MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpassen Structured version   Unicode version

Theorem xpassen 7231
Description: Associative law for equinumerosity of cross product. Proposition 4.22(e) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 22-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
xpassen.1  |-  A  e. 
_V
xpassen.2  |-  B  e. 
_V
xpassen.3  |-  C  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
xpassen  |-  ( ( A  X.  B )  X.  C )  ~~  ( A  X.  ( B  X.  C ) )

Proof of Theorem xpassen
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpassen.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 xpassen.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
31, 2xpex 5019 . . 3  |-  ( A  X.  B )  e. 
_V
4 xpassen.3 . . 3  |-  C  e. 
_V
53, 4xpex 5019 . 2  |-  ( ( A  X.  B )  X.  C )  e. 
_V
62, 4xpex 5019 . . 3  |-  ( B  X.  C )  e. 
_V
71, 6xpex 5019 . 2  |-  ( A  X.  ( B  X.  C ) )  e. 
_V
8 opex 4456 . . 3  |-  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >.  e.  _V
98a1i 11 . 2  |-  ( x  e.  ( ( A  X.  B )  X.  C )  ->  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >.  e.  _V )
10 opex 4456 . . 3  |-  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >.  e. 
_V
1110a1i 11 . 2  |-  ( y  e.  ( A  X.  ( B  X.  C
) )  ->  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >.  e. 
_V )
12 sneq 3849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  { x }  =  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } )
1312dmeqd 5101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  dom  { x }  =  dom  {
<. <. z ,  w >. ,  v >. } )
1413unieqd 4050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  U. dom  { x }  =  U. dom  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } )
1514sneqd 3851 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  { U. dom  { x } }  =  { U. dom  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } }
)
1615dmeqd 5101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  dom  { U. dom  { x } }  =  dom  { U. dom  { <. <.
z ,  w >. ,  v >. } } )
1716unieqd 4050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  U. dom  { U. dom  { x } }  =  U. dom  { U. dom  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } }
)
18 opex 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  <. z ,  w >.  e.  _V
19 vex 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  v  e. 
_V
2018, 19op1sta 5380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. dom  {
<. <. z ,  w >. ,  v >. }  =  <. z ,  w >.
2120sneqi 3850 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { U. dom  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } }  =  { <. z ,  w >. }
2221dmeqi 5100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  { U. dom  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } }  =  dom  {
<. z ,  w >. }
2322unieqi 4049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. dom  { U. dom  { <. <.
z ,  w >. ,  v >. } }  =  U. dom  { <. z ,  w >. }
24 vex 2965 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
25 vex 2965 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  w  e. 
_V
2624, 25op1sta 5380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. dom  {
<. z ,  w >. }  =  z
2723, 26eqtri 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. dom  { U. dom  { <. <.
z ,  w >. ,  v >. } }  =  z
2817, 27syl6req 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  z  =  U. dom  { U. dom  { x } }
)
2915rneqd 5126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  ran  { U. dom  { x } }  =  ran  { U. dom  { <. <.
z ,  w >. ,  v >. } } )
3029unieqd 4050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  U. ran  { U. dom  { x } }  =  U. ran  { U. dom  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } }
)
3121rneqi 5125 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  { U. dom  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } }  =  ran  {
<. z ,  w >. }
3231unieqi 4049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ran  { U. dom  { <. <.
z ,  w >. ,  v >. } }  =  U. ran  { <. z ,  w >. }
3324, 25op2nda 5383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ran  {
<. z ,  w >. }  =  w
3432, 33eqtri 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ran  { U. dom  { <. <.
z ,  w >. ,  v >. } }  =  w
3530, 34syl6req 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  w  =  U. ran  { U. dom  { x } }
)
3612rneqd 5126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  ran  { x }  =  ran  {
<. <. z ,  w >. ,  v >. } )
3736unieqd 4050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  U. ran  { x }  =  U. ran  { <. <. z ,  w >. ,  v >. } )
3818, 19op2nda 5383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ran  {
<. <. z ,  w >. ,  v >. }  =  v
3937, 38syl6req 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  v  =  U. ran  { x } )
4035, 39opeq12d 4016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  <. w ,  v >.  =  <. U.
