Theorem xpassen 5707

Description: Associative law for equinumerosity of cross product. Proposition 4.22(e) of [Mendelson] p. 254.

Hypotheses

Ref	Expression
xpassen.1	|- A e. _V
xpassen.2	|- B e. _V
xpassen.3	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
xpassen	|- ((A X. B) X. C) ~~ (A X. (B X. C))

Proof of Theorem xpassen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpassen.1	. . . 4 |- A e. _V
2		xpassen.2	. . . 4 |- B e. _V
3	1, 2	xpex 4258	. . 3 |- (A X. B) e. _V
4		xpassen.3	. . 3 |- C e. _V
5	3, 4	xpex 4258	. 2 |- ((A X. B) X. C) e. _V
6		opex 3722	. . 3 |- <.U.dom {U.dom { x}}, <.U.ran {U.dom { x}}, U.ran { x}>.>. e. _V
7	6	a1i 8	. 2 |- (x e. ((A X. B) X. C) -> <.U.dom {U.dom { x}}, <.U.ran {U.dom { x}}, U.ran { x}>.>. e. _V)
8		opex 3722	. . 3 |- <.<.U.dom { y}, U.dom {U.ran { y}}>., U.ran {U.ran { y}}>. e. _V
9	8	a1i 8	. 2 |- (y e. (A X. (B X. C)) -> <.<.U.dom { y}, U.dom {U.ran { y}}>., U.ran {U.ran { y}}>. e. _V)
10		sneq 3279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = <.<.z, w>., v>. -> {x} = {<.<.z, w>., v>.})
11	10	dmeqd 4317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x = <.<.z, w>., v>. -> dom { x} = dom {<.<.z, w>., v>.})
12	11	unieqd 3409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = <.<.z, w>., v>. -> U.dom { x} = U.dom {<.<.z, w>., v>.})
13	12	sneqd 3281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = <.<.z, w>., v>. -> {U.dom { x}} = {U.dom {<.<.z, w>., v>.}})
14	13	dmeqd 4317	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = <.<.z, w>., v>. -> dom {U.dom { x}} = dom {U.dom {<.<.z, w>., v>.}})
15	14	unieqd 3409	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = <.<.z, w>., v>. -> U.dom {U.dom { x}} = U.dom {U.dom {<.<.z, w>., v>.}})
16		opex 3722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- <.z, w>. e. _V
17	16	op1sta 4514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U.dom {<.<.z, w>., v>.} = <.z, w>.
18	17	sneqi 3280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- {U.dom {<.<.z, w>., v>.}} = {<.z, w>.}
19	18	dmeqi 4316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom {U.dom {<.<.z, w>., v>.}} = dom {<.z, w>.}
20	19	unieqi 3408	. . . . . . . . . . . . 13 |- U.dom {U.dom {<.<.z, w>., v>.}} = U.dom {<.z, w>.}
21		visset 2572	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
22	21	op1sta 4514	. . . . . . . . . . . . 13 |- U.dom {<.z, w>.} = z
23	20, 22	eqtri 2190	. . . . . . . . . . . 12 |- U.dom {U.dom {<.<.z, w>., v>.}} = z
24	15, 23	syl6req 2223	. . . . . . . . . . 11 |- (x = <.<.z, w>., v>. -> z = U.dom {U.dom { x}})
25	13	rneqd 4341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = <.<.z, w>., v>. -> ran {U.dom { x}} = ran {U.dom {<.<.z, w>., v>.}})
26	25	unieqd 3409	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = <.<.z, w>., v>. -> U.ran {U.dom { x}} = U.ran {U.dom {<.<.z, w>., v>.}})
27	18	rneqi 4340	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran {U.dom {<.<.z, w>., v>.}} = ran {<.z, w>.}
28	27	unieqi 3408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U.ran {U.dom {<.<.z, w>., v>.}} = U.ran {<.z, w>.}
29		visset 2572	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- w e. _V
30	21, 29	op2nda 4519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U.ran {<.z, w>.} = w
31	28, 30	eqtri 2190	. . . . . . . . . . . . 13 |- U.ran {U.dom {<.<.z, w>., v>.}} = w
32	26, 31	syl6req 2223	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = <.<.z, w>., v>. -> w = U.ran {U.dom { x}})
33	10	rneqd 4341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = <.<.z, w>., v>. -> ran { x} = ran {<.<.z, w>., v>.})
34	33	unieqd 3409	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = <.<.z, w>., v>. -> U.ran { x} = U.ran {<.<.z, w>., v>.})
35		visset 2572	. . . . . . . . . . . . . 14 |- v e. _V
36	16, 35	op2nda 4519	. . . . . . . . . . . . 13 |- U.ran {<.<.z, w>., v>.} = v
37	34, 36	syl6req 2223	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = <.<.z, w>., v>. -> v = U.ran { x})
38	32, 37	opeq12d 3385	. . . . . . . . . . 11 |- (x = <.<.z, w>., v>. -> <.w, v>. = <.U.ran {U.dom { x}}, U.ran { x}>.)
