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Theorem xkococn 17680
Description: Continuity of the composition operation as a function on continuous function spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkococn.1  |-  F  =  ( f  e.  ( S  Cn  T ) ,  g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( f  o.  g
) )
Assertion
Ref Expression
xkococn  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  F  e.  ( ( ( T  ^ k o  S
)  tX  ( S  ^ k o  R ) )  Cn  ( T  ^ k o  R
) ) )
Distinct variable groups:    f, g, R    S, f, g    T, f, g
Allowed substitution hints:    F( f, g)

Proof of Theorem xkococn
Dummy variables  k 
a  v  x  y  z  b  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 734 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  (
f  e.  ( S  Cn  T )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  g  e.  ( R  Cn  S ) )
2 simprl 733 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  (
f  e.  ( S  Cn  T )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  f  e.  ( S  Cn  T ) )
3 cnco 17318 . . . . 5  |-  ( ( g  e.  ( R  Cn  S )  /\  f  e.  ( S  Cn  T ) )  -> 
( f  o.  g
)  e.  ( R  Cn  T ) )
41, 2, 3syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  (
f  e.  ( S  Cn  T )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( f  o.  g )  e.  ( R  Cn  T ) )
54ralrimivva 2790 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  A. f  e.  ( S  Cn  T
) A. g  e.  ( R  Cn  S
) ( f  o.  g )  e.  ( R  Cn  T ) )
6 xkococn.1 . . . 4  |-  F  =  ( f  e.  ( S  Cn  T ) ,  g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( f  o.  g
) )
76fmpt2 6409 . . 3  |-  ( A. f  e.  ( S  Cn  T ) A. g  e.  ( R  Cn  S
) ( f  o.  g )  e.  ( R  Cn  T )  <-> 
F : ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) ) --> ( R  Cn  T ) )
85, 7sylib 189 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  F :
( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) ) --> ( R  Cn  T
) )
9 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  =  ( k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )
109rnmpt2 6171 . . . . . 6  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  =  {
x  |  E. k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } }
1110eleq2i 2499 . . . . 5  |-  ( x  e.  ran  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  <->  x  e.  { x  |  E. k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } } )
12 abid 2423 . . . . 5  |-  ( x  e.  { x  |  E. k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } }  <->  E. k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )
13 oveq2 6080 . . . . . . 7  |-  ( y  =  k  ->  ( Rt  y )  =  ( Rt  k ) )
1413eleq1d 2501 . . . . . 6  |-  ( y  =  k  ->  (
( Rt  y )  e. 
Comp 
<->  ( Rt  k )  e. 
Comp ) )
1514rexrab 3090 . . . . 5  |-  ( E. k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }  <->  E. k  e.  ~P  U. R ( ( Rt  k )  e.  Comp  /\  E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) )
1611, 12, 153bitri 263 . . . 4  |-  ( x  e.  ran  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  <->  E. k  e.  ~P  U. R ( ( Rt  k )  e. 
Comp  /\  E. v  e.  T  x  =  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) )
178ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  F : ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) ) --> ( R  Cn  T ) )
18 ffn 5582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) ) --> ( R  Cn  T )  ->  F  Fn  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) ) )
19 elpreima 5841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
y  e.  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  <->  ( y  e.  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( F `  y )  e.  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) )
2017, 18, 193syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  (
y  e.  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  <->  ( y  e.  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( F `  y )  e.  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) )
21 coeq1 5021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  a  ->  (
f  o.  g )  =  ( a  o.  g ) )
22 coeq2 5022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  b  ->  (
a  o.  g )  =  ( a  o.  b ) )
23 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  a  e. 
_V
24 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  b  e. 
_V
2523, 24coex 5404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  o.  b )  e. 
