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Theorem wunex2 8613
Description: Construct a weak universe from a given set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wunex2.f  |-  F  =  ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om )
wunex2.u  |-  U  = 
U. ran  F
Assertion
Ref Expression
wunex2  |-  ( A  e.  V  ->  ( U  e. WUni  /\  A  C_  U ) )
Distinct variable group:    x, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)    U( x, y, z)    F( x, y, z)    V( x, y, z)

Proof of Theorem wunex2
Dummy variables  u  a  v  w  b  m  n  i  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wunex2.u . . . . . . . 8  |-  U  = 
U. ran  F
21eleq2i 2500 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  U  <->  a  e.  U.
ran  F )
3 frfnom 6692 . . . . . . . . 9  |-  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om )  Fn  om
4 wunex2.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om )
54fneq1i 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  om  <->  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om )  Fn  om )
63, 5mpbir 201 . . . . . . . 8  |-  F  Fn  om
7 fnunirn 5999 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  om  ->  (
a  e.  U. ran  F  <->  E. m  e.  om  a  e.  ( F `  m ) ) )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  U. ran  F  <->  E. m  e.  om  a  e.  ( F `  m
) )
92, 8bitri 241 . . . . . 6  |-  ( a  e.  U  <->  E. m  e.  om  a  e.  ( F `  m ) )
10 elssuni 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ( F `  m )  ->  a  C_ 
U. ( F `  m ) )
1110ad2antll 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  a  C_  U. ( F `  m
) )
12 ssun2 3511 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( F `  m )  C_  ( ( F `  m )  u.  U. ( F `  m ) )
13 ssun1 3510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  m )  u.  U. ( F `
 m ) ) 
C_  ( ( ( F `  m )  u.  U. ( F `
 m ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  m
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) ) )
1412, 13sstri 3357 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( F `  m )  C_  ( ( ( F `
 m )  u. 
U. ( F `  m ) )  u. 
U_ u  e.  ( F `  m ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { u ,  v } ) ) )
1511, 14syl6ss 3360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  a  C_  ( ( ( F `
 m )  u. 
U. ( F `  m ) )  u. 
U_ u  e.  ( F `  m ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { u ,  v } ) ) ) )
16 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  m  e.  om )
17 fvex 5742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 m )  e. 
_V
1817uniex 4705 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( F `  m )  e.  _V
1917, 18unex 4707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  m )  u.  U. ( F `
 m ) )  e.  _V
20 prex 4406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { ~P u ,  U. u }  e.  _V
2117mptex 5966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } )  e.  _V
2221rnex 5133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  (
v  e.  ( F `
 m )  |->  { u ,  v } )  e.  _V
2320, 22unex 4707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { u ,  v } ) )  e. 
_V
2417, 23iunex 5991 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ u  e.  ( F `  m
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) )  e.  _V
2519, 24unex 4707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  m
)  u.  U. ( F `  m )
)  u.  U_ u  e.  ( F `  m
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) ) )  e.  _V
26 id 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  w  =  z )
27 unieq 4024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  U. w  =  U. z )
2826, 27uneq12d 3502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  (
w  u.  U. w
)  =  ( z  u.  U. z ) )
29 pweq 3802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  x  ->  ~P u  =  ~P x
)
30 unieq 4024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  x  ->  U. u  =  U. x )
3129, 30preq12d 3891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  x  ->  { ~P u ,  U. u }  =  { ~P x ,  U. x } )
32 preq2 3884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  y  ->  { u ,  v }  =  { u ,  y } )
3332cbvmptv 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ( y  e.  w  |->  { u ,  y } )
34 preq1 3883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  x  ->  { u ,  y }  =  { x ,  y } )
3534mpteq2dv 4296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  x  ->  (
y  e.  w  |->  { u ,  y } )  =  ( y  e.  w  |->  { x ,  y } ) )
3633, 35syl5eq 2480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  x  ->  (
v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ( y  e.  w  |->  { x ,  y } ) )
