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Theorem xkoco2cn 17682
Description: If  F is a continuous function, then  g  |->  F  o.  g is a continuous function on function spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xkoco2cn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Top )
xkoco2cn.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S  Cn  T ) )
Assertion
Ref Expression
xkoco2cn  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) )  e.  ( ( S  ^ k o  R )  Cn  ( T  ^ k o  R
) ) )
Distinct variable groups:    ph, g    R, g    S, g    T, g   
g, F

Proof of Theorem xkoco2cn
Dummy variables  k 
v  x  h  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  g  e.  ( R  Cn  S
) )
2 xkoco2cn.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S  Cn  T ) )
32adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  F  e.  ( S  Cn  T
) )
4 cnco 17322 . . . 4  |-  ( ( g  e.  ( R  Cn  S )  /\  F  e.  ( S  Cn  T ) )  -> 
( F  o.  g
)  e.  ( R  Cn  T ) )
51, 3, 4syl2anc 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  ( F  o.  g )  e.  ( R  Cn  T
) )
6 eqid 2435 . . 3  |-  ( g  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( F  o.  g ) )  =  ( g  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( F  o.  g ) )
75, 6fmptd 5885 . 2  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) ) : ( R  Cn  S ) --> ( R  Cn  T
) )
8 eqid 2435 . . . . . 6  |-  U. R  =  U. R
9 eqid 2435 . . . . . 6  |-  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  =  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp }
10 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  =  ( k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )
118, 9, 10xkobval 17610 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  =  {
x  |  E. k  e.  ~P  U. R E. v  e.  T  (
( Rt  k )  e. 
Comp  /\  x  =  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) }
1211abeq2i 2542 . . . 4  |-  ( x  e.  ran  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  <->  E. k  e.  ~P  U. R E. v  e.  T  (
( Rt  k )  e. 
Comp  /\  x  =  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) )
13 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  g  e.  ( R  Cn  S
) )
142ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  F  e.  ( S  Cn  T
) )
1513, 14, 4syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  ( F  o.  g )  e.  ( R  Cn  T
) )
16 imaeq1 5190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  ( F  o.  g )  ->  (
h " k )  =  ( ( F  o.  g ) "
k ) )
17 imaco 5367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  o.  g )
" k )  =  ( F " (
g " k ) )
1816, 17syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  ( F  o.  g )  ->  (
h " k )  =  ( F "
( g " k
) ) )
1918sseq1d 3367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  ( F  o.  g )  ->  (
( h " k
)  C_  v  <->  ( F " ( g " k
) )  C_  v
) )
2019elrab3 3085 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  o.  g )  e.  ( R  Cn  T )  ->  (
( F  o.  g
)  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  <->  ( F "
( g " k
) )  C_  v
) )
2115, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( F  o.  g
)  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  <->  ( F "
( g " k
) )  C_  v
) )
22 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. S  =  U. S
23 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. T  =  U. T
2422, 23cnf 17302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( S  Cn  T )  ->  F : U. S --> U. T
)
252, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : U. S --> U. T )
2625ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  F : U. S --> U. T
)
27 ffun 5585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : U. S --> U. T  ->  Fun  F )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  Fun  F )
29 imassrn 5208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g
" k )  C_  ran  g
308, 22cnf 17302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  ( R  Cn  S )  ->  g : U. R --> U. S
)
3113, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  g : U. R --> U. S
)
32 frn 5589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : U. R --> U. S  ->  ran  g  C_  U. S
)
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  ran  g  C_  U. S )
3429, 33syl5ss 3351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
g " k ) 
C_  U. S )
35 fdm 5587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : U. S --> U. T  ->  dom  F  =  U. S )
3626, 35syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  dom  F  =  U. S )
3734, 36sseqtr4d 3377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
g " k ) 
C_  dom  F )
38 funimass3 5838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  (
g " k ) 
C_  dom  F )  ->  ( ( F "
( g " k
) )  C_  v  <->  ( g " k ) 
C_  ( `' F " v ) ) )
3928, 37, 38syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( F " (
g " k ) )  C_  v  <->  ( g " k )  C_  ( `' F " v ) ) )
4021, 39bitrd 245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( F  o.  g
)  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  <->  ( g "
k )  C_  ( `' F " v ) ) )
4140rabbidva 2939 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  { g  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( F  o.  g )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } }  =  {
g  e.  ( R  Cn  S )  |  ( g " k
)  C_  ( `' F " v ) } )
42 xkoco2cn.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Top )
4342ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  R  e.  Top )
44 cntop1 17296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( S  Cn  T )  ->  S  e.  Top )
452, 44syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  Top )
4645ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  S  e.  Top )
47 simplrl 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  k  e.  ~P U. R )
