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Theorem weniso 5854
Description: A set-like well-ordering has no nontrivial automorphisms. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
weniso  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  F  =  (  _I  |`  A )
)

Proof of Theorem weniso
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabn0 3476 . . . . . 6  |-  ( { a  e.  A  |  -.  ( F `  a
)  =  a }  =/=  (/)  <->  E. a  e.  A  -.  ( F `  a
)  =  a )
2 rexnal 2556 . . . . . 6  |-  ( E. a  e.  A  -.  ( F `  a )  =  a  <->  -.  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a )
31, 2bitri 240 . . . . 5  |-  ( { a  e.  A  |  -.  ( F `  a
)  =  a }  =/=  (/)  <->  -.  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a )
4 simpl1 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )  ->  R  We  A )
5 simpl2 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )  ->  R Se  A
)
6 ssrab2 3260 . . . . . . . . . 10  |-  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  C_  A
76a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )  ->  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  C_  A )
8 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )  ->  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )
9 wereu2 4392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  C_  A  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) ) )  ->  E! b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a } A. c  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b )
104, 5, 7, 8, 9syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )  ->  E! b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a } A. c  e. 
{ a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b )
11 reurex 2756 . . . . . . . 8  |-  ( E! b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a } A. c  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  ->  E. b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a } A. c  e. 
{ a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b )
1210, 11syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) )  ->  E. b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a } A. c  e. 
{ a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b )
1312ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) 
->  E. b  e.  {
a  e.  A  |  -.  ( F `  a
)  =  a } A. c  e.  {
a  e.  A  |  -.  ( F `  a
)  =  a }  -.  c R b ) )
14 fveq2 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )
15 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  a  =  b )
1614, 15eqeq12d 2299 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  (
( F `  a
)  =  a  <->  ( F `  b )  =  b ) )
1716notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  ( -.  ( F `  a
)  =  a  <->  -.  ( F `  b )  =  b ) )
1817elrab 2925 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  <->  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )
19 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  c  ->  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )
20 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  c  ->  a  =  c )
2119, 20eqeq12d 2299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  c  ->  (
( F `  a
)  =  a  <->  ( F `  c )  =  c ) )
2221notbid 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  c  ->  ( -.  ( F `  a
)  =  a  <->  -.  ( F `  c )  =  c ) )
2322ralrab 2929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. c  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  <->  A. c  e.  A  ( -.  ( F `  c )  =  c  ->  -.  c R b ) )
24 con34b 283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c R b  -> 
( F `  c
)  =  c )  <-> 
( -.  ( F `
 c )  =  c  ->  -.  c R b ) )
2524bicomi 193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  ( F `  c )  =  c  ->  -.  c R
b )  <->  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c ) )
2625ralbii 2569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. c  e.  A  ( -.  ( F `  c
)  =  c  ->  -.  c R b )  <->  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c ) )
2723, 26bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. c  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  <->  A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c ) )
28 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )
29 isof1o 5824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F 
Isom  R ,  R  ( A ,  A )  ->  F : A -1-1-onto-> A
)
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  F : A -1-1-onto-> A
)
31 f1of 5474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  F : A
--> A )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  F : A --> A )
33 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  b  e.  A
)
34 ffvelrn 5665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A --> A  /\  b  e.  A )  ->  ( F `  b
)  e.  A )
3532, 33, 34syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( F `  b )  e.  A
)
36 breq1 4028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ( F `  b )  ->  (
c R b  <->  ( F `  b ) R b ) )
37 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  ( F `  b )  ->  ( F `  c )  =  ( F `  ( F `  b ) ) )
38 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  ( F `  b )  ->  c  =  ( F `  b ) )
3937, 38eqeq12d 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  c
)  =  c  <->  ( F `  ( F `  b
) )  =  ( F `  b ) ) )
4036, 39imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ( F `  b )  ->  (
( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  <->  ( ( F `
