MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlesubadd Structured version   Unicode version

Theorem xlesubadd 10847
Description: Under certain conditions, the conclusion of lesubadd 9505 is true even in the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlesubadd  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e B ) ) )

Proof of Theorem xlesubadd
StepHypRef Expression
1 simpl1 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  A  e.  RR* )
2 simpl2 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  B  e.  RR* )
3 xnegcl 10804 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR*  ->  - e B  e.  RR* )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  - e B  e.  RR* )
5 xaddcl 10828 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  - e B  e.  RR* )  -> 
( A + e  - e B )  e. 
RR* )
61, 4, 5syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A + e  - e B )  e. 
RR* )
76adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( A + e  - e B )  e.  RR* )
8 simpll3 999 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  C  e. 
RR* )
9 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
10 xleadd1 10839 . . . 4  |-  ( ( ( A + e  - e B )  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* 
/\  B  e.  RR )  ->  ( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  ( ( A + e  - e B ) + e B )  <_ 
( C + e B ) ) )
117, 8, 9, 10syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  ( ( A + e  - e B ) + e B )  <_ 
( C + e B ) ) )
12 xnpcan 10836 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A + e  - e B ) + e B )  =  A )
131, 12sylan 459 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A + e  - e B ) + e B )  =  A )
1413breq1d 4225 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A + e  - e B ) + e B )  <_ 
( C + e B )  <->  A  <_  ( C + e B ) ) )
1511, 14bitrd 246 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e B ) ) )
16 simpr3 966 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
0  <_  C )
17 oveq1 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  +oo  ->  ( A + e  -oo )  =  (  +oo + e  -oo ) )
18 pnfaddmnf 10821 . . . . . . . . 9  |-  (  +oo + e  -oo )  =  0
1917, 18syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  +oo  ->  ( A + e  -oo )  =  0 )
2019breq1d 4225 . . . . . . 7  |-  ( A  =  +oo  ->  (
( A + e  -oo )  <_  C  <->  0  <_  C ) )
2116, 20syl5ibrcom 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A  =  +oo  ->  ( A + e  -oo )  <_  C ) )
22 xaddmnf1 10819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/=  +oo )  ->  ( A + e  -oo )  =  -oo )
2322ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  =/=  +oo  ->  ( A + e  -oo )  =  -oo ) )
241, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A  =/=  +oo  ->  ( A + e  -oo )  =  -oo ) )
25 simpl3 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  C  e.  RR* )
26 mnfle 10734 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  RR*  ->  -oo  <_  C )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  -oo  <_  C )
28 breq1 4218 . . . . . . . 8  |-  ( ( A + e  -oo )  =  -oo  ->  (
( A + e  -oo )  <_  C  <->  -oo  <_  C
) )
2927, 28syl5ibrcom 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A + e  -oo )  =  -oo  ->  ( A + e  -oo )  <_  C ) )
3024, 29syld 43 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A  =/=  +oo  ->  ( A + e  -oo )  <_  C ) )
3121, 30pm2.61dne 2683 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A + e  -oo )  <_  C )
32 pnfge 10732 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  +oo )
331, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  A  <_  +oo )
34 ge0nemnf 10766 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )  ->  C  =/=  -oo )
3525, 16, 34syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  C  =/=  -oo )
36 xaddpnf1 10817 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  C  =/=  -oo )  ->  ( C + e  +oo )  =  +oo )
3725, 35, 36syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( C + e  +oo )  =  +oo )
3833, 37breqtrrd 4241 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  A  <_  ( C + e  +oo ) )
3931, 382thd 233 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A + e  -oo )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e  +oo ) ) )
40 xnegeq 10798 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  +oo  ->  - e B  =  - e  +oo )
41 xnegpnf 10800 . . . . . . . 8  |-  - e  +oo  =  -oo
4240, 41syl6eq 2486 . . . . . . 7  |-  ( B  =  +oo  ->  - e B  =  -oo )
4342oveq2d 6100 . . . . . 6  |-  ( B  =  +oo  ->  ( A + e  - e B )  =  ( A + e  -oo ) )
4443breq1d 4225 . . . . 5  |-  ( B  =  +oo  ->  (
( A + e  - e B )  <_  C 
<->  ( A + e  -oo )  <_  C ) )
45 oveq2 6092 . . . . . 6  |-  ( B  =  +oo  ->  ( C + e B )  =  ( C + e  +oo ) )
4645breq2d 4227 . . . . 5  |-  ( B  =  +oo  ->  ( A  <_  ( C + e B )  <->  A  <_  ( C + e  +oo ) ) )
4744, 46bibi12d 314 . . . 4  |-  ( B  =  +oo  ->  (
( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e B ) )  <->  ( ( A + e  -oo )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e  +oo )
) ) )
4839, 47syl5ibrcom 215 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B  =  +oo  ->  ( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e B ) ) ) )
4948imp 420 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  =  +oo )  ->  ( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e B ) ) )
50 simpr2 965 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  B  =/=  -oo )
512, 50jca 520 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B  e.  RR*  /\  B  =/=  -oo )
)
52 xrnemnf 10723 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  B  =/=  -oo )  <->  ( B  e.  RR  \/  B  = 
+oo ) )
5351, 52sylib 190 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B  e.  RR  \/  B  =  +oo ) )
5415, 49, 53mpjaodan 763 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   class class class wbr 4215  (class class class)co 6084   RRcr 8994   0cc0 8995    +oocpnf 9122    -oocmnf 9123   RR*cxr 9124    <_ cle 9126    - ecxne 10712   + ecxad 10713
This theorem is referenced by:  xmetrtri  18390  metdstri  18886  metdscnlem  18890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-xneg 10715  df-xadd 10716
  Copyright terms: Public domain W3C validator