MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetunirn Unicode version

Theorem xmetunirn 17904
Description: Two ways to express an extended metric on an unspecified base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetunirn  |-  ( D  e.  U. ran  * Met 
<->  D  e.  ( * Met `  dom  dom  D ) )

Proof of Theorem xmetunirn
Dummy variables  x  y  z  w  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 5885 . . . . . 6  |-  ( RR*  ^m  ( x  X.  x
) )  e.  _V
21rabex 4167 . . . . 5  |-  { d  e.  ( RR*  ^m  (
x  X.  x ) )  |  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( (
( y d z )  =  0  <->  y  =  z )  /\  A. w  e.  x  ( y d z )  <_  ( ( w d y ) + e ( w d z ) ) ) }  e.  _V
3 df-xmet 16375 . . . . 5  |-  * Met  =  ( x  e. 
_V  |->  { d  e.  ( RR*  ^m  (
x  X.  x ) )  |  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( (
( y d z )  =  0  <->  y  =  z )  /\  A. w  e.  x  ( y d z )  <_  ( ( w d y ) + e ( w d z ) ) ) } )
42, 3fnmpti 5374 . . . 4  |-  * Met  Fn 
_V
5 fnunirn 5780 . . . 4  |-  ( * Met  Fn  _V  ->  ( D  e.  U. ran  * Met  <->  E. x  e.  _V  D  e.  ( * Met `  x ) ) )
64, 5ax-mp 8 . . 3  |-  ( D  e.  U. ran  * Met 
<->  E. x  e.  _V  D  e.  ( * Met `  x ) )
7 id 19 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  x )  ->  D  e.  ( * Met `  x
) )
8 xmetdmdm 17902 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  x )  ->  x  =  dom  dom  D )
98fveq2d 5531 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  x )  ->  ( * Met `  x )  =  ( * Met ` 
dom  dom  D ) )
107, 9eleqtrd 2361 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  x )  ->  D  e.  ( * Met `  dom  dom 
D ) )
1110rexlimivw 2665 . . 3  |-  ( E. x  e.  _V  D  e.  ( * Met `  x
)  ->  D  e.  ( * Met `  dom  dom 
D ) )
126, 11sylbi 187 . 2  |-  ( D  e.  U. ran  * Met  ->  D  e.  ( * Met `  dom  dom 
D ) )
13 fvssunirn 5553 . . 3  |-  ( * Met `  dom  dom  D )  C_  U. ran  * Met
1413sseli 3178 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met ` 
dom  dom  D )  ->  D  e.  U. ran  * Met )
1512, 14impbii 180 1  |-  ( D  e.  U. ran  * Met 
<->  D  e.  ( * Met `  dom  dom  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545   E.wrex 2546   {crab 2549   _Vcvv 2790   U.cuni 3829   class class class wbr 4025    X. cxp 4689   dom cdm 4691   ran crn 4692    Fn wfn 5252   ` cfv 5257  (class class class)co 5860    ^m cmap 6774   0cc0 8739   RR*cxr 8868    <_ cle 8870   + ecxad 10452   * Metcxmt 16371
This theorem is referenced by:  isxms2  17996  setsmstopn  18026  tngtopn  18168  cfili  18696  cfilfcls  18702
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-map 6776  df-xr 8873  df-xmet 16375
  Copyright terms: Public domain W3C validator