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Theorem xkococn 17615
Description: Continuity of the composition operation as a function on continuous function spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkococn.1  |-  F  =  ( f  e.  ( S  Cn  T ) ,  g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( f  o.  g
) )
Assertion
Ref Expression
xkococn  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  F  e.  ( ( ( T  ^ k o  S
)  tX  ( S  ^ k o  R ) )  Cn  ( T  ^ k o  R
) ) )
Distinct variable groups:    f, g, R    S, f, g    T, f, g
Allowed substitution hints:    F( f, g)

Proof of Theorem xkococn
Dummy variables  k 
a  v  x  y  z  b  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 734 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  (
f  e.  ( S  Cn  T )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  g  e.  ( R  Cn  S ) )
2 simprl 733 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  (
f  e.  ( S  Cn  T )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  f  e.  ( S  Cn  T ) )
3 cnco 17254 . . . . 5  |-  ( ( g  e.  ( R  Cn  S )  /\  f  e.  ( S  Cn  T ) )  -> 
( f  o.  g
)  e.  ( R  Cn  T ) )
41, 2, 3syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  (
f  e.  ( S  Cn  T )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( f  o.  g )  e.  ( R  Cn  T ) )
54ralrimivva 2743 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  A. f  e.  ( S  Cn  T
) A. g  e.  ( R  Cn  S
) ( f  o.  g )  e.  ( R  Cn  T ) )
6 xkococn.1 . . . 4  |-  F  =  ( f  e.  ( S  Cn  T ) ,  g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( f  o.  g
) )
76fmpt2 6359 . . 3  |-  ( A. f  e.  ( S  Cn  T ) A. g  e.  ( R  Cn  S
) ( f  o.  g )  e.  ( R  Cn  T )  <-> 
F : ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) ) --> ( R  Cn  T ) )
85, 7sylib 189 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  F :
( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) ) --> ( R  Cn  T
) )
9 eqid 2389 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  =  ( k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )
109rnmpt2 6121 . . . . . 6  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  =  {
x  |  E. k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } }
1110eleq2i 2453 . . . . 5  |-  ( x  e.  ran  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  <->  x  e.  { x  |  E. k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } } )
12 abid 2377 . . . . 5  |-  ( x  e.  { x  |  E. k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } }  <->  E. k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )
13 oveq2 6030 . . . . . . 7  |-  ( y  =  k  ->  ( Rt  y )  =  ( Rt  k ) )
1413eleq1d 2455 . . . . . 6  |-  ( y  =  k  ->  (
( Rt  y )  e. 
Comp 
<->  ( Rt  k )  e. 
Comp ) )
1514rexrab 3043 . . . . 5  |-  ( E. k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }  <->  E. k  e.  ~P  U. R ( ( Rt  k )  e.  Comp  /\  E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) )
1611, 12, 153bitri 263 . . . 4  |-  ( x  e.  ran  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  <->  E. k  e.  ~P  U. R ( ( Rt  k )  e. 
Comp  /\  E. v  e.  T  x  =  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) )
178ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  F : ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) ) --> ( R  Cn  T ) )
18 ffn 5533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) ) --> ( R  Cn  T )  ->  F  Fn  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) ) )
19 elpreima 5791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
y  e.  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  <->  ( y  e.  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( F `  y )  e.  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) )
2017, 18, 193syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  (
y  e.  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  <->  ( y  e.  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( F `  y )  e.  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) )
21 coeq1 4972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  a  ->  (
f  o.  g )  =  ( a  o.  g ) )
22 coeq2 4973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  b  ->  (
a  o.  g )  =  ( a  o.  b ) )
23 vex 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  a  e. 
_V
24 vex 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  b  e. 
_V
2523, 24coex 5355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  o.  b )  e. 
