . . 10  |-  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  C_  A
76a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )  ->  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  C_  A )
8 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )  ->  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )
9 wereu2 4521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  C_  A  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) ) )  ->  E! b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a } A. c  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b )
104, 5, 7, 8, 9syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )  ->  E! b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a } A. c  e. 
{ a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b )
11 reurex 2866 . . . . . . . 8  |-  ( E! b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a } A. c  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  ->  E. b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a } A. c  e. 
{ a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b )
1210, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a } A. c  e. 
{ a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b )
1312ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) 
->  E. b  e.  {
a  e.  A  |  -.  ( F `  a
)  =  a } A. c  e.  {
a  e.  A  |  -.  ( F `  a
)  =  a }  -.  c R b ) )
14 fveq2 5669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )
15 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  a  =  b )
1614, 15eqeq12d 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  (
( F `  a
)  =  a  <->  ( F `  b )  =  b ) )
1716notbid 286 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  ( -.  ( F `  a
)  =  a  <->  -.  ( F `  b )  =  b ) )
1817elrab 3036 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  <->  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )
19 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  c  ->  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )
20 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  c  ->  a  =  c )
2119, 20eqeq12d 2402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  c  ->  (
( F `  a
)  =  a  <->  ( F `  c )  =  c ) )
2221notbid 286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  c  ->  ( -.  ( F `  a
)  =  a  <->  -.  ( F `  c )  =  c ) )
2322ralrab 3040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. c  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  <->  A. c  e.  A  ( -.  ( F `  c )  =  c  ->  -.  c R b ) )
24 con34b 284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c R b  -> 
( F `  c
)  =  c )  <-> 
( -.  ( F `
 c )  =  c  ->  -.  c R b ) )
2524bicomi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  ( F `  c )  =  c  ->  -.  c R
b )  <->  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c ) )
2625ralbii 2674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. c  e.  A  ( -.  ( F `  c
)  =  c  ->  -.  c R b )  <->  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c ) )
2723, 26bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. c  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  <->  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c ) )
28 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )
29 isof1o 5985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F 
Isom  R ,  R  ( A ,  A )  ->  F : A -1-1-onto-> A
)
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  F : A -1-1-onto-> A
)
31 f1of 5615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  F : A
--> A )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  F : A --> A )
33 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  b  e.  A
)
3432, 33ffvelrnd 5811 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( F `  b )  e.  A
)
35 breq1 4157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ( F `  b )  ->  (
c R b  <->  ( F `  b ) R b ) )
36 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  ( F `  b )  ->  ( F `  c )  =  ( F `  ( F `  b ) ) )
37 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  ( F `  b )  ->  c  =  ( F `  b ) )
3836, 37eqeq12d 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  c
)  =  c  <->  ( F `  ( F `  b
) )  =  ( F `  b ) ) )
3935, 38imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ( F `  b )  ->  (
( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  <->  ( ( F `
 b ) R b  ->  ( F `  ( F `  b
) )  =  ( F `  b ) ) ) )
4039rspcv 2992 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  b )  e.  A  ->  ( A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  ->  ( ( F `  b ) R b  ->  ( F `  ( F `  b ) )  =  ( F `  b
) ) ) )
4134, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  -> 
( ( F `  b ) R b  ->  ( F `  ( F `  b ) )  =  ( F `
 b ) ) ) )
4241com23 74 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 b ) R b  ->  ( A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( F `  c
)  =  c )  ->  ( F `  ( F `  b ) )  =  ( F `
 b ) ) ) )
4342imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  b ) R b )  ->  ( A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( F `  c
)  =  c )  ->  ( F `  ( F `  b ) )  =  ( F `
 b ) ) )
44 f1of1 5614 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  F : A -1-1-> A )
4530, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  F : A -1-1-> A )
46 f1fveq 5948 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A -1-1-> A  /\  ( ( F `  b )  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
( F `  ( F `  b )
)  =  ( F `
 b )  <->  ( F `  b )  =  b ) )
4745, 34, 33, 46syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 ( F `  b ) )  =  ( F `  b
)  <->  ( F `  b )  =  b ) )
48 pm2.21 102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( F `  b
)  =  b  -> 
( ( F `  b )  =  b  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
4948ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 b )  =  b  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
5047, 49sylbid 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 ( F `  b ) )  =  ( F `  b
)  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
5150adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  b ) R b )  ->  ( ( F `  ( F `  b ) )  =  ( F `  b
)  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
5243, 51syld 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  b ) R b )  ->  ( A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( F `  c
)  =  c )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
53 f1ocnv 5628 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  `' F : A -1-1-onto-> A )
54 f1of 5615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' F : A -1-1-onto-> A  ->  `' F : A --> A )
5530, 53, 543syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  `' F : A
--> A )
5655, 33ffvelrnd 5811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( `' F `  b )  e.  A
)
5756adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  b R ( F `  b ) )  ->  ( `' F `  b )  e.  A )
58 isorel 5986 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  Isom  R ,  R  ( A ,  A )  /\  (
( `' F `  b )  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
( `' F `  b ) R b  <-> 
( F `  ( `' F `  b ) ) R ( F `
 b ) ) )
5928, 56, 33, 58syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( `' F `  b ) R b  <->  ( F `  ( `' F `  b ) ) R ( F `  b
