Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkopjcn Structured version   Unicode version

Theorem xkopjcn 17680
 Description: Continuity of a projection map from the space of continuous functions. (This theorem can be strengthened, to joint continuity in both and as a function on , but not without stronger assumptions on ; see xkofvcn 17708.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkopjcn.1
Assertion
Ref Expression
xkopjcn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem xkopjcn
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . . 6
21xkotopon 17624 . . . . 5 TopOn
323adant3 977 . . . 4 TopOn
4 xkopjcn.1 . . . . . . . . 9
54topopn 16971 . . . . . . . 8
653ad2ant1 978 . . . . . . 7
7 fconst6g 5624 . . . . . . . 8
873ad2ant2 979 . . . . . . 7
9 pttop 17606 . . . . . . 7
106, 8, 9syl2anc 643 . . . . . 6
11 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
124, 11cnf 17302 . . . . . . . . 9
13 uniexg 4698 . . . . . . . . . . 11
14133ad2ant2 979 . . . . . . . . . 10
15 elmapg 7023 . . . . . . . . . 10
1614, 6, 15syl2anc 643 . . . . . . . . 9
1712, 16syl5ibr 213 . . . . . . . 8
1817ssrdv 3346 . . . . . . 7
19 simp2 958 . . . . . . . 8
20 eqid 2435 . . . . . . . . 9
2120, 11ptuniconst 17622 . . . . . . . 8
226, 19, 21syl2anc 643 . . . . . . 7
2318, 22sseqtrd 3376 . . . . . 6
24 eqid 2435 . . . . . . 7
2524restuni 17218 . . . . . 6 t
2610, 23, 25syl2anc 643 . . . . 5 t
2726fveq2d 5724 . . . 4 TopOn TopOn t
283, 27eleqtrd 2511 . . 3 TopOn t
294, 20xkoptsub 17678 . . . 4 t
30293adant3 977 . . 3 t
31 eqid 2435 . . . 4 t t
3231cnss1 17332 . . 3 TopOn t t t
3328, 30, 32syl2anc 643 . 2 t
34 resmpt 5183 . . . 4
3523, 34syl 16 . . 3
36 simp3 959 . . . . . 6
3724, 20ptpjcn 17635 . . . . . 6
386, 8, 36, 37syl3anc 1184 . . . . 5
39 fvconst2g 5937 . . . . . . 7
40393adant1 975 . . . . . 6
4140oveq2d 6089 . . . . 5
4238, 41eleqtrd 2511 . . . 4
4324cnrest 17341 . . . 4 t
4442, 23, 43syl2anc 643 . . 3 t
4535, 44eqeltrrd 2510 . 2 t
4633, 45sseldd 3341 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948   wss 3312  csn 3806  cuni 4007   cmpt 4258   cxp 4868   cres 4872  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmap 7010   ↾t crest 13640  cpt 13658  ctop 16950  TopOnctopon 16951   ccn 17280   cxko 17585 This theorem is referenced by:  cnmptkp  17704  xkofvcn  17708 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cn 17283  df-cmp 17442  df-xko 17587
 Copyright terms: Public domain W3C validator