_V
2621, 22, 6, 25ovmpt2 6200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  -> 
( a F b )  =  ( a  o.  b ) )
2726adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( a F b )  =  ( a  o.  b ) )
2827eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( ( a F b )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } 
<->  ( a  o.  b
)  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) )
29 imaeq1 5189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  =  ( a  o.  b )  ->  (
h " k )  =  ( ( a  o.  b ) "
k ) )
3029sseq1d 3367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( h  =  ( a  o.  b )  ->  (
( h " k
)  C_  v  <->  ( (
a  o.  b )
" k )  C_  v ) )
3130elrab 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  o.  b )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  <->  ( ( a  o.  b )  e.  ( R  Cn  T
)  /\  ( (
a  o.  b )
" k )  C_  v ) )
3231simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  o.  b )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v )
33 simp2 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  S  e. 𝑛Locally  Comp )
3433ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  ->  S  e. 𝑛Locally  Comp )
35 elpwi 3799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ~P U. R  ->  k  C_  U. R )
3635ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  -> 
k  C_  U. R )
3736ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  -> 
k  C_  U. R )
38 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  -> 
( Rt  k )  e. 
Comp )
3938ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  -> 
( Rt  k )  e. 
Comp )
40 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  -> 
v  e.  T )
41 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  -> 
a  e.  ( S  Cn  T ) )
42 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  -> 
b  e.  ( R  Cn  S ) )
43 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  -> 
( ( a  o.  b ) " k
)  C_  v )
446, 34, 37, 39, 40, 41, 42, 43xkococnlem 17679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  ->  E. z  e.  (
( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) ( <.
a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) )
4544expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) ( <.
a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
4632, 45syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( ( a  o.  b )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) ( <.
a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
4728, 46sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( ( a F b )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) ( <.
a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
4847ralrimivva 2790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  A. a  e.  ( S  Cn  T
) A. b  e.  ( R  Cn  S
) ( ( a F b )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) ( <.
a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
49 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( F `  y )  =  ( F `  <. a ,  b >. )
)
50 df-ov 6075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a F b )  =  ( F `  <. a ,  b >. )
5149, 50syl6eqr 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( F `  y )  =  ( a F b ) )
5251eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( F `
 y )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } 
<->  ( a F b )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) )
53 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( y  e.  z  <->  <. a ,  b
>.  e.  z ) )
5453anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) )  <->  ( <. a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ) ) )
5554rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) )  <->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R ) ) (
<. a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
5652, 55imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( ( F `  y )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) ) )  <-> 
( ( a F b )  e.  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) ( <.
a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) ) )
5756ralxp 5007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) ) ( ( F `  y )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) ) )  <->  A. a  e.  ( S  Cn  T ) A. b  e.  ( R  Cn  S ) ( ( a F b )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R ) ) (
<. a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
5848, 57sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  A. y  e.  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) ) ( ( F `  y )  e.  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
5958r19.21bi 2796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  y  e.  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( ( F `  y )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
6059expimpd 587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  (
( y  e.  ( ( S  Cn  T
)  X.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( F `  y )  e.  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) ) ) )
6120, 60sylbid 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  (
y  e.  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) ) ) )
6261ralrimiv 2780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  A. y  e.  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) ) )
63 nllytop 17524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  S  e.  Top )
64633ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  S  e. 
Top )
65 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  T  e. 
Top )
66 xkotop 17608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ k o  S )  e.  Top )
6764, 65, 66syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ k o  S
)  e.  Top )
68 simp1 957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  R  e. 
Top )
69 xkotop 17608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ k o  R )  e.  Top )
7068, 64, 69syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( S  ^ k o  R
)  e.  Top )
71 txtop 17589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  ^ k o  S )  e.  Top  /\  ( S  ^ k o  R )  e.  Top )  ->  ( ( T  ^ k o  S
)  tX  ( S  ^ k o  R ) )  e.  Top )
7267, 70, 71syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) )  e.  Top )
7372ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  (
( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) )  e.  Top )
74 eltop2 17028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) )  e.  Top  ->  ( ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) )  <->  A. y  e.  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) ) ) )
7573, 74syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  (
( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) )  <->  A. y  e.  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) E. z  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) ) ) )
7662, 75mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) )
77 imaeq2 5190 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) )
7877eleq1d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ k o  S
)  tX  ( S  ^ k o  R ) )  <->  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) ) )
7976, 78syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  (
x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ k o  S
)  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ) )
8079rexlimdva 2822 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  -> 
( E. v  e.  T  x  =  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }  ->  ( `' F "
x )  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) ) )
8180anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  k  e.  ~P U. R )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  ( E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }  ->  ( `' F "
x )  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) ) )
8281expimpd 587 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  k  e.  ~P U. R )  ->  ( ( ( Rt  k )  e.  Comp  /\ 
E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  ->  ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ k o  S
)  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ) )
8382rexlimdva 2822 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( E. k  e.  ~P  U. R ( ( Rt  k )  e.  Comp  /\  E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  ->  ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ k o  S
)  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ) )
8416, 83syl5bi 209 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( x  e.  ran  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  ->  ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ k o  S
)  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ) )
8584ralrimiv 2780 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  A. x  e.  ran  ( k  e. 
