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Theorem xpfi 7378
Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  X.  B
)  e.  Fin )

Proof of Theorem xpfi
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq1 4892 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  X.  B )  =  ( (/)  X.  B
) )
21eleq1d 2502 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  X.  B )  e.  Fin  <->  ( (/)  X.  B
)  e.  Fin )
)
32imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( B  e.  Fin  ->  ( x  X.  B )  e.  Fin )  <->  ( B  e.  Fin  ->  ( (/)  X.  B
)  e.  Fin )
) )
4 xpeq1 4892 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  \  { z } )  ->  ( x  X.  B )  =  ( ( y  \  {
z } )  X.  B ) )
54eleq1d 2502 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  \  { z } )  ->  ( ( x  X.  B )  e. 
Fin 
<->  ( ( y  \  { z } )  X.  B )  e. 
Fin ) )
65imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  ( y  \  { z } )  ->  ( ( B  e.  Fin  ->  (
x  X.  B )  e.  Fin )  <->  ( B  e.  Fin  ->  ( (
y  \  { z } )  X.  B
)  e.  Fin )
) )
7 xpeq1 4892 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  X.  B )  =  ( y  X.  B ) )
87eleq1d 2502 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  X.  B
)  e.  Fin  <->  ( y  X.  B )  e.  Fin ) )
98imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( B  e.  Fin  ->  ( x  X.  B
)  e.  Fin )  <->  ( B  e.  Fin  ->  ( y  X.  B )  e.  Fin ) ) )
10 xpeq1 4892 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  X.  B )  =  ( A  X.  B ) )
1110eleq1d 2502 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  X.  B
)  e.  Fin  <->  ( A  X.  B )  e.  Fin ) )
1211imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  Fin  ->  ( x  X.  B
)  e.  Fin )  <->  ( B  e.  Fin  ->  ( A  X.  B )  e.  Fin ) ) )
13 xp0r 4956 . . . . 5  |-  ( (/)  X.  B )  =  (/)
14 0fin 7336 . . . . 5  |-  (/)  e.  Fin
1513, 14eqeltri 2506 . . . 4  |-  ( (/)  X.  B )  e.  Fin
1615a1i 11 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( (/) 
X.  B )  e. 
Fin )
17 neq0 3638 . . . . . . 7  |-  ( -.  y  =  (/)  <->  E. w  w  e.  y )
18 sneq 3825 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  w  ->  { z }  =  { w } )
1918difeq2d 3465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  w  ->  (
y  \  { z } )  =  ( y  \  { w } ) )
2019xpeq1d 4901 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  w  ->  (
( y  \  {
z } )  X.  B )  =  ( ( y  \  {
w } )  X.  B ) )
2120eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( y  \  { z } )  X.  B )  e. 
Fin 
<->  ( ( y  \  { w } )  X.  B )  e. 
Fin ) )
2221imbi2d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  (
( B  e.  Fin  ->  ( ( y  \  { z } )  X.  B )  e. 
Fin )  <->  ( B  e.  Fin  ->  ( (
y  \  { w } )  X.  B
)  e.  Fin )
) )
2322rspcv 3048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( B  e.  Fin  ->  ( ( y  \  { z } )  X.  B )  e. 
Fin )  ->  ( B  e.  Fin  ->  (
( y  \  {
w } )  X.  B )  e.  Fin ) ) )
2423adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( A. z  e.  y  ( B  e.  Fin  ->  (
( y  \  {
z } )  X.  B )  e.  Fin )  ->  ( B  e. 
Fin  ->  ( ( y 
\  { w }
)  X.  B )  e.  Fin ) ) )
25 pm2.27 37 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( B  e.  Fin  ->  ( ( y  \  { w } )  X.  B )  e. 
Fin )  ->  (
( y  \  {
w } )  X.  B )  e.  Fin ) )
2625ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( ( B  e.  Fin  ->  (
( y  \  {
w } )  X.  B )  e.  Fin )  ->  ( ( y 
\  { w }
)  X.  B )  e.  Fin ) )
27 snex 4405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { w }  e.  _V
28 xpexg 4989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { w }  e.  _V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( { w }  X.  B )  e. 
_V )
2927, 28mpan 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( { w }  X.  B )  e.  _V )
30 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  Fin  ->  B  e.  Fin )
31 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  w  e. 
_V
32 2ndconst 6436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  _V  ->  ( 2nd  |`  ( { w }  X.  B ) ) : ( { w }  X.  B ) -1-1-onto-> B )
3331, 32mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( 2nd  |`  ( { w }  X.  B ) ) : ( { w }  X.  B ) -1-1-onto-> B )
34 f1oen2g 7124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( { w }  X.  B )  e.  _V  /\  B  e.  Fin  /\  ( 2nd  |`  ( {
w }  X.  B
) ) : ( { w }  X.  B ) -1-1-onto-> B )  ->  ( { w }  X.  B )  ~~  B
)
3529, 30, 33, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( { w }  X.  B )  ~~  B
)
36 enfii 7326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( { w }  X.  B )  ~~  B
)  ->  ( {
w }  X.  B
)  e.  Fin )
3735, 36mpdan 650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( { w }  X.  B )  e.  Fin )
3837ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( {
w }  X.  B
)  e.  Fin )
39 unfi 7374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  \  { w } )  X.  B )  e. 
