Theorem xpexr 3479

Description: If a cross product is a set, one of its components must be a set.

Assertion

Ref	Expression
xpexr	|- ((A X. B) e. C -> (A e. V \/ B e. V))

Proof of Theorem xpexr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 2711	. . . . . 6 |- (/) e. V
2		eleq1 1534	. . . . . 6 |- (A = (/) -> (A e. V <-> (/) e. V))
3	1, 2	mpbiri 194	. . . . 5 |- (A = (/) -> A e. V)
4	3	pm2.24d 105	. . . 4 |- (A = (/) -> (-. A e. V -> B e. V))
5	4	a1d 12	. . 3 |- (A = (/) -> ((A X. B) e. C -> (-. A e. V -> B e. V)))
6		rnxp 3472	. . . . . 6 |- (A =/= (/) -> ran ( A X. B) = B)
7	6	eleq1d 1540	. . . . 5 |- (A =/= (/) -> (ran ( A X. B) e. V <-> B e. V))
8		rnexg 3359	. . . . 5 |- ((A X. B) e. C -> ran ( A X. B) e. V)
9	7, 8	syl5bi 208	. . . 4 |- (A =/= (/) -> ((A X. B) e. C -> B e. V))
10	9	a1dd 42	. . 3 |- (A =/= (/) -> ((A X. B) e. C -> (-. A e. V -> B e. V)))
11	5, 10	pm2.61ine 1634	. 2 |- ((A X. B) e. C -> (-. A e. V -> B e. V))
12	11	orrd 233	1 |- ((A X. B) e. C -> (A e. V \/ B e. V))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 222   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  Vcvv 1811  (/)c0 2280   X. cxp 3168  ran crn 3171

This theorem is referenced by:  ismsg 7800

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189

Copyright terms: Public domain