MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xp1st Structured version   Unicode version

Theorem xp1st 6368
Description: Location of the first element of a Cartesian product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
xp1st  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  ( 1st `  A )  e.  B )

Proof of Theorem xp1st
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxp 4887 . 2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  E. b E. c ( A  = 
<. b ,  c >.  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
) ) )
2 vex 2951 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
3 vex 2951 . . . . . . 7  |-  c  e. 
_V
42, 3op1std 6349 . . . . . 6  |-  ( A  =  <. b ,  c
>.  ->  ( 1st `  A
)  =  b )
54eleq1d 2501 . . . . 5  |-  ( A  =  <. b ,  c
>.  ->  ( ( 1st `  A )  e.  B  <->  b  e.  B ) )
65biimpar 472 . . . 4  |-  ( ( A  =  <. b ,  c >.  /\  b  e.  B )  ->  ( 1st `  A )  e.  B )
76adantrr 698 . . 3  |-  ( ( A  =  <. b ,  c >.  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  C )
)  ->  ( 1st `  A )  e.  B
)
87exlimivv 1645 . 2  |-  ( E. b E. c ( A  =  <. b ,  c >.  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  C )
)  ->  ( 1st `  A )  e.  B
)
91, 8sylbi 188 1  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  ( 1st `  A )  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   <.cop 3809    X. cxp 4868   ` cfv 5446   1stc1st 6339
This theorem is referenced by:  xpf1o  7261  xpmapenlem  7266  mapunen  7268  unxpwdom2  7548  r0weon  7886  infxpenlem  7887  fseqdom  7899  iundom2g  8407  enqbreq2  8789  nqereu  8798  addpqf  8813  mulpqf  8815  adderpqlem  8823  mulerpqlem  8824  addassnq  8827  mulassnq  8828  distrnq  8830  mulidnq  8832  recmulnq  8833  ltsonq  8838  lterpq  8839  ltanq  8840  ltmnq  8841  ltexnq  8844  archnq  8849  elreal2  8999  cnref1o  10599  fsum2dlem  12546  fsumcom2  12550  ackbijnn  12599  ruclem6  12826  ruclem8  12828  ruclem9  12829  ruclem10  12830  ruclem11  12831  ruclem12  12832  eucalgval  13065  eucalginv  13067  eucalglt  13068  eucalg  13070  xpsff1o  13785  comfffval2  13919  comfeq  13924  idfucl  14070  funcpropd  14089  fucpropd  14166  xpccatid  14277  1stfcl  14286  2ndfcl  14287  xpcpropd  14297  hofcl  14348  hofpropd  14356  yonedalem3  14369  lsmhash  15329  gsum2d  15538  evlslem4  16556  tx2cn  17634  txdis  17656  txlly  17660  txnlly  17661  txhaus  17671  txkgen  17676  txcon  17713  txhmeo  17827  ptuncnv  17831  ptunhmeo  17832  xkohmeo  17839  utop2nei  18272  utop3cls  18273  imasdsf1olem  18395  cnheiborlem  18971  caubl  19252  caublcls  19253  bcthlem2  19270  bcthlem4  19272  bcthlem5  19273  ovolficcss  19358  ovoliunlem1  19390  ovoliunlem2  19391  ovolicc2lem1  19405  ovolicc2lem2  19406  ovolicc2lem4  19408  ovolicc2lem5  19409  dyadmbl  19484  fsumvma  20989  lgsquadlem1  21130  lgsquadlem2  21131  disjxpin  24020  cnre2csqima  24301  tpr2rico  24302  2ndmbfm  24603  sxbrsigalem0  24613  dya2iocnrect  24623  sibfof  24646  fprod2dlem  25296  fprodcom2  25300  funtransport  25957  mblfinlem  26234  ftc2nc  26279  filnetlem3  26400  heiborlem8  26518  rmxypairf1o  26965  frmx  26967  el2xptp0  28051  dvhb1dimN  31720  dvhvaddcl  31830  dvhvaddcomN  31831  dvhvscacl  31838  dvhgrp  31842  dvhlveclem  31843  dibelval1st  31884  dicelval1stN  31923
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-1st 6341
  Copyright terms: Public domain W3C validator