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Theorem wunfi 8588
Description: A weak universe contains all finite sets with elements drawn from the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wun0.1  |-  ( ph  ->  U  e. WUni )
wunfi.2  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
wunfi.3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
wunfi  |-  ( ph  ->  A  e.  U )

Proof of Theorem wunfi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wunfi.2 . 2  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
2 wunfi.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3361 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  U  <->  (/)  C_  U
) )
4 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  U  <->  (/)  e.  U
) )
53, 4imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  C_  U  ->  x  e.  U )  <->  ( (/)  C_  U  -> 
(/)  e.  U )
) )
65imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( x  C_  U  ->  x  e.  U
) )  <->  ( ph  ->  ( (/)  C_  U  ->  (/) 
e.  U ) ) ) )
7 sseq1 3361 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  U  <->  y  C_  U ) )
8 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  U  <->  y  e.  U ) )
97, 8imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C_  U  ->  x  e.  U )  <-> 
( y  C_  U  ->  y  e.  U ) ) )
109imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  ->  ( x 
C_  U  ->  x  e.  U ) )  <->  ( ph  ->  ( y  C_  U  ->  y  e.  U ) ) ) )
11 sseq1 3361 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  C_  U 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  U ) )
12 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  U  <->  ( y  u. 
{ z } )  e.  U ) )
1311, 12imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x 
C_  U  ->  x  e.  U )  <->  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  ->  ( y  u.  {
z } )  e.  U ) ) )
1413imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  U  ->  x  e.  U ) )  <->  ( ph  ->  ( ( y  u.  {
z } )  C_  U  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  U ) ) ) )
15 sseq1 3361 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  C_  U  <->  A  C_  U
) )
16 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  U  <->  A  e.  U ) )
1715, 16imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  C_  U  ->  x  e.  U )  <-> 
( A  C_  U  ->  A  e.  U ) ) )
1817imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( ph  ->  ( x 
C_  U  ->  x  e.  U ) )  <->  ( ph  ->  ( A  C_  U  ->  A  e.  U ) ) ) )
19 wun0.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e. WUni )
2019wun0 8585 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  U )
2120a1d 23 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  U  ->  (/) 
e.  U ) )
22 ssun1 3502 . . . . . . . . 9  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
23 sstr 3348 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  ( y  u.  { z } )  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  U )  -> 
y  C_  U )
2422, 23mpan 652 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  U  ->  y  C_  U )
2524imim1i 56 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  U  ->  y  e.  U )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  U  ->  y  e.  U ) )
2619adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  /\  y  e.  U
) )  ->  U  e. WUni )
27 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  /\  y  e.  U
) )  ->  y  e.  U )
28 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  /\  y  e.  U
) )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  U
)
2928unssbd 3517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  /\  y  e.  U
) )  ->  { z }  C_  U )
30 vex 2951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
3130snss 3918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  U  <->  { z }  C_  U )
3229, 31sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  /\  y  e.  U
) )  ->  z  e.  U )
3326, 32wunsn 8583 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  /\  y  e.  U
) )  ->  { z }  e.  U )
3426, 27, 33wunun 8577 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  /\  y  e.  U
) )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  U
)
3534exp32 589 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  U  ->  (
y  e.  U  -> 
( y  u.  {
z } )  e.  U ) ) )
3635a2d 24 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  u.  { z } )  C_  U  ->  y  e.  U )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  U  ->  (
y  u.  { z } )  e.  U
) ) )
3725, 36syl5 30 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  C_  U  ->  y  e.  U
)  ->  ( (
y  u.  { z } )  C_  U  ->  ( y  u.  {
z } )  e.  U ) ) )
3837a2i 13 . . . . 5  |-  ( (
ph  ->  ( y  C_  U  ->  y  e.  U
) )  ->  ( ph  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  U  ->  ( y  u.  { z } )  e.  U
) ) )
3938a1i 11 . . . 4  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ph  ->  ( y 
C_  U  ->  y  e.  U ) )  -> 
( ph  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  U  ->  ( y  u.  {
z } )  e.  U ) ) ) )
406, 10, 14, 18, 21, 39findcard2 7340 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A  C_  U  ->  A  e.  U
) ) )
412, 40mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  U  ->  A  e.  U ) )
421, 41mpd 15 1  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3310    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   Fincfn 7101  WUnicwun 8567
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105  df-wun 8569
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