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Theorem xkoccn 17315
Description: The "constant function" function which maps 
x  e.  Y to the constant function  z  e.  X  |->  x is a continuous function from  X into the space of continuous functions from  Y to  X. This can also be understood as the currying of the first projection function. (The currying of the second projection function is  x  e.  Y  |->  ( z  e.  X  |->  z ), which we already know is continuous because it is a constant function.) (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkoccn  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x }
) )  e.  ( S  Cn  ( S  ^ k o  R
) ) )
Distinct variable groups:    x, R    x, S    x, X    x, Y

Proof of Theorem xkoccn
Dummy variables  f 
k  v  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnconst2 17013 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )  /\  x  e.  Y
)  ->  ( X  X.  { x } )  e.  ( R  Cn  S ) )
213expa 1151 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  { x }
)  e.  ( R  Cn  S ) )
3 eqid 2285 . . 3  |-  ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x }
) )  =  ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) )
42, 3fmptd 5686 . 2  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x }
) ) : Y --> ( R  Cn  S
) )
5 eqid 2285 . . . . . 6  |-  U. R  =  U. R
6 eqid 2285 . . . . . 6  |-  { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp }  =  {
z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z
)  e.  Comp }
7 eqid 2285 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { z  e. 
~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  =  ( k  e.  { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } )
85, 6, 7xkobval 17283 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } )  =  { y  |  E. k  e.  ~P  U. R E. v  e.  S  ( ( Rt  k )  e.  Comp  /\  y  =  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) }
98abeq2i 2392 . . . 4  |-  ( y  e.  ran  ( k  e.  { z  e. 
~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  <->  E. k  e.  ~P  U. R E. v  e.  S  (
( Rt  k )  e. 
Comp  /\  y  =  {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) )
102adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  {
x } )  e.  ( R  Cn  S
) )
1110adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  { x }
)  e.  ( R  Cn  S ) )
1211adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  {
x } )  e.  ( R  Cn  S
) )
13 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  k  =  (/) )
1413imaeq2d 5014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( X  X.  { x } )
" k )  =  ( ( X  X.  { x } )
" (/) ) )
15 ima0 5032 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  X.  { x } ) " (/) )  =  (/)
16 0ss 3485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (/)  C_  v
1715, 16eqsstri 3210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  X.  { x } ) " (/) )  C_  v
1817a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( X  X.  { x } )
" (/) )  C_  v
)
1914, 18eqsstrd 3214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( X  X.  { x } )
" k )  C_  v )
20 imaeq1 5009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( X  X.  { x } )  ->  ( f "
k )  =  ( ( X  X.  {
x } ) "
k ) )
2120sseq1d 3207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( X  X.  { x } )  ->  ( ( f
" k )  C_  v 
<->  ( ( X  X.  { x } )
" k )  C_  v ) )
2221elrab 2925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  X.  { x } )  e.  {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }  <->  ( ( X  X.  {
x } )  e.  ( R  Cn  S
)  /\  ( ( X  X.  { x }
) " k ) 
C_  v ) )
2312, 19, 22sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  {
x } )  e. 
