MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlesubadd Unicode version

Theorem xlesubadd 10585
Description: Under certain conditions, the conclusion of lesubadd 9248 is true even in the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlesubadd  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e B ) ) )

Proof of Theorem xlesubadd
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  A  e.  RR* )
2 simpl2 959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  B  e.  RR* )
3 xnegcl 10542 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR*  ->  - e B  e.  RR* )
42, 3syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  - e B  e.  RR* )
5 xaddcl 10566 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  - e B  e.  RR* )  -> 
( A + e  - e B )  e. 
RR* )
61, 4, 5syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A + e  - e B )  e. 
RR* )
76adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( A + e  - e B )  e.  RR* )
8 simpll3 996 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  C  e. 
RR* )
9 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
10 xleadd1 10577 . . . 4  |-  ( ( ( A + e  - e B )  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* 
/\  B  e.  RR )  ->  ( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  ( ( A + e  - e B ) + e B )  <_ 
( C + e B ) ) )
117, 8, 9, 10syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  ( ( A + e  - e B ) + e B )  <_ 
( C + e B ) ) )
12 xnpcan 10574 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A + e  - e B ) + e B )  =  A )
131, 12sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A + e  - e B ) + e B )  =  A )
1413breq1d 4035 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A + e  - e B ) + e B )  <_ 
( C + e B )  <->  A  <_  ( C + e B ) ) )
1511, 14bitrd 244 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e B ) ) )
16 simpr3 963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
0  <_  C )
17 oveq1 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  +oo  ->  ( A + e  -oo )  =  (  +oo + e  -oo ) )
18 pnfaddmnf 10559 . . . . . . . . 9  |-  (  +oo + e  -oo )  =  0
1917, 18syl6eq 2333 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  +oo  ->  ( A + e  -oo )  =  0 )
2019breq1d 4035 . . . . . . 7  |-  ( A  =  +oo  ->  (
( A + e  -oo )  <_  C  <->  0  <_  C ) )
2116, 20syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A  =  +oo  ->  ( A + e  -oo )  <_  C ) )
22 xaddmnf1 10557 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/=  +oo )  ->  ( A + e  -oo )  =  -oo )
2322ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  =/=  +oo  ->  ( A + e  -oo )  =  -oo ) )
241, 23syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A  =/=  +oo  ->  ( A + e  -oo )  =  -oo ) )
25 simpl3 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  C  e.  RR* )
26 mnfle 10472 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  RR*  ->  -oo  <_  C )
2725, 26syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  -oo  <_  C )
28 breq1 4028 . . . . . . . 8  |-  ( ( A + e  -oo )  =  -oo  ->  (
( A + e  -oo )  <_  C  <->  -oo  <_  C
) )
2927, 28syl5ibrcom 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A + e  -oo )  =  -oo  ->  ( A + e  -oo )  <_  C ) )
3024, 29syld 40 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A  =/=  +oo  ->  ( A + e  -oo )  <_  C ) )
3121, 30pm2.61dne 2525 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A + e  -oo )  <_  C )
32 pnfge 10471 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  +oo )
331, 32syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  A  <_  +oo )
34 ge0nemnf 10504 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )  ->  C  =/=  -oo )
3525, 16, 34syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  C  =/=  -oo )
36 xaddpnf1 10555 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  C  =/=  -oo )  ->  ( C + e  +oo )  =  +oo )
3725, 35, 36syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( C + e  +oo )  =  +oo )
3833, 37breqtrrd 4051 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  A  <_  ( C + e  +oo ) )
3931, 382thd 231 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A + e  -oo )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e  +oo ) ) )
40 xnegeq 10536 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  +oo  ->  - e B  =  - e  +oo )
41 xnegpnf 10538 . . . . . . . 8  |-  - e  +oo  =  -oo
4240, 41syl6eq 2333 . . . . . . 7  |-  ( B  =  +oo  ->  - e B  =  -oo )
4342oveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( B  =  +oo  ->  ( A + e  - e B )  =  ( A + e  -oo ) )
4443breq1d 4035 . . . . 5  |-  ( B  =  +oo  ->  (
( A + e  - e B )  <_  C 
<->  ( A + e  -oo )  <_  C ) )
45 oveq2 5868 . . . . . 6  |-  ( B  =  +oo  ->  ( C + e B )  =  ( C + e  +oo ) )
4645breq2d 4037 . . . . 5  |-  ( B  =  +oo  ->  ( A  <_  ( C + e B )  <->  A  <_  ( C + e  +oo ) ) )
4744, 46bibi12d 312 . . . 4  |-  ( B  =  +oo  ->  (
( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e B ) )  <->  ( ( A + e  -oo )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e  +oo )
) ) )
4839, 47syl5ibrcom 213 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B  =  +oo  ->  ( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e B ) ) ) )
4948imp 418 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  =  +oo )  ->  ( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e B ) ) )
50 simpr2 962 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  B  =/=  -oo )
512, 50jca 518 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B  e.  RR*  /\  B  =/=  -oo )
)
52 xrnemnf 10462 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  B  =/=  -oo )  <->  ( B  e.  RR  \/  B  = 
+oo ) )
5351, 52sylib 188 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B  e.  RR  \/  B  =  +oo ) )
5415, 49, 53mpjaodan 761 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/=  -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A + e  - e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C + e B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   class class class wbr 4025  (class class class)co 5860   RRcr 8738   0cc0 8739    +oocpnf 8866    -oocmnf 8867   RR*cxr 8868    <_ cle 8870    - ecxne 10451   + ecxad 10452
This theorem is referenced by:  xmetrtri  17921  metdstri  18357  metdscnlem  18361
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-xneg 10454  df-xadd 10455
  Copyright terms: Public domain W3C validator