_V
2621, 22, 6, 25ovmpt2 6150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  -> 
( a F b )  =  ( a  o.  b ) )
2726adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( a F b )  =  ( a  o.  b ) )
2827eleq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( ( a F b )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } 
<->  ( a  o.  b
)  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) )
29 imaeq1 5140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  =  ( a  o.  b )  ->  (
h " k )  =  ( ( a  o.  b ) "
k ) )
3029sseq1d 3320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( h  =  ( a  o.  b )  ->  (
( h " k
)  C_  v  <->  ( (
a  o.  b )
" k )  C_  v ) )
3130elrab 3037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  o.  b )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  <->  ( ( a  o.  b )  e.  ( R  Cn  T
)  /\  ( (
a  o.  b )
" k )  C_  v ) )
3231simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  o.  b )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v )
33 simp2 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  S  e. 𝑛Locally  Comp )
3433ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  ->  S  e. 𝑛Locally  Comp )
35 elpwi 3752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ~P U. R  ->  k  C_  U. R )
3635ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  -> 
k  C_  U. R )
3736ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  -> 
k  C_  U. R )
38 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  -> 
( Rt  k )  e. 
Comp )
3938ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  -> 
( Rt  k )  e. 
Comp )
40 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  -> 
v  e.  T )
41 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  -> 
a  e.  ( S  Cn  T ) )
42 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  -> 
b  e.  ( R  Cn  S ) )
43 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  -> 
( ( a  o.  b ) " k
)  C_  v )
446, 34, 37, 39, 40, 41, 42, 43xkococnlem 17614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  ->  E. z  e.  (
( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) ( <.
a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) )
4544expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) ( <.
a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
4632, 45syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( ( a  o.  b )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) ( <.
a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
4728, 46sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( ( a F b )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) ( <.
a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
4847ralrimivva 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  A. a  e.  ( S  Cn  T
) A. b  e.  ( R  Cn  S
) ( ( a F b )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) ( <.
a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
49 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( F `  y )  =  ( F `  <. a ,  b >. )
)
50 df-ov 6025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a F b )  =  ( F `  <. a ,  b >. )
5149, 50syl6eqr 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( F `  y )  =  ( a F b ) )
5251eleq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( F `
 y )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } 
<->  ( a F b )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) )
53 eleq1 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( y  e.  z  <->  <. a ,  b
>.  e.  z ) )
5453anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) )  <->  ( <. a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ) ) )
5554rexbidv 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) )  <->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R ) ) (
<. a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
5652, 55imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( ( F `  y )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) ) )  <-> 
( ( a F b )  e.  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) ( <.
a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) ) )
5756ralxp 4958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) ) ( ( F `  y )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) ) )  <->  A. a  e.  ( S  Cn  T ) A. b  e.  ( R  Cn  S ) ( ( a F b )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R ) ) (
<. a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
5848, 57sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  A. y  e.  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) ) ( ( F `  y )  e.  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
5958r19.21bi 2749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  y  e.  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( ( F `  y )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
6059expimpd 587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  (
( y  e.  ( ( S  Cn  T
)  X.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( F `  y )  e.  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) ) ) )
6120, 60sylbid 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  (
y  e.  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) ) ) )
6261ralrimiv 2733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  A. y  e.  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) ) )
63 nllytop 17459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  S  e.  Top )
64633ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  S  e. 
Top )
65 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  T  e. 
Top )
66 xkotop 17543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ k o  S )  e.  Top )
6764, 65, 66syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ k o  S
)  e.  Top )
68 simp1 957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  R  e. 
Top )
69 xkotop 17543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ k o  R )  e.  Top )
7068, 64, 69syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( S  ^ k o  R
)  e.  Top )
71 txtop 17524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  ^ k o  S )  e.  Top  /\  ( S  ^ k o  R )  e.  Top )  ->  ( ( T  ^ k o  S
)  tX  ( S  ^ k o  R ) )  e.  Top )
7267, 70, 71syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) )  e.  Top )
7372ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  (
( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) )  e.  Top )
74 eltop2 16965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) )  e.  Top  ->  ( ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) )  <->  A. y  e.  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) ) ) )
7573, 74syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  (
( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) )  <->  A. y  e.  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) ) ) )
7662, 75mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) )
77 imaeq2 5141 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) )
7877eleq1d 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ k o  S
)  tX  ( S  ^ k o  R ) )  <->  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) ) )
7976, 78syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  (
x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ k o  S
)  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ) )
8079rexlimdva 2775 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  -> 
( E. v  e.  T  x  =  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }  ->  ( `' F "
x )  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) ) )
8180anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  k  e.  ~P U. R )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  ( E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }  ->  ( `' F "
x )  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) ) )
8281expimpd 587 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  k  e.  ~P U. R )  ->  ( ( ( Rt  k )  e.  Comp  /\ 
E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  ->  ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ k o  S
)  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ) )
8382rexlimdva 2775 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( E. k  e.  ~P  U. R ( ( Rt  k )  e.  Comp  /\  E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  ->  ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ k o  S
)  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ) )
8416, 83syl5bi 209 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( x  e.  ran  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  ->  ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ k o  S
)  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ) )
8584ralrimiv 2733 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  A. x  e.  ran  ( k  e. 
