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Theorem xkopjcn 17680
Description: Continuity of a projection map from the space of continuous functions. (This theorem can be strengthened, to joint continuity in both  f and  A as a function on  ( S  ^ k o  R ) 
tX  R, but not without stronger assumptions on  R; see xkofvcn 17708.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkopjcn.1  |-  X  = 
U. R
Assertion
Ref Expression
xkopjcn  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
f  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( f `  A ) )  e.  ( ( S  ^ k o  R )  Cn  S
) )
Distinct variable groups:    A, f    R, f    S, f    f, X

Proof of Theorem xkopjcn
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( S  ^ k o  R
)  =  ( S  ^ k o  R
)
21xkotopon 17624 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ k o  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
323adant3 977 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( S  ^ k o  R
)  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
4 xkopjcn.1 . . . . . . . . 9  |-  X  = 
U. R
54topopn 16971 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Top  ->  X  e.  R )
653ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  X  e.  R )
7 fconst6g 5624 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  Top  ->  ( X  X.  { S }
) : X --> Top )
873ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( X  X.  { S }
) : X --> Top )
9 pttop 17606 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  R  /\  ( X  X.  { S } ) : X --> Top )  ->  ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )  e. 
Top )
106, 8, 9syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )  e.  Top )
11 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  U. S  =  U. S
124, 11cnf 17302 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( R  Cn  S )  ->  f : X --> U. S )
13 uniexg 4698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  Top  ->  U. S  e.  _V )
14133ad2ant2 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  U. S  e.  _V )
15 elmapg 7023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. S  e.  _V  /\  X  e.  R )  ->  ( f  e.  ( U. S  ^m  X )  <->  f : X
--> U. S ) )
1614, 6, 15syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
f  e.  ( U. S  ^m  X )  <->  f : X
--> U. S ) )
1712, 16syl5ibr 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
f  e.  ( R  Cn  S )  -> 
f  e.  ( U. S  ^m  X ) ) )
1817ssrdv 3346 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( R  Cn  S )  C_  ( U. S  ^m  X
) )
19 simp2 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  S  e.  Top )
20 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )  =  ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )
2120, 11ptuniconst 17622 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  R  /\  S  e.  Top )  ->  ( U. S  ^m  X )  =  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) ) )
226, 19, 21syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( U. S  ^m  X )  =  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) ) )
2318, 22sseqtrd 3376 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( R  Cn  S )  C_  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) ) )
24 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )
2524restuni 17218 . . . . . 6  |-  ( ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  e.  Top  /\  ( R  Cn  S
)  C_  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) ) )  ->  ( R  Cn  S )  =  U. ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) ) )
2610, 23, 25syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( R  Cn  S )  = 
U. ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )t  ( R  Cn  S ) ) )
2726fveq2d 5724 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (TopOn `  ( R  Cn  S
) )  =  (TopOn `  U. ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )t  ( R  Cn  S ) ) ) )
283, 27eleqtrd 2511 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( S  ^ k o  R
)  e.  (TopOn `  U. ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) ) ) )
294, 20xkoptsub 17678 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) )  C_  ( S  ^ k o  R ) )
30293adant3 977 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) )  C_  ( S  ^ k o  R ) )
31 eqid 2435 . . . 4  |-  U. (
( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) )  = 
U. ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )t  ( R  Cn  S ) )
3231cnss1 17332 . . 3  |-  ( ( ( S  ^ k o  R )  e.  (TopOn `  U. ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )t  ( R  Cn  S ) ) )  /\  ( (
Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )t  ( R  Cn  S
) )  C_  ( S  ^ k o  R
) )  ->  (
( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) )  Cn  S )  C_  (
( S  ^ k o  R )  Cn  S
) )
3328, 30, 32syl2anc 643 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) )  Cn  S )  C_  (
( S  ^ k o  R )  Cn  S
) )
34 resmpt 5183 . . . 4  |-  ( ( R  Cn  S ) 
C_  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  ->  (
( f  e.  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  |->  ( f `
 A ) )  |`  ( R  Cn  S
) )  =  ( f  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( f `  A ) ) )
3523, 34syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
( f  e.  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  |->  ( f `
 A ) )  |`  ( R  Cn  S
) )  =  ( f  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( f `  A ) ) )
36 simp3 959 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  X )
3724, 20ptpjcn 17635 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  R  /\  ( X  X.  { S } ) : X --> Top  /\  A  e.  X
)  ->  ( f  e.  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  |->  ( f `
 A ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )  Cn  ( ( X  X.  { S } ) `  A ) ) )
386, 8, 36, 37syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
f  e.  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) ) 
|->  ( f `  A
) )  e.  ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  Cn  (
( X  X.  { S } ) `  A
) ) )
39 fvconst2g 5937 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( ( X  X.  { S } ) `  A )  =  S )
40393adant1 975 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
( X  X.  { S } ) `  A
)  =  S )
4140oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  Cn  (
( X  X.  { S } ) `  A
) )  =  ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  Cn  S
) )
4238, 41eleqtrd 2511 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
f  e.  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) ) 
|->  ( f `  A
) )  e.  ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  Cn  S
) )
4324cnrest 17341 . . . 4  |-  ( ( ( f  e.  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  |->  ( f `
 A ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )  Cn  S )  /\  ( R  Cn  S )  C_  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) ) )  -> 
( ( f  e. 
U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  |->  ( f `
 A ) )  |`  ( R  Cn  S
) )  e.  ( ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) )  Cn  S ) )
4442, 23, 43syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
( f  e.  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  |->  ( f `
 A ) )  |`  ( R  Cn  S
) )  e.  ( ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) )  Cn  S ) )
4535, 44eqeltrrd 2510 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
f  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( f `  A ) )  e.  ( ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) )  Cn  S ) )
4633, 45sseldd 3341 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
f  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( f `  A ) )  e.  ( ( S  ^ k o  R )  Cn  S
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   {csn 3806   U.cuni 4007    e. cmpt 4258    X. cxp 4868    |` cres 4872   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   ↾t crest 13640   Xt_cpt 13658   Topctop 16950  TopOnctopon 16951    Cn ccn 17280    ^ k o cxko 17585
This theorem is referenced by:  cnmptkp  17704  xkofvcn  17708
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cn 17283  df-cmp 17442  df-xko 17587
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