39	24, 38	opeq12d 3385	. . . . . . . . . 10 |- (x = <.<.z, w>., v>. -> <.z, <.w, v>.>. = <.U.dom {U.dom { x}}, <.U.ran {U.dom { x}}, U.ran { x}>.>.)
40		sneq 3279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = <.z, <.w, v>.>. -> {y} = {<.z, <.w, v>.>.})
41	40	dmeqd 4317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = <.z, <.w, v>.>. -> dom { y} = dom {<.z, <.w, v>.>.})
42	41	unieqd 3409	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = <.z, <.w, v>.>. -> U.dom { y} = U.dom {<.z, <.w, v>.>.})
43	21	op1sta 4514	. . . . . . . . . . . . 13 |- U.dom {<.z, <.w, v>.>.} = z
44	42, 43	syl6req 2223	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = <.z, <.w, v>.>. -> z = U.dom { y})
45	40	rneqd 4341	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = <.z, <.w, v>.>. -> ran { y} = ran {<.z, <.w, v>.>.})
46	45	unieqd 3409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = <.z, <.w, v>.>. -> U.ran { y} = U.ran {<.z, <.w, v>.>.})
47	46	sneqd 3281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = <.z, <.w, v>.>. -> {U.ran { y}} = {U.ran {<.z, <.w, v>.>.}})
48	47	dmeqd 4317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = <.z, <.w, v>.>. -> dom {U.ran { y}} = dom {U.ran {<.z, <.w, v>.>.}})
49	48	unieqd 3409	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = <.z, <.w, v>.>. -> U.dom {U.ran { y}} = U.dom {U.ran {<.z, <.w, v>.>.}})
50		opex 3722	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- <.w, v>. e. _V
51	21, 50	op2nda 4519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U.ran {<.z, <.w, v>.>.} = <.w, v>.
52	51	sneqi 3280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- {U.ran {<.z, <.w, v>.>.}} = {<.w, v>.}
53	52	dmeqi 4316	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom {U.ran {<.z, <.w, v>.>.}} = dom {<.w, v>.}
54	53	unieqi 3408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U.dom {U.ran {<.z, <.w, v>.>.}} = U.dom {<.w, v>.}
55	29	op1sta 4514	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U.dom {<.w, v>.} = w
56	54, 55	eqtri 2190	. . . . . . . . . . . . 13 |- U.dom {U.ran {<.z, <.w, v>.>.}} = w
57	49, 56	syl6req 2223	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = <.z, <.w, v>.>. -> w = U.dom {U.ran { y}})
58	44, 57	opeq12d 3385	. . . . . . . . . . 11 |- (y = <.z, <.w, v>.>. -> <.z, w>. = <.U.dom { y}, U.dom {U.ran { y}}>.)