 b ) R b  ->  ( F `  ( F `  b
) )  =  ( F `  b ) ) ) )
4140rspcv 2882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  b )  e.  A  ->  ( A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  ->  ( ( F `  b ) R b  ->  ( F `  ( F `  b ) )  =  ( F `  b
) ) ) )
4235, 41syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  -> 
( ( F `  b ) R b  ->  ( F `  ( F `  b ) )  =  ( F `
 b ) ) ) )
4342com23 72 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 b ) R b  ->  ( A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( F `  c
)  =  c )  ->  ( F `  ( F `  b ) )  =  ( F `
 b ) ) ) )
4443imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  b ) R b )  ->  ( A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( F `  c
)  =  c )  ->  ( F `  ( F `  b ) )  =  ( F `
 b ) ) )
45 f1of1 5473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  F : A -1-1-> A )
4630, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  F : A -1-1-> A )
47 f1fveq 5788 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A -1-1-> A  /\  ( ( F `  b )  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
( F `  ( F `  b )
)  =  ( F `
 b )  <->  ( F `  b )  =  b ) )
4846, 35, 33, 47syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 ( F `  b ) )  =  ( F `  b
)  <->  ( F `  b )  =  b ) )
49 pm2.21 100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( F `  b
)  =  b  -> 
( ( F `  b )  =  b  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
5049ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 b )  =  b  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
5148, 50sylbid 206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 ( F `  b ) )  =  ( F `  b
)  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
5251adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  b ) R b )  ->  ( ( F `  ( F `  b ) )  =  ( F `  b
)  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
5344, 52syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  b ) R b )  ->  ( A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( F `  c
)  =  c )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
54 f1ocnv 5487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  `' F : A -1-1-onto-> A )
55 f1of 5474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' F : A -1-1-onto-> A  ->  `' F : A --> A )
5630, 54, 553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  `' F : A
--> A )
57 ffvelrn 5665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' F : A --> A  /\  b  e.  A )  ->  ( `' F `  b )  e.  A
)
5856, 33, 57syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( `' F `  b )  e.  A
)
5958adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  b R ( F `  b ) )  ->  ( `' F `  b )  e.  A )
60 isorel 5825 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  Isom  R ,  R  ( A ,  A )  /\  (
( `' F `  b )  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
( `' F `  b ) R b  <-> 
( F `  ( `' F `  b ) ) R ( F `
 b ) ) )
6128, 58, 33, 60syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( `' F `  b ) R b  <->  ( F `  ( `' F `  b ) ) R ( F `  b
) ) )
62 f1ocnvfv2 5795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  b  e.  A )  ->  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  b )
6330, 33, 62syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  b )
6463breq1d 4035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 ( `' F `  b ) ) R ( F `  b
)  <->  b R ( F `  b ) ) )
6561, 64bitr2d 245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( b R ( F `  b
)  <->  ( `' F `  b ) R b ) )
6665biimpa 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  b R ( F `  b ) )  ->  ( `' F `  b ) R b )
67 breq1 4028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ( `' F `  b )  ->  (
c R b  <->  ( `' F `  b ) R b ) )
68 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ( `' F `  b )  ->  ( F `  c )  =  ( F `  ( `' F `  b ) ) )
69 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ( `' F `  b )  ->  c  =  ( `' F `  b ) )
7068, 69eqeq12d 2299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ( `' F `  b )  ->  (
( F `  c
)  =  c  <->  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) ) )
7167, 70imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  ( `' F `  b )  ->  (
( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  <->  ( ( `' F `  b ) R b  ->  ( F `  ( `' F `  b )
)  =  ( `' F `  b ) ) ) )
7271rspcv 2882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F `  b )  e.  A  ->  ( A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  ->  ( ( `' F `  b ) R b  ->  ( F `  ( `' F `  b )
)  =  ( `' F `  b ) ) ) )
7372com23 72 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F `  b )  e.  A  ->  (
( `' F `  b ) R b  ->  ( A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  -> 
( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) ) ) )
7459, 66, 73sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  b R ( F `  b ) )  ->  ( A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( F `  c
)  =  c )  ->  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) ) )
75 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) )  ->  -.  ( F `  b )  =  b )
76 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b )  ->  ( F `  ( F `  ( `' F `  b ) ) )  =  ( F `  ( `' F `  b ) ) )
7776adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) )  ->  ( F `  ( F `  ( `' F `  b ) ) )  =  ( F `  ( `' F `  b ) ) )
