MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xp1st Unicode version

Theorem xp1st 6191
Description: Location of the first element of a Cartesian product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
xp1st  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  ( 1st `  A )  e.  B )

Proof of Theorem xp1st
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxp 4743 . 2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  E. b E. c ( A  = 
<. b ,  c >.  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
) ) )
2 vex 2825 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
3 vex 2825 . . . . . . 7  |-  c  e. 
_V
42, 3op1std 6172 . . . . . 6  |-  ( A  =  <. b ,  c
>.  ->  ( 1st `  A
)  =  b )
54eleq1d 2382 . . . . 5  |-  ( A  =  <. b ,  c
>.  ->  ( ( 1st `  A )  e.  B  <->  b  e.  B ) )
65biimpar 471 . . . 4  |-  ( ( A  =  <. b ,  c >.  /\  b  e.  B )  ->  ( 1st `  A )  e.  B )
76adantrr 697 . . 3  |-  ( ( A  =  <. b ,  c >.  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  C )
)  ->  ( 1st `  A )  e.  B
)
87exlimivv 1626 . 2  |-  ( E. b E. c ( A  =  <. b ,  c >.  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  C )
)  ->  ( 1st `  A )  e.  B
)
91, 8sylbi 187 1  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  ( 1st `  A )  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1532    = wceq 1633    e. wcel 1701   <.cop 3677    X. cxp 4724   ` cfv 5292   1stc1st 6162
This theorem is referenced by:  xpf1o  7066  xpmapenlem  7071  mapunen  7073  unxpwdom2  7347  r0weon  7685  infxpenlem  7686  fseqdom  7698  iundom2g  8207  enqbreq2  8589  nqereu  8598  addpqf  8613  mulpqf  8615  adderpqlem  8623  mulerpqlem  8624  addassnq  8627  mulassnq  8628  distrnq  8630  mulidnq  8632  recmulnq  8633  ltsonq  8638  lterpq  8639  ltanq  8640  ltmnq  8641  ltexnq  8644  archnq  8649  elreal2  8799  cnref1o  10396  fsum2dlem  12280  fsumcom2  12284  ackbijnn  12333  ruclem6  12560  ruclem8  12562  ruclem9  12563  ruclem10  12564  ruclem11  12565  ruclem12  12566  eucalgval  12799  eucalginv  12801  eucalglt  12802  eucalg  12804  xpsff1o  13519  comfffval2  13653  comfeq  13658  idfucl  13804  funcpropd  13823  fucpropd  13900  xpccatid  14011  1stfcl  14020  2ndfcl  14021  xpcpropd  14031  hofcl  14082  hofpropd  14090  yonedalem3  14103  lsmhash  15063  gsum2d  15272  evlslem4  16294  tx2cn  17360  txdis  17382  txlly  17386  txnlly  17387  txhaus  17397  txkgen  17402  txcon  17439  txhmeo  17550  ptuncnv  17554  ptunhmeo  17555  xkohmeo  17562  imasdsf1olem  17989  cnheiborlem  18505  caubl  18786  caublcls  18787  bcthlem2  18800  bcthlem4  18802  bcthlem5  18803  ovolficcss  18882  ovoliunlem1  18914  ovoliunlem2  18915  ovolicc2lem1  18929  ovolicc2lem2  18930  ovolicc2lem4  18932  ovolicc2lem5  18933  dyadmbl  19008  fsumvma  20505  lgsquadlem1  20646  lgsquadlem2  20647  cnre2csqima  23378  tpr2rico  23379  2ndmbfm  23785  sxbrsigalem0  23795  dya2iocnrect  23805  funtransport  25040  filnetlem3  25478  heiborlem8  25690  rmxypairf1o  26144  frmx  26146  dvhb1dimN  30993  dvhvaddcl  31103  dvhvaddcomN  31104  dvhvscacl  31111  dvhgrp  31115  dvhlveclem  31116  dibelval1st  31157  dicelval1stN  31196
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fv 5300  df-1st 6164
  Copyright terms: Public domain W3C validator