59	47	rneqd 4341	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = <.z, <.w, v>.>. -> ran {U.ran { y}} = ran {U.ran {<.z, <.w, v>.>.}})
60	59	unieqd 3409	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = <.z, <.w, v>.>. -> U.ran {U.ran { y}} = U.ran {U.ran {<.z, <.w, v>.>.}})
61	52	rneqi 4340	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran {U.ran {<.z, <.w, v>.>.}} = ran {<.w, v>.}
62	61	unieqi 3408	. . . . . . . . . . . . 13 |- U.ran {U.ran {<.z, <.w, v>.>.}} = U.ran {<.w, v>.}
63	29, 35	op2nda 4519	. . . . . . . . . . . . 13 |- U.ran {<.w, v>.} = v
64	62, 63	eqtri 2190	. . . . . . . . . . . 12 |- U.ran {U.ran {<.z, <.w, v>.>.}} = v
65	60, 64	syl6req 2223	. . . . . . . . . . 11 |- (y = <.z, <.w, v>.>. -> v = U.ran {U.ran { y}})
66	58, 65	opeq12d 3385	. . . . . . . . . 10 |- (y = <.z, <.w, v>.>. -> <.<.z, w>., v>. = <.<.U.dom { y}, U.dom {U.ran { y}}>., U.ran {U.ran { y}}>.)
67	39, 66	eq2tri 2232	. . . . . . . . 9 |- ((x = <.<.z, w>., v>. /\ y = <.U.dom {U.dom { x}}, <.U.ran {U.dom { x}}, U.ran { x}>.>.) <-> (y = <.z, <.w, v>.>. /\ x = <.<.U.dom { y}, U.dom {U.ran { y}}>., U.ran {U.ran { y}}>.))
68		anass 729	. . . . . . . . 9 |- (((z e. A /\ w e. B) /\ v e. C) <-> (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C)))
69	67, 68	anbi12i 806	. . . . . . . 8 |- (((x = <.<.z, w>., v>. /\ y = <.U.dom {U.dom { x}}, <.U.ran {U.dom { x}}, U.ran { x}>.>.) /\ ((z e. A /\ w e. B) /\ v e. C)) <-> ((y = <.z, <.w, v>.>. /\ x = <.<.U.dom { y}, U.dom {U.ran { y}}>., U.ran {U.ran { y}}>.) /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C))))
70		an32 902	. . . . . . . 8 |- (((x = <.<.z, w>., v>. /\ ((z e. A /\ w e. B) /\ v e. C)) /\ y = <.U.dom {U.dom { x}}, <.U.ran {U.dom { x}}, U.ran { x}>.>.) <-> ((x = <.<.z, w>., v>. /\ y = <.U.dom {U.dom { x}}, <.U.ran {U.dom { x}}, U.ran { x}>.>.) /\ ((z e. A /\ w e. B) /\ v e. C)))
71		an32 902	. . . . . . . 8 |- (((y = <.z, <.w, v>.>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C))) /\ x = <.<.U.dom { y}, U.dom {U.ran { y}}>., U.ran {U.ran { y}}>.) <-> ((y = <.z, <.w, v>.>. /\ x = <.<.U.dom { y}, U.dom {U.ran { y}}>., U.ran {U.ran { y}}>.) /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C))))
72	69, 70, 71	3bitr4i 340	. . . . . . 7 |- (((x = <.<.z, w>., v>. /\ ((z e. A /\ w e. B) /\ v e. C)) /\ y = <.U.dom {U.dom { x}}, <.U.ran {U.dom { x}}, U.ran { x}>.>.) <-> ((y = <.z, <.w, v>.>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C))) /\ x = <.<.U.dom { y}, U.dom {U.ran { y}}>., U.ran {U.ran { y}}>.))
73	72	exbii 1716	. . . . . 6 |- (E.v((x = <.<.z, w>., v>. /\ ((z e. A /\ w e. B) /\ v e. C)) /\ y = <.U.dom {U.dom { x}}, <.U.ran {U.dom { x}}, U.ran { x}>.>.) <-> E.v((y = <.z, <.w, v>.>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C))) /\ x = <.<.U.dom { y}, U.dom {U.ran { y}}>., U.ran {U.ran { y}}>.))
74		19.41v 1982	. . . . . 6 |- (E.v((x = <.<.z, w>., v>. /\ ((z e. A /\ w e. B) /\ v e. C)) /\ y = <.U.dom {U.dom { x}}, <.U.ran {U.dom { x}}, U.ran { x}>.>.) <-> (E.v(x = <.<.z, w>., v>. /\ ((z e. A /\ w e. B) /\ v e. C)) /\ y = <.U.dom {U.dom { x}}, <.U.ran {U.dom { x}}, U.ran { x}>.>.))
