MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdf Structured version   Unicode version

Theorem wrdf 11738
Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
wrdf  |-  ( W  e. Word  S  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> S )

Proof of Theorem wrdf
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswrd 11734 . 2  |-  ( W  e. Word  S  <->  E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S )
2 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ l ) --> S )  ->  W : ( 0..^ l ) --> S )
3 ffn 5594 . . . . . . . 8  |-  ( W : ( 0..^ l ) --> S  ->  W  Fn  ( 0..^ l ) )
4 hashfn 11654 . . . . . . . 8  |-  ( W  Fn  ( 0..^ l )  ->  ( # `  W
)  =  ( # `  ( 0..^ l ) ) )
53, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( W : ( 0..^ l ) --> S  ->  ( # `
 W )  =  ( # `  (
0..^ l ) ) )
6 hashfzo0 11700 . . . . . . 7  |-  ( l  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ l ) )  =  l )
75, 6sylan9eqr 2492 . . . . . 6  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ l ) --> S )  -> 
( # `  W )  =  l )
87oveq2d 6100 . . . . 5  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ l ) --> S )  -> 
( 0..^ ( # `  W ) )  =  ( 0..^ l ) )
98feq2d 5584 . . . 4  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ l ) --> S )  -> 
( W : ( 0..^ ( # `  W
) ) --> S  <->  W :
( 0..^ l ) --> S ) )
102, 9mpbird 225 . . 3  |-  ( ( l  e.  NN0  /\  W : ( 0..^ l ) --> S )  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> S )
1110rexlimiva 2827 . 2  |-  ( E. l  e.  NN0  W : ( 0..^ l ) --> S  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> S )
121, 11sylbi 189 1  |-  ( W  e. Word  S  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   0cc0 8995   NN0cn0 10226  ..^cfzo 11140   #chash 11623  Word cword 11722
This theorem is referenced by:  wrdfin  11739  ccatcl  11748  ccatlid  11753  ccatrid  11754  ccatass  11755  eqs1  11766  swrdcl  11771  swrdval2  11772  swrd0val  11773  swrd0len  11774  swrdid  11777  ccatswrd  11778  swrdccat1  11779  swrdccat2  11780  cats1un  11795  wrdind  11796  revcl  11798  revlen  11799  revccat  11803  revrev  11804  wrdco  11805  lenco  11806  revco  11808  ccatco  11809  gsumwsubmcl  14789  gsumccat  14792  gsumwmhm  14795  frmdss2  14813  efginvrel1  15365  efgsf  15366  efgsrel  15371  efgs1b  15373  efgredlemf  15378  efgredlemd  15381  efgredlemc  15382  efgredlem  15384  frgpup3lem  15414  pgpfaclem1  15644  ablfaclem2  15649  ablfaclem3  15650  ablfac2  15652  dchrptlem1  21053  dchrptlem2  21054  wrdumgra  21356  istrl2  21543  usgrnloop  21568  is2wlk  21570  redwlklem  21610  redwlk  21611  wlkdvspthlem  21612  nvnencycllem  21635  constr3trllem2  21643  4cycl4dv  21659  vdegp1ai  21711  vdegp1bi  21712  symgtrinv  27403  psgnunilem5  27407  psgnunilem2  27408  psgnunilem3  27409  wrdlen1  28198  wrdsymb0  28201  wrdfn  28202  wrdsymb  28204  2wrdeq  28206  swrdnd  28215  swrdvalodm2  28221  swrdvalodm  28222  lswrdn0  28293  lswrd0  28294  cshw1v  28309  usgra2wlkspthlem1  28343  usgra2wlkspthlem2  28344  wlkiswwlk1  28371  wlkiswwlk2lem3  28374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-hash 11624  df-word 11728
  Copyright terms: Public domain W3C validator