) ) )
60 f1ocnvfv2 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  b  e.  A )  ->  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  b )
6130, 33, 60syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  b )
6261breq1d 4164 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 ( `' F `  b ) ) R ( F `  b
)  <->  b R ( F `  b ) ) )
6359, 62bitr2d 246 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( b R ( F `  b
)  <->  ( `' F `  b ) R b ) )
6463biimpa 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  b R ( F `  b ) )  ->  ( `' F `  b ) R b )
65 breq1 4157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ( `' F `  b )  ->  (
c R b  <->  ( `' F `  b ) R b ) )
66 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ( `' F `  b )  ->  ( F `  c )  =  ( F `  ( `' F `  b ) ) )
67 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ( `' F `  b )  ->  c  =  ( `' F `  b ) )
6866, 67eqeq12d 2402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ( `' F `  b )  ->  (
( F `  c
)  =  c  <->  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) ) )
6965, 68imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  ( `' F `  b )  ->  (
( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  <->  ( ( `' F `  b ) R b  ->  ( F `  ( `' F `  b )
)  =  ( `' F `  b ) ) ) )
7069rspcv 2992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F `  b )  e.  A  ->  ( A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  ->  ( ( `' F `  b ) R b  ->  ( F `  ( `' F `  b )
)  =  ( `' F `  b ) ) ) )
7170com23 74 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F `  b )  e.  A  ->  (
( `' F `  b ) R b  ->  ( A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  -> 
( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) ) ) )
7257, 64, 71sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  b R ( F `  b ) )  ->  ( A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( F `  c
)  =  c )  ->  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) ) )
73 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) )  ->  -.  ( F `  b )  =  b )
74 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b )  ->  ( F `  ( F `  ( `' F `  b ) ) )  =  ( F `  ( `' F `  b ) ) )
7574adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) )  ->  ( F `  ( F `  ( `' F `  b ) ) )  =  ( F `  ( `' F `  b ) ) )
7661fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( F `  ( F `  ( `' F `  b ) ) )  =  ( F `  b ) )
7776adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) )  ->  ( F `  ( F `  ( `' F `  b ) ) )  =  ( F `  b ) )
7861adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) )  ->  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  b )
7975, 77, 783eqtr3d 2428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) )  ->  ( F `  b )  =  b )
8073, 79, 48sylc 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a )
8180ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
8281adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  b R ( F `  b ) )  ->  ( ( F `  ( `' F `  b )
)  =  ( `' F `  b )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
8372, 82syld 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  b R ( F `  b ) )  ->  ( A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( F `  c
)  =  c )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
84 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  -.  ( F `  b )  =  b )
85 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  R  We  A
)
86 weso 4515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  We  A  ->  R  Or  A )
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  R  Or  A
)
88 sotrieq 4472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( ( F `  b )  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
( F `  b
)  =  b  <->  -.  (
( F `  b
) R b  \/  b R ( F `
 b ) ) ) )
8987, 34, 33, 88syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 b )  =  b  <->  -.  ( ( F `  b ) R b  \/  b R ( F `  b ) ) ) )
9089con2bid 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( ( F `  b ) R b  \/  b R ( F `  b ) )  <->  -.  ( F `  b )  =  b ) )
9184, 90mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 b ) R b  \/  b R ( F `  b
) ) )
9252, 83, 91mpjaodan 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
9327, 92syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( A. c  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
9493ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b )  -> 
( A. c  e. 
{ a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) ) )
9518, 94syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( b  e. 
{ a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  ->  ( A. c  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) ) )
9695rexlimdv 2773 . . . . . 6  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( E. b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a } A. c  e. 
{ a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
9713, 96syld 42 . . . . 5  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) 
->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
983, 97syl5bir 210 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( -.  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
9998pm2.18d 105 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a )
100 fvresi 5864 . . . . . 6  |-  ( a  e.  A  ->  (
(  _I  |`  A ) `
 a )  =  a )
101100eqeq2d 2399 . . . . 5  |-  ( a  e.  A  ->  (
( F `  a
)  =  ( (  _I  |`  A ) `  a )  <->  ( F `  a )  =  a ) )
102101biimprd 215 . . . 4  |-  ( a  e.  A  ->  (
( F `  a
)  =  a  -> 
( F `  a
)  =  ( (  _I  |`  A ) `  a ) ) )
103102ralimia 2723 . . 3  |-  ( A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  ( (  _I  |`  A ) `
 a ) )
10499, 103syl 16 . 2  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  ( (  _I  |`  A ) `  a
) )
105293ad2ant3 980 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  F : A -1-1-onto-> A
)
106 f1ofn 5616 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  F  Fn  A )
107105, 106syl 16 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  F  Fn  A
)
108 fnresi 5503 . . . 4  |-  (  _I  |`  A )  Fn  A
109108a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  (  _I  |`  A )  Fn  A )
110 eqfnfv 5767 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  (  _I  |`  A )  Fn  A )  -> 
( F  =  (  _I  |`  A )  <->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  ( (  _I  |`  A ) `  a
) ) )
111107, 109, 110syl2anc 643 . 2  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( F  =  (  _I  |`  A )  <->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  ( (  _I  |`  A ) `  a
) ) )
112104, 111mpbird 224 1  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  F  =  (  _I  |`  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650   E.wrex 2651   E!wreu 2652   {crab 2654    C_ wss 3264   (/)c0 3572   class class class wbr 4154    _I cid 4435    Or wor 4444   Se wse 4481    We wwe 4482   `'ccnv 4818    |` cres 4821    Fn wfn 5390   -->wf 5391   -1-1->wf1 5392   -1-1-onto->wf1o 5394   ` cfv 5395    Isom wiso 5396
This theorem is referenced by:  weisoeq  6016  oiid  7444
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404
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