75		19.41v 1982	. . . . . 6 |- (E.v((y = <.z, <.w, v>.>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C))) /\ x = <.<.U.dom { y}, U.dom {U.ran { y}}>., U.ran {U.ran { y}}>.) <-> (E.v(y = <.z, <.w, v>.>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C))) /\ x = <.<.U.dom { y}, U.dom {U.ran { y}}>., U.ran {U.ran { y}}>.))
76	73, 74, 75	3bitr3i 338	. . . . 5 |- ((E.v(x = <.<.z, w>., v>. /\ ((z e. A /\ w e. B) /\ v e. C)) /\ y = <.U.dom {U.dom { x}}, <.U.ran {U.dom { x}}, U.ran { x}>.>.) <-> (E.v(y = <.z, <.w, v>.>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C))) /\ x = <.<.U.dom { y}, U.dom {U.ran { y}}>., U.ran {U.ran { y}}>.))
77	76	2exbii 1717	. . . 4 |- (E.zE.w(E.v(x = <.<.z, w>., v>. /\ ((z e. A /\ w e. B) /\ v e. C)) /\ y = <.U.dom {U.dom { x}}, <.U.ran {U.dom { x}}, U.ran { x}>.>.) <-> E.zE.w(E.v(y = <.z, <.w, v>.>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C))) /\ x = <.<.U.dom { y}, U.dom {U.ran { y}}>., U.ran {U.ran { y}}>.))
78		19.41vv 1983	. . . 4 |- (E.zE.w(E.v(x = <.<.z, w>., v>. /\ ((z e. A /\ w e. B) /\ v e. C)) /\ y = <.U.dom {U.dom { x}}, <.U.ran {U.dom { x}}, U.ran { x}>.>.) <-> (E.zE.wE.v(x = <.<.z, w>., v>. /\ ((z e. A /\ w e. B) /\ v e. C)) /\ y = <.U.dom {U.dom { x}}, <.U.ran {U.dom { x}}, U.ran { x}>.>.))
79		19.41vv 1983	. . . 4 |- (E.zE.w(E.v(y = <.z, <.w, v>.>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C))) /\ x = <.<.U.dom { y}, U.dom {U.ran { y}}>., U.ran {U.ran { y}}>.) <-> (E.zE.wE.v(y = <.z, <.w, v>.>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C))) /\ x = <.<.U.dom { y}, U.dom {U.ran { y}}>., U.ran {U.ran { y}}>.))
80	77, 78, 79	3bitr3i 338	. . 3 |- ((E.zE.wE.v(x = <.<.z, w>., v>. /\ ((z e. A /\ w e. B) /\ v e. C)) /\ y = <.U.dom {U.dom { x}}, <.U.ran {U.dom { x}}, U.ran { x}>.>.) <-> (E.zE.wE.v(y = <.z, <.w, v>.>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C))) /\ x = <.<.U.dom { y}, U.dom {U.ran { y}}>., U.ran {U.ran { y}}>.))
