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Theorem xkocnv 17851
Description: The inverse of the "currying" function  F is the uncurrying function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xkohmeo.x  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
xkohmeo.y  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
xkohmeo.f  |-  F  =  ( f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) 
|->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )
xkohmeo.j  |-  ( ph  ->  J  e. 𝑛Locally  Comp )
xkohmeo.k  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
xkohmeo.l  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
Assertion
Ref Expression
xkocnv  |-  ( ph  ->  `' F  =  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K )
)  |->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, y, J    f, K, g, x, y    ph, f,
g, x, y    f, L, g, x, y    f, X, g, x, y    f, Y, g, x, y    f, F, g, x, y

Proof of Theorem xkocnv
StepHypRef Expression
1 simprr 735 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )
2 xkohmeo.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
32adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
4 xkohmeo.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
54adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
6 txtopon 17628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
72, 4, 6syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
87adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) ) )
9 xkohmeo.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
10 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. L  =  U. L
1110toptopon 17003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
129, 11sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
1312adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
14 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )
15 cnf2 17318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )  ->  f :
( X  X.  Y
) --> U. L )
168, 13, 14, 15syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  f : ( X  X.  Y ) --> U. L
)
17 ffn 5594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( X  X.  Y ) --> U. L  ->  f  Fn  ( X  X.  Y ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  f  Fn  ( X  X.  Y
) )
19 fnov 6181 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  ( X  X.  Y )  <->  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
2018, 19sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
2120, 14eqeltrrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  ( x f y ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L ) )
223, 5, 21cnmpt2k 17725 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  (
x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )
2322adantrr 699 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K )
) )
241, 23eqeltrd 2512 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )
2520adantrr 699 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
26 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  X  =  X
27 nfv 1630 . . . . . . . . 9  |-  F/ x ph
28 nfv 1630 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )
29 nfmpt1 4301 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
3029nfeq2 2585 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
3128, 30nfan 1847 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )
3227, 31nfan 1847 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )
33 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y
ph
34 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )
35 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y X
36 nfmpt1 4301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y
( y  e.  Y  |->  ( x f y ) )
3735, 36nfmpt 4300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ y
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
3837nfeq2 2585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
3934, 38nfan 1847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y ( f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )
4033, 39nfan 1847 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )
41 nfv 1630 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  x  e.  X
4240, 41nfan 1847 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ( ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  x  e.  X
)
43 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )
4443fveq1d 5733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
g `  x )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) `  x ) )
45 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  x  e.  X )
46 toponmax 16998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  K )
474, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
4847ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  Y  e.  K )
49 mptexg 5968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Y  e.  K  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x f y ) )  e.  _V )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x f y ) )  e.  _V )
51 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
5251fvmpt2 5815 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) `  x )  =  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
5345, 50, 52syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) `  x )  =  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
5444, 53eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
g `  x )  =  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
5554fveq1d 5733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
( g `  x
) `  y )  =  ( ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) `
 y ) )
56 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  y  e.  Y )
57 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x f y )  e. 
_V
58 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) )
5958fvmpt2 5815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Y  /\  ( x f y )  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) `  y )  =  ( x f y ) )
6056, 57, 59sylancl 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) `  y
)  =  ( x f y ) )
6155, 60eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
( g `  x
) `  y )  =  ( x f y ) )
6261expr 600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( y  e.  Y  ->  ( ( g `  x ) `  y
)  =  ( x f y ) ) )
6342, 62ralrimi 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  ( ( g `  x ) `  y
)  =  ( x f y ) )
64 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  Y
6563, 64jctil 525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( Y  =  Y  /\  A. y  e.  Y  ( ( g `
 x ) `  y )  =  ( x f y ) ) )
6665ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  ( x  e.  X  ->  ( Y  =  Y  /\  A. y  e.  Y  (
( g `  x
) `  y )  =  ( x f y ) ) ) )
6732, 66ralrimi 2789 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  X  ( Y  =  Y  /\  A. y  e.  Y  ( (
g `  x ) `  y )  =  ( x f y ) ) )
68 mpt2eq123 6136 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  X  /\  A. x  e.  X  ( Y  =  Y  /\  A. y  e.  Y  ( ( g `  x
) `  y )  =  ( x f y ) ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
6926, 67, 68sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
7025, 69eqtr4d 2473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) )
7124, 70jca 520 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )
72 simprr 735 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  ->  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) )
732adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
744adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y
) )
7512adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
76 xkohmeo.k . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
7776adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
78 nllytop 17541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  K  e.  Top )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  ->  K  e.  Top )
809adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  ->  L  e.  Top )
81 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  ^ k o  K
)  =  ( L  ^ k o  K
)
8281xkotopon 17637 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( L  ^ k o  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
8379, 80, 82syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  -> 
( L  ^ k o  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
84 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  -> 
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K )
) )
85 cnf2 17318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( L  ^ k o  K
)  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) )  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  -> 
g : X --> ( K  Cn  L ) )
8673, 83, 84, 85syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  -> 
g : X --> ( K  Cn  L ) )
8786feqmptd 5782 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  -> 
g  =  ( x  e.  X  |->  ( g `
 x ) ) )
884ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
8912ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  /\  x  e.  X )  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
9086ffvelrnda 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( g `  x
)  e.  ( K  Cn  L ) )
91 cnf2 17318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  ( g `  x )  e.  ( K  Cn  L ) )  ->  ( g `  x ) : Y --> U. L )
9288, 89, 90, 91syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( g `  x
) : Y --> U. L
)
9392feqmptd 5782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( g `  x
)  =  ( y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `
 y ) ) )
9493mpteq2dva 4298 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( g `  x
) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( ( g `  x
) `  y )
) ) )
9587, 94eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  -> 
g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `
 y ) ) ) )
9695, 84eqeltrrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )
9773, 74, 75, 77, 96cnmptk2 17723 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  -> 
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
9897adantrr 699 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )
9972, 98eqeltrd 2512 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  ->  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )
10095adantrr 699 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  ->  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) ) )
101 nfv 1630 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K ) )
102 nfmpt21 6143 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) )
103102nfeq2 2585 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) )
104101, 103nfan 1847 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) )
10527, 104nfan 1847 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ph  /\  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K )
)  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) ) )
106 nfv 1630 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K )
)
107 nfmpt22 6144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) )
108107nfeq2 2585 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `
 y ) )
109106, 108nfan 1847 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) )
11033, 109nfan 1847 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( ph  /\  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K )
)  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) ) )
111110, 41nfan 1847 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ( ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  /\  x  e.  X )
11272oveqd 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  ->  ( x
f y )  =  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `
 y ) ) y ) )
113 fvex 5745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g `  x ) `
 y )  e. 
_V
114 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `
 y ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) )
115114ovmpt4g 6199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  ( ( g `  x ) `  y
)  e.  _V )  ->  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `
 y ) ) y )  =  ( ( g `  x
) `  y )
)
116113, 115mp3an3 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `
 y ) ) y )  =  ( ( g `  x
) `  y )
)
117112, 116sylan9eq 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K )
)  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x f y )  =  ( ( g `  x ) `
 y ) )
118117expr 600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K )
)  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( y  e.  Y  ->  ( x f y )  =  ( ( g `  x ) `  y
) ) )
119111, 118ralrimi 2789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K )
)  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  A. y  e.  Y  ( x
f y )  =  ( ( g `  x ) `  y
) )
120 mpteq12 4291 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  =  Y  /\  A. y  e.  Y  ( x f y )  =  ( ( g `
 x ) `  y ) )  -> 
( y  e.  Y  |->  ( x f y ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( ( g `  x
) `  y )
) )
12164, 119, 120sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K )
)  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) )
122105, 121mpteq2da 4297 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `
 y ) ) ) )
123100, 122eqtr4d 2473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  ->  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )
12499, 123jca 520 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  ->  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )
12571, 124impbida 807 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )  <-> 
( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) ) )
126125opabbidv 4274 . 2  |-  ( ph  ->  { <. g ,  f
>.  |  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) }  =  { <. g ,  f >.  |  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K )
)  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) ) } )
127 xkohmeo.f . . . . 5  |-  F  =  ( f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) 
|->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )
128 df-mpt 4271 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  L )  |->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )  =  { <. f ,  g >.  |  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) }
129127, 128eqtri 2458 . . . 4  |-  F  =  { <. f ,  g
>.  |  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) }
130129cnveqi 5050 . . 3  |-  `' F  =  `' { <. f ,  g
>.  |  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) }
131 cnvopab 5277 . . 3  |-  `' { <. f ,  g >.  |  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) }  =  { <. g ,  f >.  |  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) }
132130, 131eqtri 2458 . 2  |-  `' F  =  { <. g ,  f
>.  |  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) }
133 df-mpt 4271 . 2  |-  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K ) )  |->  ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  ( ( g `  x
) `  y )
) )  =  { <. g ,  f >.  |  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) }
134126, 132, 1333eqtr4g 2495 1  |-  ( ph  ->  `' F  =  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K )
)  |->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958   U.cuni 4017   {copab 4268    e. cmpt 4269    X. cxp 4879   `'ccnv 4880    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086   Topctop 16963  TopOnctopon 16964    Cn ccn 17293   Compccmp 17454  𝑛Locally cnlly 17533    tX ctx 17597    ^ k o cxko 17598
This theorem is referenced by:  xkohmeo  17852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-ntr 17089  df-nei 17167  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-cmp 17455  df-nlly 17535  df-tx 17599  df-xko 17600
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