Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkofvcn Structured version   Unicode version

Theorem xkofvcn 17721
 Description: Joint continuity of the function value operation as a function on continuous function spaces. (Compare xkopjcn 17693.) (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xkofvcn.1
xkofvcn.2
Assertion
Ref Expression
xkofvcn 𝑛Locally
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem xkofvcn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xkofvcn.2 . 2
2 nllytop 17541 . . . 4 𝑛Locally
3 eqid 2438 . . . . 5
43xkotopon 17637 . . . 4 TopOn
52, 4sylan 459 . . 3 𝑛Locally TopOn
62adantr 453 . . . 4 𝑛Locally
7 xkofvcn.1 . . . . 5
87toptopon 17003 . . . 4 TopOn
96, 8sylib 190 . . 3 𝑛Locally TopOn
105, 9cnmpt1st 17705 . . . 4 𝑛Locally
115, 9cnmpt2nd 17706 . . . . 5 𝑛Locally
12 1on 6734 . . . . . . 7
13 distopon 17066 . . . . . . 7 TopOn
1412, 13mp1i 12 . . . . . 6 𝑛Locally TopOn
15 xkoccn 17656 . . . . . 6 TopOn TopOn
1614, 9, 15syl2anc 644 . . . . 5 𝑛Locally
17 sneq 3827 . . . . . 6
1817xpeq2d 4905 . . . . 5
195, 9, 11, 9, 16, 18cnmpt21 17708 . . . 4 𝑛Locally
20 distop 17065 . . . . . 6
2112, 20mp1i 12 . . . . 5 𝑛Locally
22 eqid 2438 . . . . . 6
2322xkotopon 17637 . . . . 5 TopOn
2421, 6, 23syl2anc 644 . . . 4 𝑛Locally TopOn
25 simpl 445 . . . . 5 𝑛Locally 𝑛Locally
26 simpr 449 . . . . 5 𝑛Locally
27 eqid 2438 . . . . . 6
2827xkococn 17697 . . . . 5 𝑛Locally
2921, 25, 26, 28syl3anc 1185 . . . 4 𝑛Locally
30 coeq1 5033 . . . . 5
31 coeq2 5034 . . . . 5
3230, 31sylan9eq 2490 . . . 4
335, 9, 10, 19, 5, 24, 29, 32cnmpt22 17711 . . 3 𝑛Locally
34 eqid 2438 . . . . 5
3534xkotopon 17637 . . . 4 TopOn
3621, 26, 35syl2anc 644 . . 3 𝑛Locally TopOn
37 0lt1o 6751 . . . . 5
3837a1i 11 . . . 4 𝑛Locally
39 unipw 4417 . . . . . 6
4039eqcomi 2442 . . . . 5
4140xkopjcn 17693 . . . 4
4221, 26, 38, 41syl3anc 1185 . . 3 𝑛Locally
43 fveq1 5730 . . . 4
44 vex 2961 . . . . . . 7
4544fconst 5632 . . . . . 6
46 fvco3 5803 . . . . . 6
4745, 37, 46mp2an 655 . . . . 5
4844fvconst2 5950 . . . . . . 7
4937, 48ax-mp 5 . . . . . 6
5049fveq2i 5734 . . . . 5
5147, 50eqtri 2458 . . . 4
5243, 51syl6eq 2486 . . 3
535, 9, 33, 36, 42, 52cnmpt21 17708 . 2 𝑛Locally
541, 53syl5eqel 2522 1 𝑛Locally
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  c0 3630  cpw 3801  csn 3816  cuni 4017   cmpt 4269  con0 4584   cxp 4879   ccom 4885  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmpt2 6086  c1o 6720  ctop 16963  TopOnctopon 16964   ccn 17293  ccmp 17454  𝑛Locally cnlly 17533   ctx 17597   cxko 17598 This theorem is referenced by:  cnmptk1p  17722  cnmptk2  17723 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-ntr 17089  df-nei 17167  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-cmp 17455  df-nlly 17535  df-tx 17599  df-xko 17600
 Copyright terms: Public domain W3C validator