Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulval Structured version   Unicode version

Theorem xmulval 10813
 Description: Value of the extended real multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulval

Proof of Theorem xmulval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . . . 5
21eqeq1d 2446 . . . 4
3 simpr 449 . . . . 5
43eqeq1d 2446 . . . 4
52, 4orbi12d 692 . . 3
63breq2d 4226 . . . . . . 7
71eqeq1d 2446 . . . . . . 7
86, 7anbi12d 693 . . . . . 6
93breq1d 4224 . . . . . . 7
101eqeq1d 2446 . . . . . . 7
119, 10anbi12d 693 . . . . . 6
128, 11orbi12d 692 . . . . 5
131breq2d 4226 . . . . . . 7
143eqeq1d 2446 . . . . . . 7
1513, 14anbi12d 693 . . . . . 6
161breq1d 4224 . . . . . . 7
173eqeq1d 2446 . . . . . . 7
1816, 17anbi12d 693 . . . . . 6
1915, 18orbi12d 692 . . . . 5
2012, 19orbi12d 692 . . . 4
216, 10anbi12d 693 . . . . . . 7
229, 7anbi12d 693 . . . . . . 7
2321, 22orbi12d 692 . . . . . 6
2413, 17anbi12d 693 . . . . . . 7
2516, 14anbi12d 693 . . . . . . 7
2624, 25orbi12d 692 . . . . . 6
2723, 26orbi12d 692 . . . . 5
28 oveq12 6092 . . . . 5
2927, 28ifbieq2d 3761 . . . 4
3020, 29ifbieq2d 3761 . . 3
315, 30ifbieq2d 3761 . 2
32 df-xmul 10714 . 2
33 c0ex 9087 . . 3
34 pnfxr 10715 . . . . 5
3534elexi 2967 . . . 4
36 mnfxr 10716 . . . . . 6
3736elexi 2967 . . . . 5
38 ovex 6108 . . . . 5
3937, 38ifex 3799 . . . 4
4035, 39ifex 3799 . . 3
4133, 40ifex 3799 . 2
4231, 32, 41ovmpt2a 6206 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 359   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cif 3741   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083  cc0 8992   cmul 8997   cpnf 9119   cmnf 9120  cxr 9121   clt 9122  cxmu 10711 This theorem is referenced by:  xmulcom  10847  xmul01  10848  xmulneg1  10850  rexmul  10852  xmulpnf1  10855 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-mulcl 9054  ax-i2m1 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-xmul 10714
 Copyright terms: Public domain W3C validator