MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetunirn Structured version   Unicode version

Theorem xmetunirn 18359
Description: Two ways to express an extended metric on an unspecified base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetunirn  |-  ( D  e.  U. ran  * Met 
<->  D  e.  ( * Met `  dom  dom  D ) )

Proof of Theorem xmetunirn
Dummy variables  x  y  z  w  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6098 . . . . . 6  |-  ( RR*  ^m  ( x  X.  x
) )  e.  _V
21rabex 4346 . . . . 5  |-  { d  e.  ( RR*  ^m  (
x  X.  x ) )  |  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( (
( y d z )  =  0  <->  y  =  z )  /\  A. w  e.  x  ( y d z )  <_  ( ( w d y ) + e ( w d z ) ) ) }  e.  _V
3 df-xmet 16687 . . . . 5  |-  * Met  =  ( x  e. 
_V  |->  { d  e.  ( RR*  ^m  (
x  X.  x ) )  |  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( (
( y d z )  =  0  <->  y  =  z )  /\  A. w  e.  x  ( y d z )  <_  ( ( w d y ) + e ( w d z ) ) ) } )
42, 3fnmpti 5565 . . . 4  |-  * Met  Fn 
_V
5 fnunirn 5991 . . . 4  |-  ( * Met  Fn  _V  ->  ( D  e.  U. ran  * Met  <->  E. x  e.  _V  D  e.  ( * Met `  x ) ) )
64, 5ax-mp 8 . . 3  |-  ( D  e.  U. ran  * Met 
<->  E. x  e.  _V  D  e.  ( * Met `  x ) )
7 id 20 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  x )  ->  D  e.  ( * Met `  x
) )
8 xmetdmdm 18357 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  x )  ->  x  =  dom  dom  D )
98fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  x )  ->  ( * Met `  x )  =  ( * Met ` 
dom  dom  D ) )
107, 9eleqtrd 2511 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  x )  ->  D  e.  ( * Met `  dom  dom 
D ) )
1110rexlimivw 2818 . . 3  |-  ( E. x  e.  _V  D  e.  ( * Met `  x
)  ->  D  e.  ( * Met `  dom  dom 
D ) )
126, 11sylbi 188 . 2  |-  ( D  e.  U. ran  * Met  ->  D  e.  ( * Met `  dom  dom 
D ) )
13 fvssunirn 5746 . . 3  |-  ( * Met `  dom  dom  D )  C_  U. ran  * Met
1413sseli 3336 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met ` 
dom  dom  D )  ->  D  e.  U. ran  * Met )
1512, 14impbii 181 1  |-  ( D  e.  U. ran  * Met 
<->  D  e.  ( * Met `  dom  dom  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701   _Vcvv 2948   U.cuni 4007   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   dom cdm 4870   ran crn 4871    Fn wfn 5441   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   0cc0 8982   RR*cxr 9111    <_ cle 9113   + ecxad 10700   * Metcxmt 16678
This theorem is referenced by:  isxms2  18470  setsmstopn  18500  tngtopn  18683  cfili  19213  cfilfcls  19219
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-xr 9116  df-xmet 16687
  Copyright terms: Public domain W3C validator