3736rneqd 5097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  x  ->  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ran  ( y  e.  w  |->  { x ,  y } ) )
3831, 37uneq12d 3502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  x  ->  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  w  |->  { x ,  y } ) ) )
3938cbviunv 4130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  U_ x  e.  w  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  w  |->  { x ,  y } ) )
40 mpteq1 4289 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  z  ->  (
y  e.  w  |->  { x ,  y } )  =  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) )
4140rneqd 5097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  z  ->  ran  ( y  e.  w  |->  { x ,  y } )  =  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) )
4241uneq2d 3501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  w  |->  { x ,  y } ) )  =  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) )
4326, 42iuneq12d 4117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  U_ x  e.  w  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  w  |->  { x ,  y } ) )  =  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) )
4439, 43syl5eq 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) )
4528, 44uneq12d 3502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  (
( w  u.  U. w )  u.  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) ) )  =  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) ) )
46 id 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F `  m )  ->  w  =  ( F `  m ) )
47 unieq 4024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F `  m )  ->  U. w  =  U. ( F `  m ) )
4846, 47uneq12d 3502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F `  m )  ->  (
w  u.  U. w
)  =  ( ( F `  m )  u.  U. ( F `
 m ) ) )
49 mpteq1 4289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( F `  m )  ->  (
v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) )
5049rneqd 5097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( F `  m )  ->  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { u ,  v } ) )
5150uneq2d 3501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( F `  m )  ->  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { u ,  v } ) ) )
5246, 51iuneq12d 4117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F `  m )  ->  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  U_ u  e.  ( F `  m
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) ) )
5348, 52uneq12d 3502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( F `  m )  ->  (
( w  u.  U. w )  u.  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) ) )  =  ( ( ( F `  m )  u.  U. ( F `
 m ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  m
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) ) ) )
544, 45, 53frsucmpt2 6697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( ( F `
 m )  u. 
U. ( F `  m ) )  u. 
U_ u  e.  ( F `  m ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { u ,  v } ) ) )  e.  _V )  -> 
( F `  suc  m )  =  ( ( ( F `  m )  u.  U. ( F `  m ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  m
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) ) ) )
5516, 25, 54sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  ( F `  suc  m )  =  ( ( ( F `
 m )  u. 
U. ( F `  m ) )  u. 
U_ u  e.  ( F `  m ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { u ,  v } ) ) ) )
5615, 55sseqtr4d 3385 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  a  C_  ( F `  suc  m
) )
57 fvssunirn 5754 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 suc  m )  C_ 
U. ran  F
5857, 1sseqtr4i 3381 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 suc  m )  C_  U
5956, 58syl6ss 3360 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  a  C_  U )
6059rexlimdvaa 2831 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( E. m  e.  om  a  e.  ( F `  m )  ->  a  C_  U ) )
619, 60syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
a  e.  U  -> 
a  C_  U )
)
6261ralrimiv 2788 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A. a  e.  U  a  C_  U )
63 dftr3 4306 . . . 4  |-  ( Tr  U  <->  A. a  e.  U  a  C_  U )
6462, 63sylibr 204 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  Tr  U )
65 1on 6731 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  On
66 unexg 4710 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  1o  e.  On )  -> 
( A  u.  1o )  e.  _V )
6765, 66mpan2 653 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  u.  1o )  e.  _V )
684fveq1i 5729 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 (/) )  =  ( ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om ) `  (/) )