{ y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) ) )
86 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( T  ^ k o  S
)  =  ( T  ^ k o  S
)
8786xkotopon 17620 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ k o  S )  e.  (TopOn `  ( S  Cn  T
) ) )
8864, 65, 87syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ k o  S
)  e.  (TopOn `  ( S  Cn  T
) ) )
89 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( S  ^ k o  R
)  =  ( S  ^ k o  R
)
9089xkotopon 17620 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ k o  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
9168, 64, 90syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( S  ^ k o  R
)  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
92 txtopon 17611 . . . 4  |-  ( ( ( T  ^ k o  S )  e.  (TopOn `  ( S  Cn  T
) )  /\  ( S  ^ k o  R
)  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )  -> 
( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R ) )  e.  (TopOn `  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) ) ) )
9388, 91, 92syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) )  e.  (TopOn `  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) ) ) )
94 ovex 6097 . . . . . 6  |-  ( R  Cn  T )  e. 
_V
9594pwex 4374 . . . . 5  |-  ~P ( R  Cn  T )  e. 
_V
96 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  U. R  =  U. R
97 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  =  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp }
9896, 97, 9xkotf 17605 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) : ( { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  X.  T ) --> ~P ( R  Cn  T )
99 frn 5588 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) : ( { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  X.  T ) --> ~P ( R  Cn  T )  ->  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( R  Cn  T ) )
10098, 99ax-mp 8 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  C_  ~P ( R  Cn  T
)
10195, 100ssexi 4340 . . . 4  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  e.  _V
102101a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  e.  _V )
10396, 97, 9xkoval 17607 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ k o  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
1041033adant2 976 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ k o  R
)  =  ( topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
105 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( T  ^ k o  R
)  =  ( T  ^ k o  R
)
106105xkotopon 17620 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ k o  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  T
) ) )
1071063adant2 976 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ k o  R
)  e.  (TopOn `  ( R  Cn  T
) ) )
10893, 102, 104, 107subbascn 17306 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( ( ( T  ^ k o  S )  tX  ( S  ^ k o  R
) )  Cn  ( T  ^ k o  R
) )  <->  ( F : ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) ) --> ( R  Cn  T )  /\  A. x  e.  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ k o  S
)  tX  ( S  ^ k o  R ) ) ) ) )
1098, 85, 108mpbir2and 889 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  F  e.  ( ( ( T  ^ k o  S
)  tX  ( S  ^ k o  R ) )  Cn  ( T  ^ k o  R
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   <.cop 3809   U.cuni 4007    X. cxp 4867   `'ccnv 4868   ran crn 4870   "cima 4872    o. ccom 4873    Fn wfn 5440   -->wf 5441   ` cfv 5445  (class class class)co 6072    e. cmpt2 6074   ficfi 7406   ↾t crest 13636   topGenctg 13653   Topctop 16946  TopOnctopon 16947    Cn ccn 17276   Compccmp 17437  𝑛Locally cnlly 17516    tX ctx 17580    ^ k o cxko 17581
This theorem is referenced by:  cnmptkk  17703  xkofvcn  17704  symgtgp  18119
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-en 7101  df-dom 7102  df-fin 7104  df-fi 7407  df-rest 13638  df-topgen 13655  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-ntr 17072  df-nei 17150  df-cn 17279  df-cmp 17438  df-nlly 17518  df-tx 17582  df-xko 17583
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