Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wfrlem15 Structured version   Unicode version

Theorem wfrlem15 25544
Description: Lemma for well-founded recursion. When  z is  R minimal,  C is an acceptable function. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
wfrlem13.1  |-  R  We  A
wfrlem13.2  |-  R Se  A
wfrlem13.3  |-  F  = wrecs ( R ,  A ,  G )
wfrlem13.4  |-  C  =  ( F  u.  { <. z ,  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) ) >. } )
Assertion
Ref Expression
wfrlem15  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  C  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } )
Distinct variable groups:    A, f, x, y, z    f, F, x, y, z    f, G, x, y    R, f, x, y, z    C, f, x, y
Allowed substitution hints:    C( z)    G( z)

Proof of Theorem wfrlem15
StepHypRef Expression
1 wfrlem13.1 . . . . . 6  |-  R  We  A
2 wfrlem13.3 . . . . . 6  |-  F  = wrecs ( R ,  A ,  G )
31, 2wfrlem10 25539 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  =  dom  F )
4 eldifi 3461 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( A  \  dom  F )  ->  z  e.  A )
5 wfrlem13.2 . . . . . . 7  |-  R Se  A
6 setlikespec 25454 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V )
74, 5, 6sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( A  \  dom  F )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V )
87adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V )
93, 8eqeltrrd 2510 . . . 4  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  dom  F  e.  _V )
10 snex 4397 . . . 4  |-  { z }  e.  _V
11 unexg 4702 . . . 4  |-  ( ( dom  F  e.  _V  /\ 
{ z }  e.  _V )  ->  ( dom 
F  u.  { z } )  e.  _V )
129, 10, 11sylancl 644 . . 3  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  ( dom  F  u.  { z } )  e.  _V )
13 wfrlem13.4 . . . . . 6  |-  C  =  ( F  u.  { <. z ,  ( G `
 ( F  |`  Pred ( R ,  A ,  z ) ) ) >. } )
141, 5, 2, 13wfrlem13 25542 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( A  \  dom  F )  ->  C  Fn  ( dom  F  u.  { z } ) )
1514adantr 452 . . . 4  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  C  Fn  ( dom  F  u.  { z } ) )
162wfrlem7 25536 . . . . . . 7  |-  dom  F  C_  A
174snssd 3935 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( A  \  dom  F )  ->  { z }  C_  A )
18 unss 3513 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  F  C_  A  /\  { z }  C_  A )  <->  ( dom  F  u.  { z } )  C_  A )
1918biimpi 187 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  F  C_  A  /\  { z }  C_  A )  ->  ( dom  F  u.  { z } )  C_  A
)
2016, 17, 19sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( A  \  dom  F )  ->  ( dom  F  u.  { z } )  C_  A
)
2120adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  ( dom  F  u.  { z } )  C_  A
)
22 elun 3480 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( dom  F  u.  { z } )  <-> 
( y  e.  dom  F  \/  y  e.  {
z } ) )
23 elsn 3821 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { z }  <-> 
y  =  z )
2423orbi2i 506 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  dom  F  \/  y  e.  { z } )  <->  ( y  e.  dom  F  \/  y  =  z ) )
2522, 24bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( dom  F  u.  { z } )  <-> 
( y  e.  dom  F  \/  y  =  z ) )
262wfrlem9 25538 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  dom  F  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  F )
27 ssun3 3504 . . . . . . . . . 10  |-  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  dom  F  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  { z } ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  dom  F  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  {
z } ) )
2928a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  (
y  e.  dom  F  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  { z } ) ) )
30 ssun1 3502 . . . . . . . . . 10  |-  dom  F  C_  ( dom  F  u.  { z } )
313, 30syl6eqss 3390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  ( dom  F  u.  { z } ) )
32 predeq3 25435 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  =  Pred ( R ,  A , 
z ) )
3332sseq1d 3367 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  ( Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  {
z } )  <->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  ( dom  F  u.  { z } ) ) )
3431, 33syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  (
y  =  z  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  {
z } ) ) )
3529, 34jaod 370 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  (
( y  e.  dom  F  \/  y  =  z )  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  { z } ) ) )
3625, 35syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  (
y  e.  ( dom 
F  u.  { z } )  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  ( dom  F  u.  { z } ) ) )
3736ralrimiv 2780 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  A. y  e.  ( dom  F  u.  { z } ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  {
z } ) )
3821, 37jca 519 . . . 4  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  (
( dom  F  u.  { z } )  C_  A  /\  A. y  e.  ( dom  F  u.  { z } ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  {
z } ) ) )
391, 5, 2, 13wfrlem14 25543 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( A  \  dom  F )  ->  (
y  e.  ( dom 
F  u.  { z } )  ->  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )
4039ralrimiv 2780 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( A  \  dom  F )  ->  A. y  e.  ( dom  F  u.  { z } ) ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )
4140adantr 452 . . . 4  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  A. y  e.  ( dom  F  u.  { z } ) ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )
4215, 38, 413jca 1134 . . 3  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  ( C  Fn  ( dom  F  u.  { z } )  /\  ( ( dom  F  u.  {
z } )  C_  A  /\  A. y  e.  ( dom  F  u.  { z } ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  {
z } ) )  /\  A. y  e.  ( dom  F  u.  { z } ) ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )
43 fneq2 5527 . . . . 5  |-  ( x  =  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( C  Fn  x 
<->  C  Fn  ( dom 
F  u.  { z } ) ) )
44 sseq1 3361 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( x  C_  A 
<->  ( dom  F  u.  { z } )  C_  A ) )
45 sseq2 3362 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x  <->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  {
z } ) ) )
4645raleqbi1dv 2904 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x  <->  A. y  e.  ( dom  F  u.  { z } ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  {
z } ) ) )
4744, 46anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( x  =  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  <->  ( ( dom 
F  u.  { z } )  C_  A  /\  A. y  e.  ( dom  F  u.  {
z } ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  {
z } ) ) ) )
48 raleq 2896 . . . . 5  |-  ( x  =  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( A. y  e.  x  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )  <->  A. y  e.  ( dom  F  u.  { z } ) ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )
4943, 47, 483anbi123d 1254 . . . 4  |-  ( x  =  ( dom  F  u.  { z } )  ->  ( ( C  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  <->  ( C  Fn  ( dom  F  u.  { z } )  /\  ( ( dom  F  u.  { z } ) 
C_  A  /\  A. y  e.  ( dom  F  u.  { z } ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  { z } ) )  /\  A. y  e.  ( dom  F  u.  { z } ) ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) ) )
5049spcegv 3029 . . 3  |-  ( ( dom  F  u.  {
z } )  e. 
_V  ->  ( ( C  Fn  ( dom  F  u.  { z } )  /\  ( ( dom 
F  u.  { z } )  C_  A  /\  A. y  e.  ( dom  F  u.  {
z } ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  ( dom  F  u.  {
z } ) )  /\  A. y  e.  ( dom  F  u.  { z } ) ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  ->  E. x
( C  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) )
5112, 42, 50sylc 58 . 2  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  E. x
( C  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )
5210, 11mpan2 653 . . . . 5  |-  ( dom 
F  e.  _V  ->  ( dom  F  u.  {
z } )  e. 
_V )
53 fnex 5953 . . . . 5  |-  ( ( C  Fn  ( dom 
F  u.  { z } )  /\  ( dom  F  u.  { z } )  e.  _V )  ->  C  e.  _V )
5452, 53sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( C  Fn  ( dom 
F  u.  { z } )  /\  dom  F  e.  _V )  ->  C  e.  _V )
5515, 9, 54syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  C  e.  _V )
56 fneq1 5526 . . . . . 6  |-  ( f  =  C  ->  (
f  Fn  x  <->  C  Fn  x ) )
57 fveq1 5719 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  C  ->  (
f `  y )  =  ( C `  y ) )
58 reseq1 5132 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  C  ->  (
f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
)  =  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) )
5958fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  C  ->  ( G `  ( f  |` 
Pred ( R ,  A ,  y )
) )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )
6057, 59eqeq12d 2449 . . . . . . 7  |-  ( f  =  C  ->  (
( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  <->  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) )
6160ralbidv 2717 . . . . . 6  |-  ( f  =  C  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y ) ) )  <->  A. y  e.  x  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) )
6256, 613anbi13d 1256 . . . . 5  |-  ( f  =  C  ->  (
( f  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) )  <->  ( C  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) )
6362exbidv 1636 . . . 4  |-  ( f  =  C  ->  ( E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) )  <->  E. x
( C  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) )
6463elabg 3075 . . 3  |-  ( C  e.  _V  ->  ( C  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) }  <->  E. x ( C  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) )
6555, 64syl 16 . 2  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  ( C  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  (
x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) }  <->  E. x ( C  Fn  x  /\  ( x  C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  x )  /\  A. y  e.  x  ( C `  y )  =  ( G `  ( C  |`  Pred ( R ,  A , 
y ) ) ) ) ) )
6651, 65mpbird 224 1  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  dom  F )  /\  Pred ( R , 
( A  \  dom  F ) ,  z )  =  (/) )  ->  C  e.  { f  |  E. x ( f  Fn  x  /\  ( x 
C_  A  /\  A. y  e.  x  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  x
)  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  Pred ( R ,  A ,  y )
) ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    u. cun 3310    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   <.cop 3809   Se wse 4531    We wwe 4532   dom cdm 4870    |` cres 4872    Fn wfn 5441   ` cfv 5446   Predcpred 25430  wrecscwrecs 25522
This theorem is referenced by:  wfrlem16  25545
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-pred 25431  df-wrecs 25523
  Copyright terms: Public domain W3C validator