69 fr0g 6693 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  1o )  e.  _V  ->  (
( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om ) `  (/) )  =  ( A  u.  1o ) )
7068, 69syl5eq 2480 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  1o )  e.  _V  ->  ( F `  (/) )  =  ( A  u.  1o ) )
7167, 70syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( F `  (/) )  =  ( A  u.  1o ) )
72 fvssunirn 5754 . . . . . . 7  |-  ( F `
 (/) )  C_  U. ran  F
7372, 1sseqtr4i 3381 . . . . . 6  |-  ( F `
 (/) )  C_  U
7471, 73syl6eqssr 3399 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  u.  1o )  C_  U )
7574unssbd 3525 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  1o  C_  U )
76 1n0 6739 . . . 4  |-  1o  =/=  (/)
77 ssn0 3660 . . . 4  |-  ( ( 1o  C_  U  /\  1o  =/=  (/) )  ->  U  =/=  (/) )
7875, 76, 77sylancl 644 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  U  =/=  (/) )
79 pweq 3802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  a  ->  ~P u  =  ~P a
)
80 unieq 4024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  a  ->  U. u  =  U. a )
8179, 80preq12d 3891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  a  ->  { ~P u ,  U. u }  =  { ~P a ,  U. a } )
82 preq1 3883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  a  ->  { u ,  v }  =  { a ,  v } )
8382mpteq2dv 4296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  a  ->  (
v  e.  ( F `
 m )  |->  { u ,  v } )  =  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { a ,  v } ) )
8483rneqd 5097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  a  ->  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { u ,  v } )  =  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { a ,  v } ) )
8581, 84uneq12d 3502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  a  ->  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { u ,  v } ) )  =  ( { ~P a ,  U. a }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { a ,  v } ) ) )
8685ssiun2s 4135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( F `  m )  ->  ( { ~P a ,  U. a }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { a ,  v } ) )  C_  U_ u  e.  ( F `
 m ) ( { ~P u , 
U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { u ,  v } ) ) )
8786ad2antll 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  ( { ~P a ,  U. a }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { a ,  v } ) )  C_  U_ u  e.  ( F `  m
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) ) )
88 ssun2 3511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ u  e.  ( F `  m
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) )  C_  ( (
( F `  m
)  u.  U. ( F `  m )
)  u.  U_ u  e.  ( F `  m
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) ) )
8988, 55syl5sseqr 3397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  U_ u  e.  ( F `  m
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) )  C_  ( F `  suc  m ) )
9089, 58syl6ss 3360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  U_ u  e.  ( F `  m
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) )  C_  U )
9187, 90sstrd 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  ( { ~P a ,  U. a }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { a ,  v } ) )  C_  U )
9291unssad 3524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  { ~P a ,  U. a }  C_  U )
93 vex 2959 . . . . . . . . . . 11  |-  a  e. 
_V
9493pwex 4382 . . . . . . . . . 10  |-  ~P a  e.  _V
9593uniex 4705 . . . . . . . . . 10  |-  U. a  e.  _V
9694, 95prss 3952 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P a  e.  U  /\  U. a  e.  U
)  <->  { ~P a , 
U. a }  C_  U )
9792, 96sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  ( ~P a  e.  U  /\  U. a  e.  U ) )
9897simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  U. a  e.  U )
9997simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  ~P a  e.  U )
1001eleq2i 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  U  <->  b  e.  U.
ran  F )
101 fnunirn 5999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  om  ->  (
b  e.  U. ran  F  <->  E. n  e.  om  b  e.  ( F `  n ) ) )
1026, 101ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  U. ran  F  <->  E. n  e.  om  b  e.  ( F `  n
) )
103100, 102bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  U  <->  E. n  e.  om  b  e.  ( F `  n ) )
104 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  ->  m  e.  om )
105 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  ->  n  e.  om )
106 ordom 4854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Ord  om
107 ordunel 4807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Ord  om  /\  m  e.  om  /\  n  e. 
