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Theorem xkococn 17697
 Description: Continuity of the composition operation as a function on continuous function spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkococn.1
Assertion
Ref Expression
xkococn 𝑛Locally
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem xkococn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 735 . . . . 5 𝑛Locally
2 simprl 734 . . . . 5 𝑛Locally
3 cnco 17335 . . . . 5
41, 2, 3syl2anc 644 . . . 4 𝑛Locally
54ralrimivva 2800 . . 3 𝑛Locally
6 xkococn.1 . . . 4
76fmpt2 6421 . . 3
85, 7sylib 190 . 2 𝑛Locally
9 eqid 2438 . . . . . . 7 t t
109rnmpt2 6183 . . . . . 6 t t
1110eleq2i 2502 . . . . 5 t t
12 abid 2426 . . . . 5 t t
13 oveq2 6092 . . . . . . 7 t t
1413eleq1d 2504 . . . . . 6 t t
1514rexrab 3100 . . . . 5 t t
1611, 12, 153bitri 264 . . . 4 t t
178ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛Locally t
18 ffn 5594 . . . . . . . . . . . . 13
19 elpreima 5853 . . . . . . . . . . . . 13
2017, 18, 193syl 19 . . . . . . . . . . . 12 𝑛Locally t
21 coeq1 5033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
22 coeq2 5034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
23 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
24 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2523, 24coex 5416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2621, 22, 6, 25ovmpt2 6212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2726adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛Locally t
2827eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛Locally t
29 imaeq1 5201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3029sseq1d 3377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3130elrab 3094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3231simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33 simp2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑛Locally 𝑛Locally
3433ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛Locally t 𝑛Locally
35 elpwi 3809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3635ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑛Locally t
3736ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛Locally t
38 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑛Locally t t
3938ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛Locally t t
40 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛Locally t
41 simprll 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛Locally t
42 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛Locally t
43 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛Locally t
446, 34, 37, 39, 40, 41, 42, 43xkococnlem 17696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛Locally t
4544expr 600 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛Locally t
4632, 45syl5 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛Locally t
4728, 46sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛Locally t
4847ralrimivva 2800 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Locally t
49 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50 df-ov 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5149, 50syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5251eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
53 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5453anbi1d 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5554rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5652, 55imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5756ralxp 5019 . . . . . . . . . . . . . . 15
5848, 57sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛Locally t
5958r19.21bi 2806 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛Locally t
6059expimpd 588 . . . . . . . . . . . 12 𝑛Locally t
6120, 60sylbid 208 . . . . . . . . . . 11 𝑛Locally t
6261ralrimiv 2790 . . . . . . . . . 10 𝑛Locally t
63 nllytop 17541 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Locally
64633ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛Locally
65 simp3 960 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛Locally
66 xkotop 17625 . . . . . . . . . . . . . 14
6764, 65, 66syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛Locally
68 simp1 958 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛Locally
69 xkotop 17625 . . . . . . . . . . . . . 14
7068, 64, 69syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛Locally
71 txtop 17606 . . . . . . . . . . . . 13
7267, 70, 71syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12 𝑛Locally
7372ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11 𝑛Locally t
74 eltop2 17045 . . . . . . . . . . 11
7573, 74syl 16 . . . . . . . . . 10 𝑛Locally t
7662, 75mpbird 225 . . . . . . . . 9 𝑛Locally t
77 imaeq2 5202 . . . . . . . . . 10
7877eleq1d 2504 . . . . . . . . 9
7976, 78syl5ibrcom 215 . . . . . . . 8 𝑛Locally t
8079rexlimdva 2832 . . . . . . 7 𝑛Locally t
8180anassrs 631 . . . . . 6 𝑛Locally t
8281expimpd 588 . . . . 5 𝑛Locally t
8382rexlimdva 2832 . . . 4 𝑛Locally t
8416, 83syl5bi 210 . . 3 𝑛Locally t
8584ralrimiv 2790 . 2 𝑛Locally t
86 eqid 2438 . . . . . 6
8786xkotopon 17637 . . . . 5 TopOn
8864, 65, 87syl2anc 644 . . . 4 𝑛Locally TopOn
89 eqid 2438 . . . . . 6
9089xkotopon 17637 . . . . 5 TopOn
9168, 64, 90syl2anc 644 . . . 4 𝑛Locally TopOn
92 txtopon 17628 . . . 4 TopOn TopOn TopOn
9388, 91, 92syl2anc 644 . . 3 𝑛Locally TopOn
94 ovex 6109 . . . . . 6
9594pwex 4385 . . . . 5
96 eqid 2438 . . . . . . 7
97 eqid 2438 . . . . . . 7 t t
9896, 97, 9xkotf 17622 . . . . . 6 t t
99 frn 5600 . . . . . 6 t t t
10098, 99ax-mp 5 . . . . 5 t
10195, 100ssexi 4351 . . . 4 t
102101a1i 11 . . 3 𝑛Locally t
10396, 97, 9xkoval 17624 . . . 4 t
1041033adant2 977 . . 3 𝑛Locally t
105 eqid 2438 . . . . 5
106105xkotopon 17637 . . . 4 TopOn
1071063adant2 977 . . 3 𝑛Locally TopOn
10893, 102, 104, 107subbascn 17323 . 2 𝑛Locally t
1098, 85, 108mpbir2and 890 1 𝑛Locally
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  cab 2424  wral 2707  wrex 2708  crab 2711  cvv 2958   wss 3322  cpw 3801  cop 3819  cuni 4017   cxp 4879  ccnv 4880   crn 4882  cima 4884   ccom 4885   wfn 5452  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmpt2 6086  cfi 7418   ↾t crest 13653  ctg 13670  ctop 16963  TopOnctopon 16964   ccn 17293  ccmp 17454  𝑛Locally cnlly 17533   ctx 17597   cxko 17598 This theorem is referenced by:  cnmptkk  17720  xkofvcn  17721  symgtgp  18136 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-fin 7116  df-fi 7419  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-ntr 17089  df-nei 17167  df-cn 17296  df-cmp 17455  df-nlly 17535  df-tx 17599  df-xko 17600
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