ran  { U. dom  {
x } } ,  U. ran  { x } >. )
4128, 40opeq12d 4016 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  ->  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )
42 sneq 3849 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  { y }  =  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } )
4342dmeqd 5101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  dom  { y }  =  dom  {
<. z ,  <. w ,  v >. >. } )
4443unieqd 4050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  U. dom  { y }  =  U. dom  { <. z ,  <. w ,  v >. >. } )
45 opex 4456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. w ,  v >.  e.  _V
4624, 45op1sta 5380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. dom  {
<. z ,  <. w ,  v >. >. }  =  z
4744, 46syl6req 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  z  =  U. dom  { y } )
4842rneqd 5126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  ran  { y }  =  ran  {
<. z ,  <. w ,  v >. >. } )
4948unieqd 4050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  U. ran  { y }  =  U. ran  { <. z ,  <. w ,  v >. >. } )
5049sneqd 3851 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  { U. ran  { y } }  =  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v >. >. } }
)
5150dmeqd 5101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  dom  { U. ran  { y } }  =  dom  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } } )
5251unieqd 4050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  U. dom  { U. ran  { y } }  =  U. dom  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v >. >. } }
)
5324, 45op2nda 5383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. ran  {
<. z ,  <. w ,  v >. >. }  =  <. w ,  v >.
5453sneqi 3850 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v >. >. } }  =  { <. w ,  v
>. }
5554dmeqi 5100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } }  =  dom  { <. w ,  v
>. }
5655unieqi 4049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. dom  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } }  =  U. dom  { <. w ,  v >. }
5725, 19op1sta 5380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. dom  {
<. w ,  v >. }  =  w
5856, 57eqtri 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. dom  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } }  =  w
5952, 58syl6req 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  w  =  U. dom  { U. ran  { y } }
)
6047, 59opeq12d 4016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  <. z ,  w >.  =  <. U.
dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. )
6150rneqd 5126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  ran  { U. ran  { y } }  =  ran  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } } )
6261unieqd 4050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  U. ran  { U. ran  { y } }  =  U. ran  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v >. >. } }
)
6354rneqi 5125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } }  =  ran  { <. w ,  v
>. }
6463unieqi 4049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ran  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } }  =  U. ran  { <. w ,  v >. }
6525, 19op2nda 5383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ran  {
<. w ,  v >. }  =  v
6664, 65eqtri 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ran  { U. ran  { <. z ,  <. w ,  v
>. >. } }  =  v
6762, 66syl6req 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  v  =  U. ran  { U. ran  { y } }
)
6860, 67opeq12d 4016 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  ->  <. <. z ,  w >. ,  v >.  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. )
6941, 68eq2tri 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  y  =  <. U.
dom  { U. dom  {
x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. ) )
70 anass 632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C )  <->  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )
7169, 70anbi12i 680 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  <. <.
z ,  w >. ,  v >.  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  <->  ( (
y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. )  /\  ( z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C ) ) ) )
72 an32 775 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  <. <.
z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( ( x  =  <. <.
z ,  w >. ,  v >.  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) ) )
73 an32 775 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. )  <-> 
( ( y  = 
<. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. )  /\  ( z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C ) ) ) )
7471, 72, 733bitr4i 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  =  <. <.
z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( ( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. ) )
7574exbii 1593 . . . . . 6  |-  ( E. v ( ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  E. v ( ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >. ) )
76 19.41v 1927 . . . . . 6  |-  ( E. v ( ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( E. v ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )
)
77 19.41v 1927 . . . . . 6  |-  ( E. v ( ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >. )  <-> 
( E. v ( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. ) )
7875, 76, 773bitr3i 268 . . . . 5  |-  ( ( E. v ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( E. v ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >. ) )
79782exbii 1594 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( E. v ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  E. z E. w ( E. v ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >. ) )
