MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wofib Structured version   Unicode version

Theorem wofib 7506
Description: The only sets which are well-ordered forwards and backwards are finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
wofib.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
wofib  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  <->  ( R  We  A  /\  `' R  We  A
) )

Proof of Theorem wofib
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wofi 7348 . . 3  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  R  We  A )
2 cnvso 5403 . . . 4  |-  ( R  Or  A  <->  `' R  Or  A )
3 wofi 7348 . . . 4  |-  ( ( `' R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  `' R  We  A )
42, 3sylanb 459 . . 3  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  `' R  We  A
)
51, 4jca 519 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( R  We  A  /\  `' R  We  A
) )
6 weso 4565 . . . 4  |-  ( R  We  A  ->  R  Or  A )
76adantr 452 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  `' R  We  A
)  ->  R  Or  A )
8 peano2 4857 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
9 sucidg 4651 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  y  e.  suc  y )
10 vex 2951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
11 vex 2951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
1210, 11brcnv 5047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z `'  _E  y  <->  y  _E  z )
13 epel 4489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  _E  z  <->  y  e.  z )
1412, 13bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z `'  _E  y  <->  y  e.  z )
15 eleq2 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( y  e.  z  <-> 
y  e.  suc  y
) )
1614, 15syl5bb 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( z `'  _E  y 
<->  y  e.  suc  y
) )
1716rspcev 3044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( suc  y  e.  om  /\  y  e.  suc  y
)  ->  E. z  e.  om  z `'  _E  y )
188, 9, 17syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  E. z  e.  om  z `'  _E  y )
19 dfrex2 2710 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  om  z `'  _E  y  <->  -.  A. z  e.  om  -.  z `'  _E  y )
2018, 19sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  om  ->  -.  A. z  e.  om  -.  z `'  _E  y
)
2120nrex 2800 . . . . . 6  |-  -.  E. y  e.  om  A. z  e.  om  -.  z `'  _E  y
22 ordom 4846 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
23 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |- OrdIso ( R ,  A )  = OrdIso
( R ,  A
)
2423oicl 7490 . . . . . . . 8  |-  Ord  dom OrdIso ( R ,  A )
25 ordtri1 4606 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  Ord  dom OrdIso ( R ,  A ) )  ->  ( om  C_ 
dom OrdIso ( R ,  A
)  <->  -.  dom OrdIso ( R ,  A )  e. 
om ) )
2622, 24, 25mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( om  C_  dom OrdIso ( R ,  A )  <->  -.  dom OrdIso ( R ,  A )  e. 
om )
27 wofib.1 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e. 
_V
2823oion 7497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  dom OrdIso ( R ,  A )  e.  On )
2927, 28mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  We  A  /\  `' R  We  A
)  /\  om  C_  dom OrdIso ( R ,  A ) )  ->  dom OrdIso ( R ,  A )  e.  On )
30 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  We  A  /\  `' R  We  A
)  /\  om  C_  dom OrdIso ( R ,  A ) )  ->  om  C_  dom OrdIso ( R ,  A ) )
3129, 30ssexd 4342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  `' R  We  A
)  /\  om  C_  dom OrdIso ( R ,  A ) )  ->  om  e.  _V )
3223oiiso 7498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  _V  /\  R  We  A )  -> OrdIso ( R ,  A
)  Isom  _E  ,  R  ( dom OrdIso ( R ,  A ) ,  A
) )
3327, 32mpan 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  We  A  -> OrdIso ( R ,  A )  Isom  _E  ,  R  ( dom OrdIso ( R ,  A ) ,  A ) )
34 isocnv2 6043 . . . . . . . . . . . 12  |-  (OrdIso ( R ,  A )  Isom  _E  ,  R  ( dom OrdIso ( R ,  A ) ,  A
