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Theorem xkoco2cn 17354
Description: If  F is a continuous function, then  g  |->  F  o.  g is a continuous function on function spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xkoco2cn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Top )
xkoco2cn.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S  Cn  T ) )
Assertion
Ref Expression
xkoco2cn  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) )  e.  ( ( S  ^ k o  R )  Cn  ( T  ^ k o  R
) ) )
Distinct variable groups:    ph, g    R, g    S, g    T, g   
g, F

Proof of Theorem xkoco2cn
Dummy variables  k 
v  x  h  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  g  e.  ( R  Cn  S
) )
2 xkoco2cn.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S  Cn  T ) )
32adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  F  e.  ( S  Cn  T
) )
4 cnco 16997 . . . 4  |-  ( ( g  e.  ( R  Cn  S )  /\  F  e.  ( S  Cn  T ) )  -> 
( F  o.  g
)  e.  ( R  Cn  T ) )
51, 3, 4syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  ( F  o.  g )  e.  ( R  Cn  T
) )
6 eqid 2285 . . 3  |-  ( g  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( F  o.  g ) )  =  ( g  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( F  o.  g ) )
75, 6fmptd 5686 . 2  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) ) : ( R  Cn  S ) --> ( R  Cn  T
) )
8 eqid 2285 . . . . . 6  |-  U. R  =  U. R
9 eqid 2285 . . . . . 6  |-  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  =  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp }
10 eqid 2285 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  =  ( k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )
118, 9, 10xkobval 17283 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  =  {
x  |  E. k  e.  ~P  U. R E. v  e.  T  (
( Rt  k )  e. 
Comp  /\  x  =  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) }
1211abeq2i 2392 . . . 4  |-  ( x  e.  ran  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  <->  E. k  e.  ~P  U. R E. v  e.  T  (
( Rt  k )  e. 
Comp  /\  x  =  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) )
13 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  g  e.  ( R  Cn  S
) )
142ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  F  e.  ( S  Cn  T
) )
1513, 14, 4syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  ( F  o.  g )  e.  ( R  Cn  T
) )
16 imaeq1 5009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  ( F  o.  g )  ->  (
h " k )  =  ( ( F  o.  g ) "
k ) )
17 imaco 5180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  o.  g )
" k )  =  ( F " (
g " k ) )
1816, 17syl6eq 2333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  ( F  o.  g )  ->  (
h " k )  =  ( F "
( g " k
) ) )
1918sseq1d 3207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  ( F  o.  g )  ->  (
( h " k
)  C_  v  <->  ( F " ( g " k
) )  C_  v
) )
2019elrab3 2926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  o.  g )  e.  ( R  Cn  T )  ->  (
( F  o.  g
)  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  <->  ( F "
( g " k
) )  C_  v
) )
2115, 20syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( F  o.  g
)  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  <->  ( F "
( g " k
) )  C_  v
) )
22 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. S  =  U. S
23 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. T  =  U. T
2422, 23cnf 16978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( S  Cn  T )  ->  F : U. S --> U. T
)
252, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : U. S --> U. T )
2625ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  F : U. S --> U. T
)
27 ffun 5393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : U. S --> U. T  ->  Fun  F )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  Fun  F )
29 imassrn 5027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g
" k )  C_  ran  g
308, 22cnf 16978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  ( R  Cn  S )  ->  g : U. R --> U. S
)
3113, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  g : U. R --> U. S
)
32 frn 5397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : U. R --> U. S  ->  ran  g  C_  U. S
)
3331, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  ran  g  C_  U. S )
3429, 33syl5ss 3192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
g " k ) 
C_  U. S )
35 fdm 5395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : U. S --> U. T  ->  dom  F  =  U. S )
3626, 35syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  dom  F  =  U. S )
3734, 36sseqtr4d 3217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
g " k ) 
C_  dom  F )
38 funimass3 5643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  (
g " k ) 
C_  dom  F )  ->  ( ( F "
( g " k
) )  C_  v  <->  ( g " k ) 
C_  ( `' F " v ) ) )
3928, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( F " (
g " k ) )  C_  v  <->  ( g " k )  C_  ( `' F " v ) ) )
4021, 39bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( F  o.  g
)  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  <->  ( g "
k )  C_  ( `' F " v ) ) )
4140rabbidva 2781 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  { g  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( F  o.  g )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } }  =  {
g  e.  ( R  Cn  S )  |  ( g " k
)  C_  ( `' F " v ) } )
42 xkoco2cn.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Top )
4342ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  R  e.  Top )
44 cntop1 16972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( S  Cn  T )  ->  S  e.  Top )
452, 44syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  Top )
4645ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  S  e.  Top )
47 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  k  e.  ~P U. R )
48 elpwi 3635 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ~P U. R  ->  k  C_  U. R )
4947, 48syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  k  C_  U. R
)