om )  ->  (
m  u.  n )  e.  om )
108106, 107mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  om  /\  n  e.  om )  ->  ( m  u.  n
)  e.  om )
109104, 105, 108syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  -> 
( m  u.  n
)  e.  om )
110 ssun1 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  m  C_  ( m  u.  n
)
111 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
112111sseq2d 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  m
)  C_  ( F `  k )  <->  ( F `  m )  C_  ( F `  m )
) )
113 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  ( F `  k )  =  ( F `  i ) )
114113sseq2d 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  m
)  C_  ( F `  k )  <->  ( F `  m )  C_  ( F `  i )
) )
115 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  suc  i  -> 
( F `  k
)  =  ( F `
 suc  i )
)
116115sseq2d 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  suc  i  -> 
( ( F `  m )  C_  ( F `  k )  <->  ( F `  m ) 
C_  ( F `  suc  i ) ) )
117 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( m  u.  n )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( m  u.  n
) ) )
118117sseq2d 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( m  u.  n )  ->  (
( F `  m
)  C_  ( F `  k )  <->  ( F `  m )  C_  ( F `  ( m  u.  n ) ) ) )
119 ssid 3367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F `
 m )  C_  ( F `  m )
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  om  ->  ( F `  m )  C_  ( F `  m
) )
121 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  i  ->  ( F `  m )  =  ( F `  i ) )
122 suceq 4646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  i  ->  suc  m  =  suc  i )
123122fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  i  ->  ( F `  suc  m )  =  ( F `  suc  i ) )
124121, 123sseq12d 3377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  i  ->  (
( F `  m
)  C_  ( F `  suc  m )  <->  ( F `  i )  C_  ( F `  suc  i ) ) )
125 ssun1 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F `
 m )  C_  ( ( F `  m )  u.  U. ( F `  m ) )
126125, 13sstri 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F `
 m )  C_  ( ( ( F `
 m )  u. 
U. ( F `  m ) )  u. 
U_ u  e.  ( F `  m ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m ) 
|->  { u ,  v } ) ) )
12725, 54mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  om  ->  ( F `  suc  m )  =  ( ( ( F `  m )  u.  U. ( F `
 m ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  m
) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  m )  |->  { u ,  v } ) ) ) )
128126, 127syl5sseqr 3397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  om  ->  ( F `  m )  C_  ( F `  suc  m ) )
129124, 128vtoclga 3017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  om  ->  ( F `  i )  C_  ( F `  suc  i ) )
130129ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( i  e.  om  /\  m  e.  om )  /\  m  C_  i )  ->  ( F `  i )  C_  ( F `  suc  i ) )
131 sstr2 3355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  m ) 
C_  ( F `  i )  ->  (
( F `  i
)  C_  ( F `  suc  i )  -> 
( F `  m
)  C_  ( F `  suc  i ) ) )
132130, 131syl5com 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( i  e.  om  /\  m  e.  om )  /\  m  C_  i )  ->  ( ( F `
 m )  C_  ( F `  i )  ->  ( F `  m )  C_  ( F `  suc  i ) ) )
133112, 114, 116, 118, 120, 132findsg 4872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( m  u.  n )  e.  om  /\  m  e.  om )  /\  m  C_  ( m  u.  n ) )  ->  ( F `  m )  C_  ( F `  ( m  u.  n ) ) )
134110, 133mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  u.  n
)  e.  om  /\  m  e.  om )  ->  ( F `  m
)  C_  ( F `  ( m  u.  n
) ) )
135109, 104, 134syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  -> 
( F `  m
)  C_  ( F `  ( m  u.  n
) ) )
136 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  -> 
a  e.  ( F `
 m ) )
137135, 136sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  -> 
a  e.  ( F `
 ( m  u.  n ) ) )
13882mpteq2dv 4296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  a  ->  (
v  e.  ( F `
 ( m  u.  n ) )  |->  { u ,  v } )  =  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  |->  { a ,  v } ) )
139138rneqd 5097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  a  ->  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { u ,  v } )  =  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { a ,  v } ) )
14081, 139uneq12d 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  a  ->  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { u ,  v } ) )  =  ( { ~P a ,  U. a }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { a ,  v } ) ) )
141140ssiun2s 4135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  ->  ( { ~P a ,  U. a }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { a ,  v } ) )  C_  U_ u  e.  ( F `
 ( m  u.  n ) ) ( { ~P u , 
U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { u ,  v } ) ) )
142137, 141syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  -> 
( { ~P a ,  U. a }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { a ,  v } ) )  C_  U_ u  e.  ( F `
 ( m  u.  n ) ) ( { ~P u , 
U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { u ,  v } ) ) )
143 ssun2 3511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ u  e.  ( F `  (
m  u.  n ) ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  |->  { u ,  v } ) )  C_  ( (
( F `  (
m  u.  n ) )  u.  U. ( F `  ( m  u.  n ) ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  (
m  u.  n ) ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  |->  { u ,  v } ) ) )
144 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F `
 ( m  u.  n ) )  e. 