)  <-> OrdIso ( R ,  A
)  Isom  `'  _E  ,  `' R ( dom OrdIso ( R ,  A ) ,  A ) )
3533, 34sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  We  A  -> OrdIso ( R ,  A )  Isom  `'  _E  ,  `' R
( dom OrdIso ( R ,  A ) ,  A
) )
36 wefr 4564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' R  We  A  ->  `' R  Fr  A
)
37 isofr 6054 . . . . . . . . . . . 12  |-  (OrdIso ( R ,  A )  Isom  `'  _E  ,  `' R
( dom OrdIso ( R ,  A ) ,  A
)  ->  ( `'  _E  Fr  dom OrdIso ( R ,  A )  <->  `' R  Fr  A ) )
3837biimpar 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (OrdIso ( R ,  A
)  Isom  `'  _E  ,  `' R ( dom OrdIso ( R ,  A ) ,  A )  /\  `' R  Fr  A )  ->  `'  _E  Fr  dom OrdIso ( R ,  A ) )
3935, 36, 38syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  We  A  /\  `' R  We  A
)  ->  `'  _E  Fr  dom OrdIso ( R ,  A ) )
4039adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  `' R  We  A
)  /\  om  C_  dom OrdIso ( R ,  A ) )  ->  `'  _E  Fr  dom OrdIso ( R ,  A ) )
41 1onn 6874 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  om
42 ne0i 3626 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o  e.  om  ->  om  =/=  (/) )
4341, 42mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  We  A  /\  `' R  We  A
)  /\  om  C_  dom OrdIso ( R ,  A ) )  ->  om  =/=  (/) )
44 fri 4536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( om  e.  _V  /\  `'  _E  Fr  dom OrdIso ( R ,  A ) )  /\  ( om  C_  dom OrdIso ( R ,  A )  /\  om  =/=  (/) ) )  ->  E. y  e.  om  A. z  e.  om  -.  z `'  _E  y
)
4531, 40, 30, 43, 44syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  We  A  /\  `' R  We  A
)  /\  om  C_  dom OrdIso ( R ,  A ) )  ->  E. y  e.  om  A. z  e. 
om  -.  z `'  _E  y )
4645ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( R  We  A  /\  `' R  We  A
)  ->  ( om  C_ 
dom OrdIso ( R ,  A
)  ->  E. y  e.  om  A. z  e. 
om  -.  z `'  _E  y ) )
4726, 46syl5bir 210 . . . . . 6  |-  ( ( R  We  A  /\  `' R  We  A
)  ->  ( -.  dom OrdIso ( R ,  A
)  e.  om  ->  E. y  e.  om  A. z  e.  om  -.  z `'  _E  y ) )
4821, 47mt3i 120 . . . . 5  |-  ( ( R  We  A  /\  `' R  We  A
)  ->  dom OrdIso ( R ,  A )  e. 
om )
49 ssid 3359 . . . . 5  |-  dom OrdIso ( R ,  A )  C_  dom OrdIso ( R ,  A
)
50 ssnnfi 7320 . . . . 5  |-  ( ( dom OrdIso ( R ,  A )  e.  om  /\ 
dom OrdIso ( R ,  A
)  C_  dom OrdIso ( R ,  A ) )  ->  dom OrdIso ( R ,  A )  e.  Fin )
5148, 49, 50sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  `' R  We  A
)  ->  dom OrdIso ( R ,  A )  e. 
Fin )
52 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( R  We  A  /\  `' R  We  A
)  ->  R  We  A )
5323oien 7499 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  R  We  A )  ->  dom OrdIso ( R ,  A )  ~~  A
)
5427, 52, 53sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( R  We  A  /\  `' R  We  A
)  ->  dom OrdIso ( R ,  A )  ~~  A )
55 enfi 7317 . . . . 5  |-  ( dom OrdIso ( R ,  A ) 
~~  A  ->  ( dom OrdIso ( R ,  A
)  e.  Fin  <->  A  e.  Fin ) )
5654, 55syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  `' R  We  A
)  ->  ( dom OrdIso ( R ,  A )  e.  Fin  <->  A  e.  Fin ) )
5751, 56mpbid 202 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  `' R  We  A
)  ->  A  e.  Fin )
587, 57jca 519 . 2  |-  ( ( R  We  A  /\  `' R  We  A
)  ->  ( R  Or  A  /\  A  e. 
Fin ) )
595, 58impbii 181 1  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  <->  ( R  We  A  /\  `' R  We  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   (/)c0 3620   class class class wbr 4204    _E cep 4484    Or wor 4494    Fr wfr 4530    We wwe 4532   Ord word 4572   Oncon0 4573   suc csuc 4575   omcom 4837   `'ccnv 4869   dom cdm 4870    Isom wiso 5447   1oc1o 6709    ~~ cen 7098   Fincfn 7101  OrdIsocoi 7470
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-riota 6541  df-recs 6625  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105  df-oi 7471
  Copyright terms: Public domain W3C validator