4847elpwid 3800 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  k  C_  U. R
)
49 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  ( Rt  k )  e.  Comp )
502ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  F  e.  ( S  Cn  T ) )
51 simplrr 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  v  e.  T
)
52 cnima 17321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( S  Cn  T )  /\  v  e.  T )  ->  ( `' F "
v )  e.  S
)
5350, 51, 52syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  ( `' F " v )  e.  S
)
548, 43, 46, 48, 49, 53xkoopn 17613 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  { g  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( g
" k )  C_  ( `' F " v ) }  e.  ( S  ^ k o  R
) )
5541, 54eqeltrd 2509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  { g  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( F  o.  g )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } }  e.  ( S  ^ k o  R
) )
56 imaeq2 5191 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) ) " x
)  =  ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) ) " {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) )
576mptpreima 5355 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) ) " {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  =  { g  e.  ( R  Cn  S )  |  ( F  o.  g )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } }
5856, 57syl6eq 2483 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) ) " x
)  =  { g  e.  ( R  Cn  S )  |  ( F  o.  g )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } } )
5958eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( F  o.  g ) ) "
x )  e.  ( S  ^ k o  R )  <->  { g  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( F  o.  g )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } }  e.  ( S  ^ k o  R
) ) )
6055, 59syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v }  ->  ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( F  o.  g ) ) " x )  e.  ( S  ^ k o  R )
) )
6160expimpd 587 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T )
)  ->  ( (
( Rt  k )  e. 
Comp  /\  x  =  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  ->  ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) ) " x
)  e.  ( S  ^ k o  R
) ) )
6261rexlimdvva 2829 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. k  e. 
~P  U. R E. v  e.  T  ( ( Rt  k )  e.  Comp  /\  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  ->  ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( F  o.  g ) ) "
x )  e.  ( S  ^ k o  R ) ) )
6312, 62syl5bi 209 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  ->  ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) ) " x
)  e.  ( S  ^ k o  R
) ) )
6463ralrimiv 2780 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( F  o.  g ) ) " x )  e.  ( S  ^ k o  R )
)
65 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( S  ^ k o  R
)  =  ( S  ^ k o  R
)
6665xkotopon 17624 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ k o  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
6742, 45, 66syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  ^ k o  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
68 ovex 6098 . . . . . 6  |-  ( R  Cn  T )  e. 
_V
6968pwex 4374 . . . . 5  |-  ~P ( R  Cn  T )  e. 
_V
708, 9, 10xkotf 17609 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) : ( { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  X.  T ) --> ~P ( R  Cn  T )
71 frn 5589 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) : ( { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  X.  T ) --> ~P ( R  Cn  T )  ->  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( R  Cn  T ) )
7270, 71ax-mp 8 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  C_  ~P ( R  Cn  T
)
7369, 72ssexi 4340 . . . 4  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  e.  _V
7473a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e. 
{ y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  e.  _V )
75 cntop2 17297 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( S  Cn  T )  ->  T  e.  Top )
762, 75syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  Top )
778, 9, 10xkoval 17611 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ k o  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
7842, 76, 77syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  ^ k o  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
79 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( T  ^ k o  R
)  =  ( T  ^ k o  R
)
8079xkotopon 17624 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ k o  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  T
) ) )
8142, 76, 80syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  ^ k o  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  T
) ) )
8267, 74, 78, 81subbascn 17310 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( F  o.  g ) )  e.  ( ( S  ^ k o  R )  Cn  ( T  ^ k o  R ) )  <->  ( (
g  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( F  o.  g ) ) : ( R  Cn  S ) --> ( R  Cn  T )  /\  A. x  e. 
ran  ( k  e. 
{ y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( F  o.  g ) ) " x )  e.  ( S  ^ k o  R )
) ) )
837, 64, 82mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) )  e.  ( ( S  ^ k o  R )  Cn  ( T  ^ k o  R
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   ran crn 4871   "cima 4873    o. ccom 4874   Fun wfun 5440   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   ficfi 7407   ↾t crest 13640   topGenctg 13657   Topctop 16950  TopOnctopon 16951    Cn ccn 17280   Compccmp 17441    ^ k o cxko 17585
This theorem is referenced by:  cnmptk1  17705
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-fin 7105  df-fi 7408  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cn 17283  df-cmp 17442  df-xko 17587
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