MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpomen Unicode version

Theorem xpomen 7831
Description: The cross product of omega (the set of ordinal natural numbers) with itself is equinumerous to omega. Exercise 1 of [Enderton] p. 133. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
xpomen  |-  ( om 
X.  om )  ~~  om

Proof of Theorem xpomen
StepHypRef Expression
1 omelon 7535 . 2  |-  om  e.  On
2 ssid 3311 . 2  |-  om  C_  om
3 infxpen 7830 . 2  |-  ( ( om  e.  On  /\  om  C_  om )  ->  ( om  X.  om )  ~~  om )
41, 2, 3mp2an 654 1  |-  ( om 
X.  om )  ~~  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1717    C_ wss 3264   class class class wbr 4154   Oncon0 4523   omcom 4786    X. cxp 4817    ~~ cen 7043
This theorem is referenced by:  infxpenc2  7837  iunfictbso  7929  unctb  8019  iunctb  8383  xpnnen  12736  rexpen  12755  2ndcctbss  17440  tx1stc  17604  tx2ndc  17605  met2ndci  18443  dyadmbl  19360  xpct  23944  fnct  23947
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-oi 7413  df-card 7760
  Copyright terms: Public domain W3C validator