81		elxp 4183	. . . . 5 |- (x e. ((A X. B) X. C) <-> E.uE.v(x = <.u, v>. /\ (u e. (A X. B) /\ v e. C)))
82		excom 1711	. . . . 5 |- (E.uE.v(x = <.u, v>. /\ (u e. (A X. B) /\ v e. C)) <-> E.vE.u(x = <.u, v>. /\ (u e. (A X. B) /\ v e. C)))
83		elxp 4183	. . . . . . . . 9 |- (u e. (A X. B) <-> E.zE.w(u = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)))
84	83	anbi1i 805	. . . . . . . 8 |- ((u e. (A X. B) /\ (x = <.u, v>. /\ v e. C)) <-> (E.zE.w(u = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ (x = <.u, v>. /\ v e. C)))
85		an12 901	. . . . . . . 8 |- ((x = <.u, v>. /\ (u e. (A X. B) /\ v e. C)) <-> (u e. (A X. B) /\ (x = <.u, v>. /\ v e. C)))
86		19.41vv 1983	. . . . . . . 8 |- (E.zE.w((u = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ (x = <.u, v>. /\ v e. C)) <-> (E.zE.w(u = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ (x = <.u, v>. /\ v e. C)))
87	84, 85, 86	3bitr4i 340	. . . . . . 7 |- ((x = <.u, v>. /\ (u e. (A X. B) /\ v e. C)) <-> E.zE.w((u = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ (x = <.u, v>. /\ v e. C)))
88	87	2exbii 1717	. . . . . 6 |- (E.vE.u(x = <.u, v>. /\ (u e. (A X. B) /\ v e. C)) <-> E.vE.uE.zE.w((u = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ (x = <.u, v>. /\ v e. C)))
89		exrot4 1766	. . . . . 6 |- (E.vE.uE.zE.w((u = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ (x = <.u, v>. /\ v e. C)) <-> E.zE.wE.vE.u((u = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ (x = <.u, v>. /\ v e. C)))
90		anass 729	. . . . . . . . 9 |- (((u = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ (x = <.u, v>. /\ v e. C)) <-> (u = <.z, w>. /\ ((z e. A /\ w e. B) /\ (x = <.u, v>. /\ v e. C))))
91	90	exbii 1716	. . . . . . . 8 |- (E.u((u = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ (x = <.u, v>. /\ v e. C)) <-> E.u(u = <.z, w>. /\ ((z e. A /\ w e. B) /\ (x = <.u, v>. /\ v e. C))))
92		opeq1 3377	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = <.z, w>. -> <.u, v>. = <.<.z, w>., v>.)
93	92	eqeq2d 2181	. . . . . . . . . . 11 |- (u = <.z, w>. -> (x = <.u, v>. <-> x = <.<.z, w>., v>.))
94	93	anbi1d 815	. . . . . . . . . 10 |- (u = <.z, w>. -> ((x = <.u, v>. /\ v e. C) <-> (x = <.<.z, w>., v>. /\ v e. C)))
95	94	anbi2d 814	. . . . . . . . 9 |- (u = <.z, w>. -> (((z e. A /\ w e. B) /\ (x = <.u, v>. /\ v e. C)) <-> ((z e. A /\ w e. B) /\ (x = <.<.z, w>., v>. /\ v e. C))))
96	16, 95	ceqsexv 2603	. . . . . . . 8 |- (E.u(u = <.z, w>. /\ ((z e. A /\ w e. B) /\ (x = <.u, v>. /\ v e. C))) <-> ((z e. A /\ w e. B) /\ (x = <.<.z, w>., v>. /\ v e. C)))
97		an12 901	. . . . . . . 8 |- (((z e. A /\ w e. B) /\ (x = <.<.z, w>., v>. /\ v e. C)) <-> (x = <.<.z, w>., v>. /\ ((z e. A /\ w e. B) /\ v e. C)))
98	91, 96, 97	3bitri 334	. . . . . . 7 |- (E.u((u = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ (x = <.u, v>. /\ v e. C)) <-> (x = <.<.z, w>., v>. /\ ((z e. A /\ w e. B) /\ v e. C)))
99	98	3exbii 1718	. . . . . 6 |- (E.zE.wE.vE.u((u = <.z, w>. /\ (z e. A /\ w e. B)) /\ (x = <.u, v>. /\ v e. C)) <-> E.zE.wE.v(x = <.<.z, w>., v>. /\ ((z e. A /\ w e. B) /\ v e. C)))
100	88, 89, 99	3bitri 334	. . . . 5 |- (E.vE.u(x = <.u, v>. /\ (u e. (A X. B) /\ v e. C)) <-> E.zE.wE.v(x = <.<.z, w>., v>. /\ ((z e. A /\ w e. B) /\ v e. C)))
101	81, 82, 100	3bitri 334	. . . 4 |- (x e. ((A X. B) X. C) <-> E.zE.wE.v(x = <.<.z, w>., v>. /\ ((z e. A /\ w e. B) /\ v e. C)))
102	101	anbi1i 805	. . 3 |- ((x e. ((A X. B) X. C) /\ y = <.U.dom {U.dom { x}}, <.U.ran {U.dom { x}}, U.ran { x}>.>.) <-> (E.zE.wE.v(x = <.<.z, w>., v>. /\ ((z e. A /\ w e. B) /\ v e. C)) /\ y = <.U.dom {U.dom { x}}, <.U.ran {U.dom { x}}, U.ran { x}>.>.))