7863fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( F `  ( F `  ( `' F `  b ) ) )  =  ( F `  b ) )
7978adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) )  ->  ( F `  ( F `  ( `' F `  b ) ) )  =  ( F `  b ) )
8063adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) )  ->  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  b )
8177, 79, 803eqtr3d 2325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) )  ->  ( F `  b )  =  b )
8275, 81, 49sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  ( F `  ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b ) )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a )
8382ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 ( `' F `  b ) )  =  ( `' F `  b )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
8483adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  b R ( F `  b ) )  ->  ( ( F `  ( `' F `  b )
)  =  ( `' F `  b )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
8574, 84syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  /\  b R ( F `  b ) )  ->  ( A. c  e.  A  (
c R b  -> 
( F `  c
)  =  c )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
86 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  -.  ( F `  b )  =  b )
87 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  R  We  A
)
88 weso 4386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  We  A  ->  R  Or  A )
8987, 88syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  R  Or  A
)
90 sotrieq 4343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( ( F `  b )  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
( F `  b
)  =  b  <->  -.  (
( F `  b
) R b  \/  b R ( F `
 b ) ) ) )
9189, 35, 33, 90syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 b )  =  b  <->  -.  ( ( F `  b ) R b  \/  b R ( F `  b ) ) ) )
9291con2bid 319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( ( F `  b ) R b  \/  b R ( F `  b ) )  <->  -.  ( F `  b )  =  b ) )
9386, 92mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( ( F `
 b ) R b  \/  b R ( F `  b
) ) )
9453, 85, 93mpjaodan 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( A. c  e.  A  ( c R b  ->  ( F `  c )  =  c )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
9527, 94syl5bi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  /\  ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b ) )  ->  ( A. c  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
9695ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( ( b  e.  A  /\  -.  ( F `  b )  =  b )  -> 
( A. c  e. 
{ a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) ) )
9718, 96syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( b  e. 
{ a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  ->  ( A. c  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) ) )
9897rexlimdv 2668 . . . . . 6  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( E. b  e.  { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a } A. c  e. 
{ a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  -.  c R b  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
9913, 98syld 40 . . . . 5  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( { a  e.  A  |  -.  ( F `  a )  =  a }  =/=  (/) 
->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
1003, 99syl5bir 209 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( -.  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a ) )
101100pm2.18d 103 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a )
102 fvresi 5713 . . . . . 6  |-  ( a  e.  A  ->  (
(  _I  |`  A ) `
 a )  =  a )
103102eqeq2d 2296 . . . . 5  |-  ( a  e.  A  ->  (
( F `  a
)  =  ( (  _I  |`  A ) `  a )  <->  ( F `  a )  =  a ) )
104103biimprd 214 . . . 4  |-  ( a  e.  A  ->  (
( F `  a
)  =  a  -> 
( F `  a
)  =  ( (  _I  |`  A ) `  a ) ) )
105104ralimia 2618 . . 3  |-  ( A. a  e.  A  ( F `  a )  =  a  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  ( (  _I  |`  A ) `
 a ) )
106101, 105syl 15 . 2  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  ( (  _I  |`  A ) `  a
) )
107293ad2ant3 978 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  F : A -1-1-onto-> A
)
108 f1ofn 5475 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  F  Fn  A )
109107, 108syl 15 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  F  Fn  A
)
110 fnresi 5363 . . . 4  |-  (  _I  |`  A )  Fn  A
111110a1i 10 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  (  _I  |`  A )  Fn  A )
112 eqfnfv 5624 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  (  _I  |`  A )  Fn  A )  -> 
( F  =  (  _I  |`  A )  <->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  ( (  _I  |`  A ) `  a
) ) )
113109, 111, 112syl2anc 642 . 2  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  ( F  =  (  _I  |`  A )  <->  A. a  e.  A  ( F `  a )  =  ( (  _I  |`  A ) `  a
) ) )
114106, 113mpbird 223 1  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A  /\  F  Isom  R ,  R  ( A ,  A ) )  ->  F  =  (  _I  |`  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   A.wral 2545   E.wrex 2546   E!wreu 2547   {crab 2549    C_ wss 3154   (/)c0 3457   class class class wbr 4025    _I cid 4306    Or wor 4315   Se wse 4352    We wwe 4353   `'ccnv 4690    |` cres 4693    Fn wfn 5252   -->wf 5253   -1-1->wf1 5254   -1-1-onto->wf1o 5256   ` cfv 5257    Isom wiso 5258
This theorem is referenced by:  weisoeq  5855  oiid  7258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266
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