_V
145144uniex 4705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. ( F `  ( m  u.  n ) )  e. 
_V
146144, 145unex 4707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  ( m  u.  n ) )  u.  U. ( F `
 ( m  u.  n ) ) )  e.  _V
147144mptex 5966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  |->  { u ,  v } )  e.  _V
148147rnex 5133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ran  (
v  e.  ( F `
 ( m  u.  n ) )  |->  { u ,  v } )  e.  _V
14920, 148unex 4707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { u ,  v } ) )  e. 
_V
150144, 149iunex 5991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ u  e.  ( F `  (
m  u.  n ) ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  |->  { u ,  v } ) )  e.  _V
151146, 150unex 4707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  (
m  u.  n ) )  u.  U. ( F `  ( m  u.  n ) ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  (
m  u.  n ) ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  |->  { u ,  v } ) ) )  e.  _V
152 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( F `  ( m  u.  n
) )  ->  w  =  ( F `  ( m  u.  n
) ) )
153 unieq 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( F `  ( m  u.  n
) )  ->  U. w  =  U. ( F `  ( m  u.  n
) ) )
154152, 153uneq12d 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  ( F `  ( m  u.  n
) )  ->  (
w  u.  U. w
)  =  ( ( F `  ( m  u.  n ) )  u.  U. ( F `
 ( m  u.  n ) ) ) )
155 mpteq1 4289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  ( F `  ( m  u.  n
) )  ->  (
v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  |->  { u ,  v } ) )
156155rneqd 5097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  ( F `  ( m  u.  n
) )  ->  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } )  =  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { u ,  v } ) )
157156uneq2d 3501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( F `  ( m  u.  n
) )  ->  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { u ,  v } ) ) )
158152, 157iuneq12d 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  ( F `  ( m  u.  n
) )  ->  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) )  =  U_ u  e.  ( F `  (
m  u.  n ) ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  |->  { u ,  v } ) ) )
159154, 158uneq12d 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( F `  ( m  u.  n
) )  ->  (
( w  u.  U. w )  u.  U_ u  e.  w  ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  w  |->  { u ,  v } ) ) )  =  ( ( ( F `  ( m  u.  n ) )  u.  U. ( F `
 ( m  u.  n ) ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  (
m  u.  n ) ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  |->  { u ,  v } ) ) ) )
1604, 45, 159frsucmpt2 6697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  u.  n
)  e.  om  /\  ( ( ( F `
 ( m  u.  n ) )  u. 
U. ( F `  ( m  u.  n
) ) )  u. 
U_ u  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { u ,  v } ) ) )  e.  _V )  -> 
( F `  suc  ( m  u.  n
) )  =  ( ( ( F `  ( m  u.  n
) )  u.  U. ( F `  ( m  u.  n ) ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  (
m  u.  n ) ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  |->  { u ,  v } ) ) ) )
161109, 151, 160sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  -> 
( F `  suc  ( m  u.  n
) )  =  ( ( ( F `  ( m  u.  n
) )  u.  U. ( F `  ( m  u.  n ) ) )  u.  U_ u  e.  ( F `  (
m  u.  n ) ) ( { ~P u ,  U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  |->  { u ,  v } ) ) ) )
162143, 161syl5sseqr 3397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  ->  U_ u  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) ( { ~P u , 
U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { u ,  v } ) )  C_  ( F `  suc  (
m  u.  n ) ) )
163 fvssunirn 5754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 suc  ( m  u.  n ) )  C_  U.