Fin  /\  ( {
w }  X.  B
)  e.  Fin )  ->  ( ( ( y 
\  { w }
)  X.  B )  u.  ( { w }  X.  B ) )  e.  Fin )
40 xpundir 4931 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  \  {
w } )  u. 
{ w } )  X.  B )  =  ( ( ( y 
\  { w }
)  X.  B )  u.  ( { w }  X.  B ) )
41 difsnid 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  y  ->  (
( y  \  {
w } )  u. 
{ w } )  =  y )
4241xpeq1d 4901 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  y  ->  (
( ( y  \  { w } )  u.  { w }
)  X.  B )  =  ( y  X.  B ) )
4340, 42syl5eqr 2482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  y  ->  (
( ( y  \  { w } )  X.  B )  u.  ( { w }  X.  B ) )  =  ( y  X.  B
) )
4443eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  y  ->  (
( ( ( y 
\  { w }
)  X.  B )  u.  ( { w }  X.  B ) )  e.  Fin  <->  ( y  X.  B )  e.  Fin ) )
4544biimpd 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  y  ->  (
( ( ( y 
\  { w }
)  X.  B )  u.  ( { w }  X.  B ) )  e.  Fin  ->  (
y  X.  B )  e.  Fin ) )
4645adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( (
( ( y  \  { w } )  X.  B )  u.  ( { w }  X.  B ) )  e. 
Fin  ->  ( y  X.  B )  e.  Fin ) )
4739, 46syl5 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( (
( ( y  \  { w } )  X.  B )  e. 
Fin  /\  ( {
w }  X.  B
)  e.  Fin )  ->  ( y  X.  B
)  e.  Fin )
)
4838, 47mpan2d 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( (
( y  \  {
w } )  X.  B )  e.  Fin  ->  ( y  X.  B
)  e.  Fin )
)
4924, 26, 483syld 53 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  w  e.  y
)  ->  ( A. z  e.  y  ( B  e.  Fin  ->  (
( y  \  {
z } )  X.  B )  e.  Fin )  ->  ( y  X.  B )  e.  Fin ) )
5049ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( w  e.  y  ->  ( A. z  e.  y  ( B  e.  Fin  ->  ( (
y  \  { z } )  X.  B
)  e.  Fin )  ->  ( y  X.  B
)  e.  Fin )
) )
5150exlimdv 1646 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( E. w  w  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( B  e.  Fin  ->  ( ( y  \  { z } )  X.  B )  e. 
Fin )  ->  (
y  X.  B )  e.  Fin ) ) )
5217, 51syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  y  =  (/)  ->  ( A. z  e.  y  ( B  e.  Fin  ->  ( (
y  \  { z } )  X.  B
)  e.  Fin )  ->  ( y  X.  B
)  e.  Fin )
) )
53 xpeq1 4892 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  X.  B )  =  ( (/)  X.  B
) )
5453, 15syl6eqel 2524 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  X.  B )  e. 
Fin )
5554a1d 23 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A. z  e.  y  ( B  e.  Fin  ->  (
( y  \  {
z } )  X.  B )  e.  Fin )  ->  ( y  X.  B )  e.  Fin ) )
5652, 55pm2.61d2 154 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A. z  e.  y  ( B  e. 
Fin  ->  ( ( y 
\  { z } )  X.  B )  e.  Fin )  -> 
( y  X.  B
)  e.  Fin )
)
5756ex 424 . . . 4  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( A. z  e.  y 
( B  e.  Fin  ->  ( ( y  \  { z } )  X.  B )  e. 
Fin )  ->  (
y  X.  B )  e.  Fin ) ) )
5857com23 74 . . 3  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( A. z  e.  y 
( B  e.  Fin  ->  ( ( y  \  { z } )  X.  B )  e. 
Fin )  ->  ( B  e.  Fin  ->  (
y  X.  B )  e.  Fin ) ) )
593, 6, 9, 12, 16, 58findcard 7347 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( A  X.  B )  e. 
Fin ) )
6059imp 419 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  X.  B
)  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    u. cun 3318   (/)c0 3628   {csn 3814   class class class wbr 4212    X. cxp 4876    |` cres 4880   -1-1-onto->wf1o 5453   2ndc2nd 6348    ~~ cen 7106   Fincfn 7109
This theorem is referenced by:  mapfi  7403  infxpenlem  7895  ackbij1lem9  8108  ackbij1lem10  8109  hashxplem  11696  hashmap  11698  fsum2dlem  12554  fsumcom2  12558  ackbijnn  12607  rexpen  12827  crt  13167  phimullem  13168  prmreclem3  13286  ablfaclem3  15645  gsumdixp  15715  gsumbagdiag  16441  psrass1lem  16442  mplsubrglem  16502  evlslem2  16568  tsmsxplem1  18182  tsmsxplem2  18183  tsmsxp  18184  i1fadd  19587  i1fmul  19588  itg1addlem4  19591  fsumdvdsmul  20980  fsumvma  20997  lgsquadlem1  21138  lgsquadlem2  21139  lgsquadlem3  21140  sibfof  24654  erdszelem10  24886  fprod2dlem  25304  fprodcom2  25308  cntotbnd  26505  pellex  26898  gsumcom3fi  27432  mamucl  27433  mamudiagcl  27434  mamudi  27438  mamudir  27439  mamuvs1  27440  mamuvs2  27441  matsca2  27451  matbas2  27452  matplusg2  27454  matvsca2  27455  3xpfi  28087  2spotfi  28359
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-fin 7113
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