103		elxp 4183	. . . . 5 |- (y e. (A X. (B X. C)) <-> E.zE.u(y = <.z, u>. /\ (z e. A /\ u e. (B X. C))))
104		elxp 4183	. . . . . . . . . 10 |- (u e. (B X. C) <-> E.wE.v(u = <.w, v>. /\ (w e. B /\ v e. C)))
105	104	anbi2i 804	. . . . . . . . 9 |- (((y = <.z, u>. /\ z e. A) /\ u e. (B X. C)) <-> ((y = <.z, u>. /\ z e. A) /\ E.wE.v(u = <.w, v>. /\ (w e. B /\ v e. C))))
106		anass 729	. . . . . . . . 9 |- (((y = <.z, u>. /\ z e. A) /\ u e. (B X. C)) <-> (y = <.z, u>. /\ (z e. A /\ u e. (B X. C))))
107		19.42vv 1988	. . . . . . . . . 10 |- (E.wE.v((y = <.z, u>. /\ z e. A) /\ (u = <.w, v>. /\ (w e. B /\ v e. C))) <-> ((y = <.z, u>. /\ z e. A) /\ E.wE.v(u = <.w, v>. /\ (w e. B /\ v e. C))))
108		an12 901	. . . . . . . . . . . 12 |- (((y = <.z, u>. /\ z e. A) /\ (u = <.w, v>. /\ (w e. B /\ v e. C))) <-> (u = <.w, v>. /\ ((y = <.z, u>. /\ z e. A) /\ (w e. B /\ v e. C))))
109		anass 729	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((y = <.z, u>. /\ z e. A) /\ (w e. B /\ v e. C)) <-> (y = <.z, u>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C))))
110	109	anbi2i 804	. . . . . . . . . . . 12 |- ((u = <.w, v>. /\ ((y = <.z, u>. /\ z e. A) /\ (w e. B /\ v e. C))) <-> (u = <.w, v>. /\ (y = <.z, u>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C)))))
111	108, 110	bitri 306	. . . . . . . . . . 11 |- (((y = <.z, u>. /\ z e. A) /\ (u = <.w, v>. /\ (w e. B /\ v e. C))) <-> (u = <.w, v>. /\ (y = <.z, u>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C)))))
112	111	2exbii 1717	. . . . . . . . . 10 |- (E.wE.v((y = <.z, u>. /\ z e. A) /\ (u = <.w, v>. /\ (w e. B /\ v e. C))) <-> E.wE.v(u = <.w, v>. /\ (y = <.z, u>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C)))))
113	107, 112	bitr3i 309	. . . . . . . . 9 |- (((y = <.z, u>. /\ z e. A) /\ E.wE.v(u = <.w, v>. /\ (w e. B /\ v e. C))) <-> E.wE.v(u = <.w, v>. /\ (y = <.z, u>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C)))))
114	105, 106, 113	3bitr3i 338	. . . . . . . 8 |- ((y = <.z, u>. /\ (z e. A /\ u e. (B X. C))) <-> E.wE.v(u = <.w, v>. /\ (y = <.z, u>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C)))))
115	114	exbii 1716	. . . . . . 7 |- (E.u(y = <.z, u>. /\ (z e. A /\ u e. (B X. C))) <-> E.uE.wE.v(u = <.w, v>. /\ (y = <.z, u>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C)))))
116		exrot3 1765	. . . . . . 7 |- (E.uE.wE.v(u = <.w, v>. /\ (y = <.z, u>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C)))) <-> E.wE.vE.u(u = <.w, v>. /\ (y = <.z, u>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C)))))
117		opeq2 3378	. . . . . . . . . . 11 |- (u = <.w, v>. -> <.z, u>. = <.z, <.w, v>.>.)
