MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetunirn Unicode version

Theorem xmetunirn 18277
Description: Two ways to express an extended metric on an unspecified base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetunirn  |-  ( D  e.  U. ran  * Met 
<->  D  e.  ( * Met `  dom  dom  D ) )

Proof of Theorem xmetunirn
Dummy variables  x  y  z  w  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6046 . . . . . 6  |-  ( RR*  ^m  ( x  X.  x
) )  e.  _V
21rabex 4296 . . . . 5  |-  { d  e.  ( RR*  ^m  (
x  X.  x ) )  |  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( (
( y d z )  =  0  <->  y  =  z )  /\  A. w  e.  x  ( y d z )  <_  ( ( w d y ) + e ( w d z ) ) ) }  e.  _V
3 df-xmet 16620 . . . . 5  |-  * Met  =  ( x  e. 
_V  |->  { d  e.  ( RR*  ^m  (
x  X.  x ) )  |  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( (
( y d z )  =  0  <->  y  =  z )  /\  A. w  e.  x  ( y d z )  <_  ( ( w d y ) + e ( w d z ) ) ) } )
42, 3fnmpti 5514 . . . 4  |-  * Met  Fn 
_V
5 fnunirn 5939 . . . 4  |-  ( * Met  Fn  _V  ->  ( D  e.  U. ran  * Met  <->  E. x  e.  _V  D  e.  ( * Met `  x ) ) )
64, 5ax-mp 8 . . 3  |-  ( D  e.  U. ran  * Met 
<->  E. x  e.  _V  D  e.  ( * Met `  x ) )
7 id 20 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  x )  ->  D  e.  ( * Met `  x
) )
8 xmetdmdm 18275 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  x )  ->  x  =  dom  dom  D )
98fveq2d 5673 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  x )  ->  ( * Met `  x )  =  ( * Met ` 
dom  dom  D ) )
107, 9eleqtrd 2464 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  x )  ->  D  e.  ( * Met `  dom  dom 
D ) )
1110rexlimivw 2770 . . 3  |-  ( E. x  e.  _V  D  e.  ( * Met `  x
)  ->  D  e.  ( * Met `  dom  dom 
D ) )
126, 11sylbi 188 . 2  |-  ( D  e.  U. ran  * Met  ->  D  e.  ( * Met `  dom  dom 
D ) )
13 fvssunirn 5695 . . 3  |-  ( * Met `  dom  dom  D )  C_  U. ran  * Met
1413sseli 3288 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met ` 
dom  dom  D )  ->  D  e.  U. ran  * Met )
1512, 14impbii 181 1  |-  ( D  e.  U. ran  * Met 
<->  D  e.  ( * Met `  dom  dom  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   E.wrex 2651   {crab 2654   _Vcvv 2900   U.cuni 3958   class class class wbr 4154    X. cxp 4817   dom cdm 4819   ran crn 4820    Fn wfn 5390   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    ^m cmap 6955   0cc0 8924   RR*cxr 9053    <_ cle 9055   + ecxad 10641   * Metcxmt 16613
This theorem is referenced by:  isxms2  18369  setsmstopn  18399  tngtopn  18563  cfili  19093  cfilfcls  19099
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-map 6957  df-xr 9058  df-xmet 16620
  Copyright terms: Public domain W3C validator