MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlesubadd Unicode version

Theorem xlesubadd 10775
Description: Under certain conditions, the conclusion of lesubadd 9433 is true even in the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlesubadd  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e B ) ) )

Proof of Theorem xlesubadd
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  A  e.  RR* )
2 simpl2 961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  B  e.  RR* )
3 xnegcl 10732 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR*  ->  - e B  e.  RR* )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  - e B  e.  RR* )
5 xaddcl 10756 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  - e B  e.  RR* )  -> 
( A + e  - e B )  e. 
RR* )
61, 4, 5syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A + e  - e B )  e. 
RR* )
76adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( A + e  - e B )  e.  RR* )
8 simpll3 998 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  C  e. 
RR* )
9 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
10 xleadd1 10767 . . . 4  |-  ( ( ( A + e  - e B )  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* 
/\  B  e.  RR )  ->  ( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  ( ( A + e  - e B ) + e B )  <_ 
( C + e B ) ) )
117, 8, 9, 10syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  ( ( A + e  - e B ) + e B )  <_ 
( C + e B ) ) )
12 xnpcan 10764 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A + e  - e B ) + e B )  =  A )
131, 12sylan 458 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A + e  - e B ) + e B )  =  A )
1413breq1d 4164 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A + e  - e B ) + e B )  <_ 
( C + e B )  <->  A  <_  ( C + e B ) ) )
1511, 14bitrd 245 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e B ) ) )
16 simpr3 965 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
0  <_  C )
17 oveq1 6028 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  +oo  ->  ( A + e  -oo )  =  (  +oo + e  -oo ) )
18 pnfaddmnf 10749 . . . . . . . . 9  |-  (  +oo + e  -oo )  =  0
1917, 18syl6eq 2436 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  +oo  ->  ( A + e  -oo )  =  0 )
2019breq1d 4164 . . . . . . 7  |-  ( A  =  +oo  ->  (
( A + e  -oo )  <_  C  <->  0  <_  C ) )
2116, 20syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A  =  +oo  ->  ( A + e  -oo )  <_  C ) )
22 xaddmnf1 10747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/=  +oo )  ->  ( A + e  -oo )  =  -oo )
2322ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  =/=  +oo  ->  ( A + e  -oo )  =  -oo ) )
241, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A  =/=  +oo  ->  ( A + e  -oo )  =  -oo ) )
25 simpl3 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  C  e.  RR* )
26 mnfle 10662 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  RR*  ->  -oo  <_  C )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  -oo  <_  C )
28 breq1 4157 . . . . . . . 8  |-  ( ( A + e  -oo )  =  -oo  ->  (
( A + e  -oo )  <_  C  <->  -oo  <_  C
) )
2927, 28syl5ibrcom 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A + e  -oo )  =  -oo  ->  ( A + e  -oo )  <_  C ) )
3024, 29syld 42 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A  =/=  +oo  ->  ( A + e  -oo )  <_  C ) )
3121, 30pm2.61dne 2628 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A + e  -oo )  <_  C )
32 pnfge 10660 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  +oo )
331, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  A  <_  +oo )
34 ge0nemnf 10694 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )  ->  C  =/=  -oo )
3525, 16, 34syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  C  =/=  -oo )
36 xaddpnf1 10745 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  C  =/=  -oo )  ->  ( C + e  +oo )  =  +oo )
3725, 35, 36syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( C + e  +oo )  =  +oo )
3833, 37breqtrrd 4180 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  A  <_  ( C + e  +oo ) )
3931, 382thd 232 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A + e  -oo )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e  +oo ) ) )
40 xnegeq 10726 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  +oo  ->  - e B  =  - e  +oo )
41 xnegpnf 10728 . . . . . . . 8  |-  - e  +oo  =  -oo
4240, 41syl6eq 2436 . . . . . . 7  |-  ( B  =  +oo  ->  - e B  =  -oo )
4342oveq2d 6037 . . . . . 6  |-  ( B  =  +oo  ->  ( A + e  - e B )  =  ( A + e  -oo ) )
4443breq1d 4164 . . . . 5  |-  ( B  =  +oo  ->  (
( A + e  - e B )  <_  C 
<->  ( A + e  -oo )  <_  C ) )
45 oveq2 6029 . . . . . 6  |-  ( B  =  +oo  ->  ( C + e B )  =  ( C + e  +oo ) )
4645breq2d 4166 . . . . 5  |-  ( B  =  +oo  ->  ( A  <_  ( C + e B )  <->  A  <_  ( C + e  +oo ) ) )
4744, 46bibi12d 313 . . . 4  |-  ( B  =  +oo  ->  (
( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e B ) )  <->  ( ( A + e  -oo )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e  +oo )
) ) )
4839, 47syl5ibrcom 214 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B  =  +oo  ->  ( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e B ) ) ) )
4948imp 419 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  =  +oo )  ->  ( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e B ) ) )
50 simpr2 964 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  B  =/=  -oo )
512, 50jca 519 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B  e.  RR*  /\  B  =/=  -oo )
)
52 xrnemnf 10651 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  B  =/=  -oo )  <->  ( B  e.  RR  \/  B  = 
+oo ) )
5351, 52sylib 189 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B  e.  RR  \/  B  =  +oo ) )
5415, 49, 53mpjaodan 762 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   class class class wbr 4154  (class class class)co 6021   RRcr 8923   0cc0 8924    +oocpnf 9051    -oocmnf 9052   RR*cxr 9053    <_ cle 9055    - ecxne 10640   + ecxad 10641
This theorem is referenced by:  xmetrtri  18294  metdstri  18753  metdscnlem  18757
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-xneg 10643  df-xadd 10644
  Copyright terms: Public domain W3C validator