80 19.41vv 1928 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( E. v ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( E. z E. w E. v ( x  = 
<. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )
)
81 19.41vv 1928 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( E. v ( y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >. )  <-> 
( E. z E. w E. v ( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. ) )
8279, 80, 813bitr3i 268 . . 3  |-  ( ( E. z E. w E. v ( x  = 
<. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( E. z E. w E. v ( y  = 
<. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >. ) )
83 elxp 4924 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( A  X.  B )  X.  C )  <->  E. u E. v ( x  = 
<. u ,  v >.  /\  ( u  e.  ( A  X.  B )  /\  v  e.  C
) ) )
84 excom 1758 . . . . 5  |-  ( E. u E. v ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  ( A  X.  B )  /\  v  e.  C )
)  <->  E. v E. u
( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  ( A  X.  B )  /\  v  e.  C )
) )
85 elxp 4924 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( A  X.  B )  <->  E. z E. w ( u  = 
<. z ,  w >.  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  B
) ) )
8685anbi1i 678 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ( A  X.  B )  /\  ( x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) )  <->  ( E. z E. w ( u  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  B ) )  /\  ( x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) ) )
87 an12 774 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  ( A  X.  B )  /\  v  e.  C )
)  <->  ( u  e.  ( A  X.  B
)  /\  ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  v  e.  C
) ) )
88 19.41vv 1928 . . . . . . . 8  |-  ( E. z E. w ( ( u  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  v  e.  C
) )  <->  ( E. z E. w ( u  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  B ) )  /\  ( x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) ) )
8986, 87, 883bitr4i 270 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  ( A  X.  B )  /\  v  e.  C )
)  <->  E. z E. w
( ( u  = 
<. z ,  w >.  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  B
) )  /\  (
x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) ) )
90892exbii 1594 . . . . . 6  |-  ( E. v E. u ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  ( A  X.  B )  /\  v  e.  C )
)  <->  E. v E. u E. z E. w ( ( u  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  v  e.  C
) ) )
91 exrot4 1762 . . . . . 6  |-  ( E. v E. u E. z E. w ( ( u  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  v  e.  C
) )  <->  E. z E. w E. v E. u ( ( u  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  B ) )  /\  ( x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) ) )
92 anass 632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  v  e.  C
) )  <->  ( u  =  <. z ,  w >.  /\  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  (
x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) ) ) )
9392exbii 1593 . . . . . . . 8  |-  ( E. u ( ( u  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  B ) )  /\  ( x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) )  <->  E. u
( u  =  <. z ,  w >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  v  e.  C
) ) ) )
94 opeq1 4008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  <. z ,  w >.  ->  <. u ,  v
>.  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.
)
9594eqeq2d 2453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  <. z ,  w >.  ->  ( x  = 
<. u ,  v >.  <->  x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >. )
)
9695anbi1d 687 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  v  e.  C
)  <->  ( x  = 
<. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  v  e.  C ) ) )
9796anbi2d 686 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  ( x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  ( x  =  <. <.
z ,  w >. ,  v >.  /\  v  e.  C ) ) ) )
9818, 97ceqsexv 2997 . . . . . . . 8  |-  ( E. u ( u  = 
<. z ,  w >.  /\  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  (
x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) ) )  <-> 
( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  (
x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  v  e.  C
) ) )
99 an12 774 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  v  e.  C ) )  <->  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) ) )
10093, 98, 993bitri 264 . . . . . . 7  |-  ( E. u ( ( u  =  <. z ,  w >.  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  B ) )  /\  ( x  =  <. u ,  v >.  /\  v  e.  C ) )  <->  ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) ) )
1011003exbii 1595 . . . . . 6  |-  ( E. z E. w E. v E. u ( ( u  =  <. z ,  w >.  /\  (
z  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  ( x  =  <. u ,  v
>.  /\  v  e.  C
) )  <->  E. z E. w E. v ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  v  e.  C ) ) )
10290, 91, 1013bitri 264 . . . . 5  |-  ( E. v E. u ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  ( A  X.  B )  /\  v  e.  C )
)  <->  E. z E. w E. v ( x  = 
<. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) ) )
10383, 84, 1023bitri 264 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( A  X.  B )  X.  C )  <->  E. z E. w E. v ( x  =  <. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  v  e.  C ) ) )
104103anbi1i 678 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( ( A  X.  B )  X.  C )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( E. z E. w E. v ( x  = 
<. <. z ,  w >. ,  v >.  /\  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  v  e.  C ) )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )
)
105 elxp 4924 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( A  X.  ( B  X.  C