50 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  ( Rt  k )  e.  Comp )
512ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  F  e.  ( S  Cn  T ) )
52 simplrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  v  e.  T
)
53 cnima 16996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( S  Cn  T )  /\  v  e.  T )  ->  ( `' F "
v )  e.  S
)
5451, 52, 53syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  ( `' F " v )  e.  S
)
558, 43, 46, 49, 50, 54xkoopn 17286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  { g  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( g
" k )  C_  ( `' F " v ) }  e.  ( S  ^ k o  R
) )
5641, 55eqeltrd 2359 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  { g  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( F  o.  g )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } }  e.  ( S  ^ k o  R
) )
57 imaeq2 5010 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) ) " x
)  =  ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) ) " {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) )
586mptpreima 5168 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) ) " {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  =  { g  e.  ( R  Cn  S )  |  ( F  o.  g )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } }
5957, 58syl6eq 2333 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) ) " x
)  =  { g  e.  ( R  Cn  S )  |  ( F  o.  g )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } } )
6059eleq1d 2351 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( F  o.  g ) ) "
x )  e.  ( S  ^ k o  R )  <->  { g  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( F  o.  g )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } }  e.  ( S  ^ k o  R
) ) )
6156, 60syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v }  ->  ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( F  o.  g ) ) " x )  e.  ( S  ^ k o  R )
) )
6261expimpd 586 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T )
)  ->  ( (
( Rt  k )  e. 
Comp  /\  x  =  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  ->  ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) ) " x
)  e.  ( S  ^ k o  R
) ) )
6362rexlimdvva 2676 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. k  e. 
~P  U. R E. v  e.  T  ( ( Rt  k )  e.  Comp  /\  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  ->  ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( F  o.  g ) ) "
x )  e.  ( S  ^ k o  R ) ) )
6412, 63syl5bi 208 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  ->  ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) ) " x
)  e.  ( S  ^ k o  R
) ) )
6564ralrimiv 2627 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( F  o.  g ) ) " x )  e.  ( S  ^ k o  R )
)
66 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( S  ^ k o  R
)  =  ( S  ^ k o  R
)
6766xkotopon 17297 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ k o  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
6842, 45, 67syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  ^ k o  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
69 ovex 5885 . . . . . 6  |-  ( R  Cn  T )  e. 
_V
7069pwex 4195 . . . . 5  |-  ~P ( R  Cn  T )  e. 
_V
718, 9, 10xkotf 17282 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) : ( { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  X.  T ) --> ~P ( R  Cn  T )
72 frn 5397 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) : ( { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  X.  T ) --> ~P ( R  Cn  T )  ->  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( R  Cn  T ) )
7371, 72ax-mp 8 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  C_  ~P ( R  Cn  T
)
7470, 73ssexi 4161 . . . 4  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  e.  _V
7574a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e. 
{ y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  e.  _V )
76 cntop2 16973 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( S  Cn  T )  ->  T  e.  Top )
772, 76syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  Top )
788, 9, 10xkoval 17284 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ k o  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
7942, 77, 78syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  ^ k o  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
80 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( T  ^ k o  R
)  =  ( T  ^ k o  R
)
8180xkotopon 17297 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ k o  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  T
) ) )
8242, 77, 81syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  ^ k o  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  T
) ) )
8368, 75, 79, 82subbascn 16986 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( F  o.  g ) )  e.  ( ( S  ^ k o  R )  Cn  ( T  ^ k o  R ) )  <->  ( (
g  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( F  o.  g ) ) : ( R  Cn  S ) --> ( R  Cn  T )  /\  A. x  e. 
ran  ( k  e. 
{ y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( F  o.  g ) ) " x )  e.  ( S  ^ k o  R )
) ) )
847, 65, 83mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) )  e.  ( ( S  ^ k o  R )  Cn  ( T  ^ k o  R
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545   E.wrex 2546   {crab 2549   _Vcvv 2790    C_ wss 3154   ~Pcpw 3627   U.cuni 3829    e. cmpt 4079    X. cxp 4689   `'ccnv 4690   dom cdm 4691   ran crn 4692   "cima 4694    o. ccom 4695   Fun wfun 5251   -->wf 5253   ` cfv 5257  (class class class)co 5860    e. cmpt2 5862   ficfi 7166   ↾t crest 13327   topGenctg 13344   Topctop 16633  TopOnctopon 16634    Cn ccn 16956   Compccmp 17115    ^ k o cxko 17258
This theorem is referenced by:  cnmptk1  17377
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-fin 6869  df-fi 7167  df-rest 13329  df-topgen 13346  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-cn 16959  df-cmp 17116  df-xko 17260
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