{ f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )
2423ralrimiva 2628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =  (/) )  ->  A. x  e.  Y  ( X  X.  { x } )  e.  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v } )
25 rabid2 2719 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  =  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x }
)  e.  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  <->  A. x  e.  Y  ( X  X.  { x } )  e.  {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)
2624, 25sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =  (/) )  ->  Y  =  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x } )  e.  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v } } )
27 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  S  e.  (TopOn `  Y )
)
28 toponmax 16668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  S )
2927, 28syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  Y  e.  S )
3029adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =  (/) )  ->  Y  e.  S )
3126, 30eqeltrrd 2360 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =  (/) )  ->  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x }
)  e.  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  e.  S )
32 ifnefalse 3575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =/=  (/)  ->  if (
k  =  (/) ,  Y ,  v )  =  v )
3332ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  if ( k  =  (/) ,  Y ,  v )  =  v )
3433eleq2d 2352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( x  e.  if ( k  =  (/) ,  Y ,  v )  <-> 
x  e.  v ) )
35 vex 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
3635snss 3750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  v  <->  { x }  C_  v )
3734, 36syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( x  e.  if ( k  =  (/) ,  Y ,  v )  <->  { x }  C_  v ) )
38 df-ima 4704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  X.  { x } ) " k
)  =  ran  (
( X  X.  {
x } )  |`  k )
39 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  k  e.  ~P U. R )
4039ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  k  e.  ~P U. R )
41 elpwi 3635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ~P U. R  ->  k  C_  U. R )
4240, 41syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  k  C_  U. R )
43 toponuni 16667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. R )
4443ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  X  =  U. R )
4544ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  X  =  U. R
)
4642, 45sseqtr4d 3217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  k  C_  X )
47 xpssres 4991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k 
C_  X  ->  (
( X  X.  {
x } )  |`  k )  =  ( k  X.  { x } ) )
4846, 47syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( X  X.  { x } )  |`  k )  =  ( k  X.  { x } ) )
4948rneqd 4908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ran  ( ( X  X.  { x }
)  |`  k )  =  ran  ( k  X. 
{ x } ) )
5038, 49syl5eq 2329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( X  X.  { x } )
" k )  =  ran  ( k  X. 
{ x } ) )
51 rnxp 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =/=  (/)  ->  ran  ( k  X.  { x }
)  =  { x } )
5251ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ran  ( k  X. 
{ x } )  =  { x }
)
5350, 52eqtrd 2317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( X  X.  { x } )
" k )  =  { x } )
5453sseq1d 3207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( ( X  X.  { x }
) " k ) 
C_  v  <->  { x }  C_  v ) )
5511adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  {
x } )  e.  ( R  Cn  S
) )
5655biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( ( X  X.  { x }
) " k ) 
C_  v  <->  ( ( X  X.  { x }
)  e.  ( R  Cn  S )  /\  ( ( X  X.  { x } )
" k )  C_  v ) ) )
5737, 54, 563bitr2d 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( x  e.  if ( k  =  (/) ,  Y ,  v )  <-> 
( ( X  X.  { x } )  e.  ( R  Cn  S )  /\  (
( X  X.  {
x } ) "
k )  C_  v
) ) )
5834, 57bitr3d 246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( x  e.  v  <-> 
( ( X  X.  { x } )  e.  ( R  Cn  S )  /\  (
( X  X.  {
x } ) "
k )  C_  v
) ) )
5958, 22syl6bbr 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( x  e.  v  <-> 
( X  X.  {
x } )  e. 
{ f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) )
6059rabbi2dva 3379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =/=  (/) )  ->  ( Y  i^i  v )  =  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x } )  e.  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v } } )
61 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  v  e.  S )
62 toponss 16669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  (TopOn `  Y )  /\  v  e.  S )  ->  v  C_  Y )
6327, 61, 62syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  v  C_  Y )
6463adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =/=  (/) )  ->  v  C_  Y )
65 dfss1 3375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v 
C_  Y  <->  ( Y  i^i  v )  =  v )
6664, 65sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =/=  (/) )  ->  ( Y  i^i  v )  =  v )
6760, 66eqtr3d 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =/=  (/) )  ->  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x }
)  e.  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  =  v )
6861adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =/=  (/) )  ->  v  e.  S )
6967, 68eqeltrd 2359 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =/=  (/) )  ->  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x }
)  e.  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  e.  S )
7031, 69pm2.61dane 2526 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x }
)  e.  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  e.  S )
71 imaeq2 5010 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v }  ->  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  {
x } ) )
" y )  =  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x }
) ) " {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) )
723mptpreima 5168 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  {
x } ) )
" { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  =  {
x  e.  Y  | 
( X  X.  {
x } )  e. 