118	117	eqeq2d 2181	. . . . . . . . . 10 |- (u = <.w, v>. -> (y = <.z, u>. <-> y = <.z, <.w, v>.>.))
119	118	anbi1d 815	. . . . . . . . 9 |- (u = <.w, v>. -> ((y = <.z, u>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C))) <-> (y = <.z, <.w, v>.>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C)))))
120	50, 119	ceqsexv 2603	. . . . . . . 8 |- (E.u(u = <.w, v>. /\ (y = <.z, u>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C)))) <-> (y = <.z, <.w, v>.>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C))))
121	120	2exbii 1717	. . . . . . 7 |- (E.wE.vE.u(u = <.w, v>. /\ (y = <.z, u>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C)))) <-> E.wE.v(y = <.z, <.w, v>.>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C))))
122	115, 116, 121	3bitri 334	. . . . . 6 |- (E.u(y = <.z, u>. /\ (z e. A /\ u e. (B X. C))) <-> E.wE.v(y = <.z, <.w, v>.>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C))))
123	122	exbii 1716	. . . . 5 |- (E.zE.u(y = <.z, u>. /\ (z e. A /\ u e. (B X. C))) <-> E.zE.wE.v(y = <.z, <.w, v>.>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C))))
124	103, 123	bitri 306	. . . 4 |- (y e. (A X. (B X. C)) <-> E.zE.wE.v(y = <.z, <.w, v>.>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C))))
125	124	anbi1i 805	. . 3 |- ((y e. (A X. (B X. C)) /\ x = <.<.U.dom { y}, U.dom {U.ran { y}}>., U.ran {U.ran { y}}>.) <-> (E.zE.wE.v(y = <.z, <.w, v>.>. /\ (z e. A /\ (w e. B /\ v e. C))) /\ x = <.<.U.dom { y}, U.dom {U.ran { y}}>., U.ran {U.ran { y}}>.))
126	80, 102, 125	3bitr4i 340	. 2 |- ((x e. ((A X. B) X. C) /\ y = <.U.dom {U.dom { x}}, <.U.ran {U.dom { x}}, U.ran { x}>.>.) <-> (y e. (A X. (B X. C)) /\ x = <.<.U.dom { y}, U.dom {U.ran { y}}>., U.ran {U.ran { y}}>.))
127	5, 7, 9, 126	en2 5665	1 |- ((A X. B) X. C) ~~ (A X. (B X. C))

Syntax hints:   /\ wa 433   = wceq 1615   e. wcel 1617  E.wex 1644  _Vcvv 2569  {csn 3270  <.cop 3272  U.cuni 3398   class class class wbr 3539   X. cxp 4149  dom cdm 4151  ran crn 4152   ~~ cen 5627

This theorem is referenced by:  cdaassen 6317  xpcdaen 6318

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1621  ax-gen 1622  ax-8 1623  ax-9 1624  ax-10 1625  ax-11 1626  ax-12 1627  ax-13 1628  ax-14 1629  ax-17 1634  ax-4 1637  ax-5o 1639  ax-6o 1642  ax-9o 1792  ax-10o 1810  ax-16 1883  ax-11o 1893  ax-ext 2152  ax-rep 3628  ax-sep 3638  ax-nul 3645  ax-pow 3681  ax-pr 3719  ax-un 3961

This theorem depends on definitions:  df-bi 232  df-or 434  df-an 435  df-3an 1132  df-ex 1645  df-sb 1845  df-eu 2070  df-mo 2071  df-clab 2158  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-ne 2297  df-ral 2389  df-rex 2390  df-v 2571  df-dif 2862  df-un 2864  df-in 2866  df-ss 2868  df-nul 3115  df-pw 3261  df-sn 3274  df-pr 3275  df-op 3278  df-uni 3399  df-br 3540  df-opab 3598  df-id 3779  df-xp 4165  df-rel 4166  df-cnv 4167  df-co 4168  df-dm 4169  df-rn 4170  df-res 4171  df-ima 4172  df-fun 4173  df-fn 4174  df-f 4175  df-f1 4176  df-fo 4177  df-f1o 4178  df-en 5631

Copyright terms: Public domain