{ y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) )
86 eqid 2389 . . . . . 6  |-  ( T  ^ k o  S
)  =  ( T  ^ k o  S
)
8786xkotopon 17555 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ k o  S )  e.  (TopOn `  ( S  Cn  T
) ) )
8864, 65, 87syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ k o  S
)  e.  (TopOn `  ( S  Cn  T
) ) )
89 eqid 2389 . . . . . 6  |-  ( S  ^ k o  R
)  =  ( S  ^ k o  R
)
9089xkotopon 17555 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ k o  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
9168, 64, 90syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( S  ^ k o  R
)  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
92 txtopon 17546 . . . 4  |-  ( ( ( T  ^ k o  S )  e.  (TopOn `  ( S  Cn  T
) )  /\  ( S  ^ k o  R
)  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )  -> 
( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R ) )  e.  (TopOn `  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) ) ) )
9388, 91, 92syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) )  e.  (TopOn `  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) ) ) )
94 ovex 6047 . . . . . 6  |-  ( R  Cn  T )  e. 
_V
9594pwex 4325 . . . . 5  |-  ~P ( R  Cn  T )  e. 
_V
96 eqid 2389 . . . . . . 7  |-  U. R  =  U. R
97 eqid 2389 . . . . . . 7  |-  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  =  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp }
9896, 97, 9xkotf 17540 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) : ( { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  X.  T ) --> ~P ( R  Cn  T )
99 frn 5539 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) : ( { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  X.  T ) --> ~P ( R  Cn  T )  ->  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( R  Cn  T ) )
10098, 99ax-mp 8 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  C_  ~P ( R  Cn  T
)
10195, 100ssexi 4291 . . . 4  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  e.  _V
102101a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  e.  _V )
10396, 97, 9xkoval 17542 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ k o  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
1041033adant2 976 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ k o  R
)  =  ( topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
105 eqid 2389 . . . . 5  |-  ( T  ^ k o  R
)  =  ( T  ^ k o  R
)
106105xkotopon 17555 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ k o  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  T
) ) )
1071063adant2 976 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ k o  R
)  e.  (TopOn `  ( R  Cn  T
) ) )
10893, 102, 104, 107subbascn 17242 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) )  Cn  ( T  ^ k o  R
) )  <->  ( F : ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) ) --> ( R  Cn  T )  /\  A. x  e.  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ k o  S
)  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ) ) )
1098, 85, 108mpbir2and 889 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  F  e.  ( ( ( T  ^ k o  S
)  tX  ( S  ^ k o  R ) )  Cn  ( T  ^ k o  R
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2375   A.wral 2651   E.wrex 2652   {crab 2655   _Vcvv 2901    C_ wss 3265   ~Pcpw 3744   <.cop 3762   U.cuni 3959    X. cxp 4818   `'ccnv 4819   ran crn 4821   "cima 4823    o. ccom 4824    Fn wfn 5391   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022    e. cmpt2 6024   ficfi 7352   ↾t crest 13577   topGenctg 13594   Topctop 16883  TopOnctopon 16884    Cn ccn 17212   Compccmp 17373  𝑛Locally cnlly 17451    tX ctx 17515    ^ k o cxko 17516
This theorem is referenced by:  cnmptkk  17638  xkofvcn  17639  symgtgp  18054
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-fin 7051  df-fi 7353  df-rest 13579  df-topgen 13596  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-ntr 17009  df-nei 17087  df-cn 17215  df-cmp 17374  df-nlly 17453  df-tx 17517  df-xko 17518
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