{ f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } }
7371, 72syl6eq 2333 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v }  ->  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  {
x } ) )
" y )  =  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x } )  e.  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v } } )
7473eleq1d 2351 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v }  ->  ( ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) ) " y )  e.  S  <->  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x }
)  e.  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  e.  S ) )
7570, 74syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  (
y  =  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v }  ->  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) ) " y )  e.  S ) )
7675expimpd 586 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  ->  ( (
( Rt  k )  e. 
Comp  /\  y  =  {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  ->  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  {
x } ) )
" y )  e.  S ) )
7776rexlimdvva 2676 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( E. k  e.  ~P  U. R E. v  e.  S  ( ( Rt  k )  e.  Comp  /\  y  =  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  ->  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) ) " y )  e.  S ) )
789, 77syl5bi 208 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( y  e.  ran  ( k  e. 
{ z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  ->  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  {
x } ) )
" y )  e.  S ) )
7978ralrimiv 2627 . 2  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  A. y  e.  ran  ( k  e. 
{ z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) ) "
y )  e.  S
)
80 simpr 447 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  S  e.  (TopOn `  Y ) )
81 ovex 5885 . . . . . 6  |-  ( R  Cn  S )  e. 
_V
8281pwex 4195 . . . . 5  |-  ~P ( R  Cn  S )  e. 
_V
835, 6, 7xkotf 17282 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { z  e. 
~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) : ( { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp }  X.  S ) --> ~P ( R  Cn  S )
84 frn 5397 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } ) : ( { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp }  X.  S
) --> ~P ( R  Cn  S )  ->  ran  ( k  e.  {
z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( R  Cn  S ) )
8583, 84ax-mp 8 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } ) 
C_  ~P ( R  Cn  S )
8682, 85ssexi 4161 . . . 4  |-  ran  (
k  e.  { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } )  e.  _V
8786a1i 10 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ran  ( k  e.  { z  e. 
~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  e.  _V )
88 topontop 16666 . . . 4  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  R  e.  Top )
89 topontop 16666 . . . 4  |-  ( S  e.  (TopOn `  Y
)  ->  S  e.  Top )
905, 6, 7xkoval 17284 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ k o  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) ) )
9188, 89, 90syl2an 463 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( S  ^ k o  R )  =  ( topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  { z  e. 
~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) ) ) )
92 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( S  ^ k o  R
)  =  ( S  ^ k o  R
)
9392xkotopon 17297 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ k o  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
9488, 89, 93syl2an 463 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( S  ^ k o  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S ) ) )
9580, 87, 91, 94subbascn 16986 . 2  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( (
x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) )  e.  ( S  Cn  ( S  ^ k o  R
) )  <->  ( (
x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) ) : Y --> ( R  Cn  S )  /\  A. y  e.  ran  ( k  e.  { z  e. 
~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  {
x } ) )
" y )  e.  S ) ) )
964, 79, 95mpbir2and 888 1  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x }
) )  e.  ( S  Cn  ( S  ^ k o  R
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   A.wral 2545   E.wrex 2546   {crab 2549   _Vcvv 2790    i^i cin 3153    C_ wss 3154   (/)c0 3457   ifcif 3567   ~Pcpw 3627   {csn 3642   U.cuni 3829    e. cmpt 4079    X. cxp 4689   `'ccnv 4690   ran crn 4692    |` cres 4693   "cima 4694   -->wf 5253   ` cfv 5257  (class class class)co 5860    e. cmpt2 5862   ficfi 7166   ↾t crest 13327   topGenctg 13344   Topctop 16633  TopOnctopon 16634    Cn ccn 16956   Compccmp 17115    ^ k o cxko 17258
This theorem is referenced by:  cnmptkc  17375  xkofvcn  17380
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-fin 6869  df-fi 7167  df-rest 13329  df-topgen 13346  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-cmp 17116  df-xko 17260
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