ran  F
164163, 1sseqtr4i 3381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F `
 suc  ( m  u.  n ) )  C_  U
165162, 164syl6ss 3360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  ->  U_ u  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) ( { ~P u , 
U. u }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { u ,  v } ) )  C_  U )
166142, 165sstrd 3358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  -> 
( { ~P a ,  U. a }  u.  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { a ,  v } ) )  C_  U )
167166unssbd 3525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  ->  ran  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n ) ) 
|->  { a ,  v } )  C_  U
)
168 ssun2 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  n  C_  ( m  u.  n
)
169 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  ( m  u.  n )  ->  i  =  ( m  u.  n ) )
170168, 169syl5sseqr 3397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  ( m  u.  n )  ->  n  C_  i )
171170biantrud 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  ( m  u.  n )  ->  (
n  e.  om  <->  ( n  e.  om  /\  n  C_  i ) ) )
172171bicomd 193 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  ( m  u.  n )  ->  (
( n  e.  om  /\  n  C_  i )  <->  n  e.  om ) )
173 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  ( m  u.  n )  ->  ( F `  i )  =  ( F `  ( m  u.  n
) ) )
174173sseq2d 3376 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  ( m  u.  n )  ->  (
( F `  n
)  C_  ( F `  i )  <->  ( F `  n )  C_  ( F `  ( m  u.  n ) ) ) )
175172, 174imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  ( m  u.  n )  ->  (
( ( n  e. 
om  /\  n  C_  i
)  ->  ( F `  n )  C_  ( F `  i )
)  <->  ( n  e. 
om  ->  ( F `  n )  C_  ( F `  ( m  u.  n ) ) ) ) )
176 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  n  ->  (
m  e.  om  <->  n  e.  om ) )
177176anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  n  ->  (
( i  e.  om  /\  m  e.  om )  <->  ( i  e.  om  /\  n  e.  om )
) )
178 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  n  ->  (
m  C_  i  <->  n  C_  i
) )
179177, 178anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( i  e. 
om  /\  m  e.  om )  /\  m  C_  i )  <->  ( (
i  e.  om  /\  n  e.  om )  /\  n  C_  i ) ) )
180 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  n  ->  ( F `  m )  =  ( F `  n ) )
181180sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  (
( F `  m
)  C_  ( F `  i )  <->  ( F `  n )  C_  ( F `  i )
) )
182179, 181imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( ( i  e.  om  /\  m  e.  om )  /\  m  C_  i )  ->  ( F `  m )  C_  ( F `  i
) )  <->  ( (
( i  e.  om  /\  n  e.  om )  /\  n  C_  i )  ->  ( F `  n )  C_  ( F `  i )
) ) )
183112, 114, 116, 114, 120, 132findsg 4872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( i  e.  om  /\  m  e.  om )  /\  m  C_  i )  ->  ( F `  m )  C_  ( F `  i )
)
184182, 183chvarv 1969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  e.  om  /\  n  e.  om )  /\  n  C_  i )  ->  ( F `  n )  C_  ( F `  i )
)
185184expl 602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  om  ->  (
( n  e.  om  /\  n  C_  i )  ->  ( F `  n
)  C_  ( F `  i ) ) )
186175, 185vtoclga 3017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  u.  n )  e.  om  ->  (
n  e.  om  ->  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( m  u.  n
) ) ) )
187109, 105, 186sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  -> 
( F `  n
)  C_  ( F `  ( m  u.  n
) ) )
188 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  -> 
b  e.  ( F `
 n ) )
189187, 188sseldd 3349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  -> 
b  e.  ( F `
 ( m  u.  n ) ) )
190 prex 4406 . . . . . . . . . . . 12  |-  { a ,  b }  e.  _V
191 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ( F `  ( m  u.  n
