Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkoccn Structured version   Unicode version

Theorem xkoccn 17682
 Description: The "constant function" function which maps to the constant function is a continuous function from into the space of continuous functions from to . This can also be understood as the currying of the first projection function. (The currying of the second projection function is , which we already know is continuous because it is a constant function.) (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkoccn TopOn TopOn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem xkoccn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnconst2 17378 . . . 4 TopOn TopOn
213expa 1154 . . 3 TopOn TopOn
3 eqid 2442 . . 3
42, 3fmptd 5922 . 2 TopOn TopOn
5 eqid 2442 . . . . . 6
6 eqid 2442 . . . . . 6 t t
7 eqid 2442 . . . . . 6 t t
85, 6, 7xkobval 17649 . . . . 5 t t
98abeq2i 2549 . . . 4 t t
102adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn TopOn
1110adantlr 697 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn t
1211adantlr 697 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn t
13 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn TopOn t
1413imaeq2d 5232 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn t
15 ima0 5250 . . . . . . . . . . . . . 14
16 0ss 3641 . . . . . . . . . . . . . 14
1715, 16eqsstri 3364 . . . . . . . . . . . . 13
1814, 17syl6eqss 3384 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn t
19 imaeq1 5227 . . . . . . . . . . . . . 14
2019sseq1d 3361 . . . . . . . . . . . . 13
2120elrab 3098 . . . . . . . . . . . 12
2212, 18, 21sylanbrc 647 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn t
2322ralrimiva 2795 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn t
24 rabid2 2891 . . . . . . . . . 10
2523, 24sylibr 205 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn t
26 simpllr 737 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn t TopOn
27 toponmax 17024 . . . . . . . . . . 11 TopOn
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn t
2928adantr 453 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn t
3025, 29eqeltrrd 2517 . . . . . . . 8 TopOn TopOn t
31 ifnefalse 3771 . . . . . . . . . . . . . . 15
3231ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn TopOn t
3332eleq2d 2509 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn t
34 vex 2965 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3534snss 3950 . . . . . . . . . . . . . . 15
3633, 35syl6bb 254 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn TopOn t
37 df-ima 4920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
38 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 TopOn TopOn t
3938ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 TopOn TopOn t
4039elpwid 3832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 TopOn TopOn t
41 toponuni 17023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 TopOn
4241ad5antr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 TopOn TopOn t
4340, 42sseqtr4d 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 TopOn TopOn t
44 xpssres 5209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 TopOn TopOn t
4645rneqd 5126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn TopOn t
4737, 46syl5eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn TopOn t
48 rnxp 5328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4948ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn TopOn t
5047, 49eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn TopOn t
5150sseq1d 3361 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn TopOn t
5211adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn TopOn t
5352biantrurd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn TopOn t
5436, 51, 533bitr2d 274 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn t
5533, 54bitr3d 248 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn t
5655, 21syl6bbr 256 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn t
5756rabbi2dva 3534 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn t
58 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn t
59 toponss 17025 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
6026, 58, 59syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn t
6160adantr 453 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn t
62 dfss1 3531 . . . . . . . . . . 11
6361, 62sylib 190 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn t
6457, 63eqtr3d 2476 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn t
6558adantr 453 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn t
6664, 65eqeltrd 2516 . . . . . . . 8 TopOn TopOn t
6730, 66pm2.61dane 2688 . . . . . . 7 TopOn TopOn t
68 imaeq2 5228 . . . . . . . . 9
693mptpreima 5392 . . . . . . . . 9
7068, 69syl6eq 2490 . . . . . . . 8
7170eleq1d 2508 . . . . . . 7
7267, 71syl5ibrcom 215 . . . . . 6 TopOn TopOn t
7372expimpd 588 . . . . 5 TopOn TopOn t
7473rexlimdvva 2843 . . . 4 TopOn TopOn t
759, 74syl5bi 210 . . 3 TopOn TopOn t
7675ralrimiv 2794 . 2 TopOn TopOn t
77 simpr 449 . . 3 TopOn TopOn TopOn
78 ovex 6135 . . . . . 6
7978pwex 4411 . . . . 5
805, 6, 7xkotf 17648 . . . . . 6 t t
81 frn 5626 . . . . . 6 t t t
8280, 81ax-mp 5 . . . . 5 t
8379, 82ssexi 4377 . . . 4 t
8483a1i 11 . . 3 TopOn TopOn t
85 topontop 17022 . . . 4 TopOn
86 topontop 17022 . . . 4 TopOn
875, 6, 7xkoval 17650 . . . 4 t
8885, 86, 87syl2an 465 . . 3 TopOn TopOn t
89 eqid 2442 . . . . 5
9089xkotopon 17663 . . . 4 TopOn
9185, 86, 90syl2an 465 . . 3 TopOn TopOn TopOn
9277, 84, 88, 91subbascn 17349 . 2 TopOn TopOn t
934, 76, 92mpbir2and 890 1 TopOn TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1727   wne 2605  wral 2711  wrex 2712  crab 2715  cvv 2962   cin 3305   wss 3306  c0 3613  cif 3763  cpw 3823  csn 3838  cuni 4039   cmpt 4291   cxp 4905  ccnv 4906   crn 4908   cres 4909  cima 4910  wf 5479  cfv 5483  (class class class)co 6110   cmpt2 6112  cfi 7444   ↾t crest 13679  ctg 13696  ctop 16989  TopOnctopon 16990   ccn 17319  ccmp 17480   cxko 17624 This theorem is referenced by:  cnmptkc  17742  xkofvcn  17747 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-fin 7142  df-fi 7445  df-rest 13681  df-topgen 13698  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-cn 17322  df-cnp 17323  df-cmp 17481  df-xko 17626
 Copyright terms: Public domain W3C validator