MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlesubadd Structured version   Unicode version

Theorem xlesubadd 10834
Description: Under certain conditions, the conclusion of lesubadd 9492 is true even in the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlesubadd  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e B ) ) )

Proof of Theorem xlesubadd
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  A  e.  RR* )
2 simpl2 961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  B  e.  RR* )
3 xnegcl 10791 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR*  ->  - e B  e.  RR* )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  - e B  e.  RR* )
5 xaddcl 10815 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  - e B  e.  RR* )  -> 
( A + e  - e B )  e. 
RR* )
61, 4, 5syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A + e  - e B )  e. 
RR* )
76adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( A + e  - e B )  e.  RR* )
8 simpll3 998 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  C  e. 
RR* )
9 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
10 xleadd1 10826 . . . 4  |-  ( ( ( A + e  - e B )  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* 
/\  B  e.  RR )  ->  ( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  ( ( A + e  - e B ) + e B )  <_ 
( C + e B ) ) )
117, 8, 9, 10syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  ( ( A + e  - e B ) + e B )  <_ 
( C + e B ) ) )
12 xnpcan 10823 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A + e  - e B ) + e B )  =  A )
131, 12sylan 458 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A + e  - e B ) + e B )  =  A )
1413breq1d 4214 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A + e  - e B ) + e B )  <_ 
( C + e B )  <->  A  <_  ( C + e B ) ) )
1511, 14bitrd 245 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e B ) ) )
16 simpr3 965 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
0  <_  C )
17 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  +oo  ->  ( A + e  -oo )  =  (  +oo + e  -oo ) )
18 pnfaddmnf 10808 . . . . . . . . 9  |-  (  +oo + e  -oo )  =  0
1917, 18syl6eq 2483 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  +oo  ->  ( A + e  -oo )  =  0 )
2019breq1d 4214 . . . . . . 7  |-  ( A  =  +oo  ->  (
( A + e  -oo )  <_  C  <->  0  <_  C ) )
2116, 20syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A  =  +oo  ->  ( A + e  -oo )  <_  C ) )
22 xaddmnf1 10806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/=  +oo )  ->  ( A + e  -oo )  =  -oo )
2322ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  =/=  +oo  ->  ( A + e  -oo )  =  -oo ) )
241, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A  =/=  +oo  ->  ( A + e  -oo )  =  -oo ) )
25 simpl3 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  C  e.  RR* )
26 mnfle 10721 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  RR*  ->  -oo  <_  C )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  -oo  <_  C )
28 breq1 4207 . . . . . . . 8  |-  ( ( A + e  -oo )  =  -oo  ->  (
( A + e  -oo )  <_  C  <->  -oo  <_  C
) )
2927, 28syl5ibrcom 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A + e  -oo )  =  -oo  ->  ( A + e  -oo )  <_  C ) )
3024, 29syld 42 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A  =/=  +oo  ->  ( A + e  -oo )  <_  C ) )
3121, 30pm2.61dne 2675 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A + e  -oo )  <_  C )
32 pnfge 10719 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  +oo )
331, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  A  <_  +oo )
34 ge0nemnf 10753 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )  ->  C  =/=  -oo )
3525, 16, 34syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  C  =/=  -oo )
36 xaddpnf1 10804 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  C  =/=  -oo )  ->  ( C + e  +oo )  =  +oo )
3725, 35, 36syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( C + e  +oo )  =  +oo )
3833, 37breqtrrd 4230 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  A  <_  ( C + e  +oo ) )
3931, 382thd 232 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A + e  -oo )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e  +oo ) ) )
40 xnegeq 10785 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  +oo  ->  - e B  =  - e  +oo )
41 xnegpnf 10787 . . . . . . . 8  |-  - e  +oo  =  -oo
4240, 41syl6eq 2483 . . . . . . 7  |-  ( B  =  +oo  ->  - e B  =  -oo )
4342oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( B  =  +oo  ->  ( A + e  - e B )  =  ( A + e  -oo ) )
4443breq1d 4214 . . . . 5  |-  ( B  =  +oo  ->  (
( A + e  - e B )  <_  C 
<->  ( A + e  -oo )  <_  C ) )
45 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( B  =  +oo  ->  ( C + e B )  =  ( C + e  +oo ) )
4645breq2d 4216 . . . . 5  |-  ( B  =  +oo  ->  ( A  <_  ( C + e B )  <->  A  <_  ( C + e  +oo ) ) )
4744, 46bibi12d 313 . . . 4  |-  ( B  =  +oo  ->  (
( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e B ) )  <->  ( ( A + e  -oo )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e  +oo )
) ) )
4839, 47syl5ibrcom 214 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B  =  +oo  ->  ( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e B ) ) ) )
4948imp 419 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  =  +oo )  ->  ( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e B ) ) )
50 simpr2 964 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  B  =/=  -oo )
512, 50jca 519 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B  e.  RR*  /\  B  =/=  -oo )
)
52 xrnemnf 10710 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  B  =/=  -oo )  <->  ( B  e.  RR  \/  B  = 
+oo ) )
5351, 52sylib 189 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B  e.  RR  \/  B  =  +oo ) )
5415, 49, 53mpjaodan 762 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982    +oocpnf 9109    -oocmnf 9110   RR*cxr 9111    <_ cle 9113    - ecxne 10699   + ecxad 10700
This theorem is referenced by:  xmetrtri  18377  metdstri  18873  metdscnlem  18877
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-xneg 10702  df-xadd 10703
  Copyright terms: Public domain W3C validator