) )  |->  { a ,  v } )  =  ( v  e.  ( F `  (
m  u.  n ) )  |->  { a ,  v } )
192 preq2 3884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  b  ->  { a ,  v }  =  { a ,  b } )
193191, 192elrnmpt1s 5118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ( F `
 ( m  u.  n ) )  /\  { a ,  b }  e.  _V )  ->  { a ,  b }  e.  ran  (
v  e.  ( F `
 ( m  u.  n ) )  |->  { a ,  v } ) )
194189, 190, 193sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  ->  { a ,  b }  e.  ran  (
v  e.  ( F `
 ( m  u.  n ) )  |->  { a ,  v } ) )
195167, 194sseldd 3349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  /\  ( n  e.  om  /\  b  e.  ( F `  n
) ) )  ->  { a ,  b }  e.  U )
196195rexlimdvaa 2831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  ( E. n  e.  om  b  e.  ( F `  n
)  ->  { a ,  b }  e.  U ) )
197103, 196syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  ( b  e.  U  ->  { a ,  b }  e.  U ) )
198197ralrimiv 2788 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  A. b  e.  U  { a ,  b }  e.  U )
19998, 99, 1983jca 1134 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( m  e.  om  /\  a  e.  ( F `
 m ) ) )  ->  ( U. a  e.  U  /\  ~P a  e.  U  /\  A. b  e.  U  { a ,  b }  e.  U ) )
200199rexlimdvaa 2831 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( E. m  e.  om  a  e.  ( F `  m )  ->  ( U. a  e.  U  /\  ~P a  e.  U  /\  A. b  e.  U  { a ,  b }  e.  U ) ) )
2019, 200syl5bi 209 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
a  e.  U  -> 
( U. a  e.  U  /\  ~P a  e.  U  /\  A. b  e.  U  { a ,  b }  e.  U ) ) )
202201ralrimiv 2788 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A. a  e.  U  ( U. a  e.  U  /\  ~P a  e.  U  /\  A. b  e.  U  { a ,  b }  e.  U ) )
203 rdgfun 6674 . . . . . . . . 9  |-  Fun  rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )
204 omex 7598 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  _V
205 resfunexg 5957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  rec ( ( z  e.  _V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  /\  om  e.  _V )  ->  ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( ( z  u. 
U. z )  u. 
U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z 
|->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om )  e.  _V )
206203, 204, 205mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( ( z  u.  U. z )  u.  U_ x  e.  z  ( { ~P x ,  U. x }  u.  ran  ( y  e.  z  |->  { x ,  y } ) ) ) ) ,  ( A  u.  1o ) )  |`  om )  e.  _V
2074, 206eqeltri 2506 . . . . . . 7  |-  F  e. 
_V
208207rnex 5133 . . . . . 6  |-  ran  F  e.  _V
209208uniex 4705 . . . . 5  |-  U. ran  F  e.  _V
2101, 209eqeltri 2506 . . . 4  |-  U  e. 
_V
211 iswun 8579 . . . 4  |-  ( U  e.  _V  ->  ( U  e. WUni  <->  ( Tr  U  /\  U  =/=  (/)  /\  A. a  e.  U  ( U. a  e.  U  /\  ~P a  e.  U  /\  A. b  e.  U  { a ,  b }  e.  U ) ) ) )
212210, 211ax-mp 8 . . 3  |-  ( U  e. WUni 
<->  ( Tr  U  /\  U  =/=  (/)  /\  A. a  e.  U  ( U. a  e.  U  /\  ~P a  e.  U  /\  A. b  e.  U  { a ,  b }  e.  U ) ) )
21364, 78, 202, 212syl3anbrc 1138 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  U  e. WUni )
21474unssad 3524 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  U )
215213, 214jca 519 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( U  e. WUni  /\  A  C_  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    u. cun 3318    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   {cpr 3815   U.cuni 4015   U_ciun 4093    e. cmpt 4266   Tr wtr 4302   Ord word 4580   Oncon0 4581   suc csuc 4583   omcom 4845   ran crn 4879    |` cres 4880   Fun wfun 5448    Fn wfn 5449   ` cfv 5454   reccrdg 6667   1oc1o 6717  WUnicwun 8575
This theorem is referenced by:  wunex  8614  wuncval2  8622
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-wun 8577
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