) )  <->  E. z E. u ( y  = 
<. z ,  u >.  /\  ( z  e.  A  /\  u  e.  ( B  X.  C ) ) ) )
106 elxp 4924 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( B  X.  C )  <->  E. w E. v ( u  = 
<. w ,  v >.  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) )
107106anbi2i 677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  u  e.  ( B  X.  C
) )  <->  ( (
y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  E. w E. v ( u  =  <. w ,  v
>.  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C ) ) ) )
108 anass 632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  u  e.  ( B  X.  C
) )  <->  ( y  =  <. z ,  u >.  /\  ( z  e.  A  /\  u  e.  ( B  X.  C
) ) ) )
109 19.42vv 1933 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w E. v ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  (
u  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  <->  ( (
y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  E. w E. v ( u  =  <. w ,  v
>.  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C ) ) ) )
110 an12 774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  (
u  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  <->  ( u  =  <. w ,  v
>.  /\  ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A
)  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C ) ) ) )
111 anass 632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
)  <->  ( y  = 
<. z ,  u >.  /\  ( z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) )
112111anbi2i 677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  <. w ,  v >.  /\  (
( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  <->  ( u  =  <. w ,  v
>.  /\  ( y  = 
<. z ,  u >.  /\  ( z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) ) )
113110, 112bitri 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  (
u  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  <->  ( u  =  <. w ,  v
>.  /\  ( y  = 
<. z ,  u >.  /\  ( z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) ) )
1141132exbii 1594 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w E. v ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  (
u  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  <->  E. w E. v ( u  = 
<. w ,  v >.  /\  ( y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) ) )
115109, 114bitr3i 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  z  e.  A )  /\  E. w E. v ( u  =  <. w ,  v
>.  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C ) ) )  <->  E. w E. v ( u  =  <. w ,  v >.  /\  (
y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) ) )
116107, 108, 1153bitr3i 268 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  u  e.  ( B  X.  C ) ) )  <->  E. w E. v ( u  =  <. w ,  v >.  /\  (
y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) ) )
117116exbii 1593 . . . . . . 7  |-  ( E. u ( y  = 
<. z ,  u >.  /\  ( z  e.  A  /\  u  e.  ( B  X.  C ) ) )  <->  E. u E. w E. v ( u  = 
<. w ,  v >.  /\  ( y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) ) )
118 exrot3 1761 . . . . . . 7  |-  ( E. u E. w E. v ( u  = 
<. w ,  v >.  /\  ( y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) )  <->  E. w E. v E. u ( u  = 
<. w ,  v >.  /\  ( y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) ) )
119 opeq2 4009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  <. w ,  v
>.  ->  <. z ,  u >.  =  <. z ,  <. w ,  v >. >. )
120119eqeq2d 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  <. w ,  v
>.  ->  ( y  = 
<. z ,  u >.  <->  y  =  <. z ,  <. w ,  v >. >. )
)
121120anbi1d 687 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  <. w ,  v
>.  ->  ( ( y  =  <. z ,  u >.  /\  ( z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C ) ) )  <-> 
( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) ) ) )
12245, 121ceqsexv 2997 . . . . . . . 8  |-  ( E. u ( u  = 
<. w ,  v >.  /\  ( y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) )  <-> 
( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) ) )
1231222exbii 1594 . . . . . . 7  |-  ( E. w E. v E. u ( u  = 
<. w ,  v >.  /\  ( y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) )  <->  E. w E. v ( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) ) )
124117, 118, 1233bitri 264 . . . . . 6  |-  ( E. u ( y  = 
<. z ,  u >.  /\  ( z  e.  A  /\  u  e.  ( B  X.  C ) ) )  <->  E. w E. v
( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) ) )
125124exbii 1593 . . . . 5  |-  ( E. z E. u ( y  =  <. z ,  u >.  /\  (
z  e.  A  /\  u  e.  ( B  X.  C ) ) )  <->  E. z E. w E. v ( y  = 
<. z ,  <. w ,  v >. >.  /\  (
z  e.  A  /\  ( w  e.  B  /\  v  e.  C
) ) ) )
126105, 125bitri 242 . . . 4  |-  ( y  e.  ( A  X.  ( B  X.  C
) )  <->  E. z E. w E. v ( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) ) )
127126anbi1i 678 . . 3  |-  ( ( y  e.  ( A  X.  ( B  X.  C ) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >. )  <-> 
( E. z E. w E. v ( y  =  <. z ,  <. w ,  v
>. >.  /\  ( z  e.  A  /\  (
w  e.  B  /\  v  e.  C )
) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  { y } } >. ,  U. ran  { U. ran  {
y } } >. ) )
12882, 104, 1273bitr4i 270 . 2  |-  ( ( x  e.  ( ( A  X.  B )  X.  C )  /\  y  =  <. U. dom  { U. dom  { x } } ,  <. U. ran  { U. dom  { x } } ,  U. ran  { x } >. >. )  <->  ( y  e.  ( A  X.  ( B  X.  C ) )  /\  x  =  <. <. U. dom  { y } ,  U. dom  { U. ran  {
y } } >. , 
U. ran  { U. ran  { y } } >. ) )
1295, 7, 9, 11, 128en2i 7174 1  |-  ( ( A  X.  B )  X.  C )  ~~  ( A  X.  ( B  X.  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1727   _Vcvv 2962   {csn 3838   <.cop 3841   U.cuni 4039   class class class wbr 4237    X. cxp 4905   dom cdm 4907   ran crn 4908    ~~ cen 7135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-en 7139
  Copyright terms: Public domain W3C validator